福建省厦门市湖里实验中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省厦门市湖里实验中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分为150分，考试时间120分钟
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题有且只有一个选项正确）
1. 下图是抛物线y = ax2 + bx + c的示意图，则a的值可以是（ ）
A. 1B. 0C. - 1D. - 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数图象确定a的取值范围即可得．
【详解】解：根据二次函数图象可得：开口向上，
∴，
故选：A．
【点睛】题目主要考查根据函数图象确定二次函数字母系数的取值范围，熟练掌握二次函数图象的基本性质是解题关键．
2. 二次函数y＝（x﹣4）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A. （﹣4，﹣1）B. （﹣4，1）C. （4，﹣1）D. （4，1）
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标．
【详解】解：∵二次函数y＝（x﹣4）2﹣1，
∴该函数的顶点坐标为（4，﹣1），
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
3. 下列抛物线中，左移2个单位，下移3个单位可得到抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的平移的规律逆推解答即可，抛物线的平移遵循：上加下减，左加右减.
【详解】解：根据题意：将抛物线向右平移2个单位，上移3个单位可得到；
即抛物线左移2个单位，下移3个单位可得到抛物线；
故选：A.
【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟知抛物线的平移规律是解题关键.
4. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 只有一个实数
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的系数结合根的判别式计算即可得出，即可得出结论．
【详解】解：在方程中，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，在解题时熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的对应情况是解此类题的关键．
5. 如图，一个函数的图象由射线，线段，射线组成，其中点，，，，则此函数在的最小值是（ ）

A. B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象和题目中的条件，可以写出各段中函数图象的变化情况，从而可以解答本题．
【详解】解：由函数图象可得，
当时，随的增大而增大，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而增大，
∴当时，函数在有最小值，最小值为1，
故选：B．
【点睛】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6. 为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价，该药品的原价是121元，降价后的价格是100元，若平均每次降价的百分率均为x，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设平均每次降价的百分率为，那么第一次降价后的售价是原来的，那么第二次降价后的售价是原来的，根据题意列方程即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得
．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题），解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确的列出方程．
7. 若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为（ ）
A. 16B. 17C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设两个奇数其中较小的为x，则另一个为x＋2，根据题意列出方程求解即可
【详解】设两个奇数其中较小的为x，则另一个为x＋2；因为它们的积为63，所以，解得，；所以当时，另一个数为9，其和为16，当时，另一个为﹣7，其和为﹣16
故答案为C选项
【点睛】本题主要考查了一元二次方程中连续奇数或偶数等的运用，正确表示出各个数建立方程是关键
8. 已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出二次函数的对称轴为直线，再利用二次函数的增减性求解即可得．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，开口向下，
当时的函数值与当时的函数值相等，即为；当时，随的增大而增大，
又∵，，三点都在二次函数的图象上，且，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题关键．
9. 下列选项中，能描述函数与图像的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】当a＞0时，由抛物线y=ax2开口方向及直线y=ax+b经过的象限可排除A、C选项；当a＜0时，由抛物线y=ax2开口方向及直线y=ax+b经过的象限可排除B选项．此题得解．
【详解】解：∵ab＜0，
当a＞0时，b＜0，抛物线y=ax2开口向上，直线y=ax+b经过一、三、四象限，故A不符合题意，D符合题意；
当a＜0时，b＞0，抛物线y=ax2开口向下，直线y=ax+b经过一、二、四象限，故B、C不符合题意；
即D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像以及一次函数图像与系数的关系，分a＞0及a＜0两种情况寻找两函数图像是解题的关键．
10. 学校组织学生去同安进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点B距台面的距离为，且B、D、H三点共线．小王在距离台面处接洗于液时，手心Q到直线DH的水平距离为，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平距离是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意：所在直线为轴，的垂直平分线所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．
【详解】解：根据题意：所在直线为轴，的垂直平分线所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，

根据题意，，，，
将点坐标代入解析式得，，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
当时，即，
解得：，或（舍去），
所以洗手液落在台面的位置距的水平距离是，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 关于x的一元二次方程的一个根是2，则m的值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】先把代入方程得，然后解关于的方程即可．
【详解】解：把代入方程得：，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12. 已知函数，当x_________时，y随x的增大而减少.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质解答即可.
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而减少；
故答案为：.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
13. 若m是方程的一个根，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得到，然后整体代入到即可得解．
【详解】解：是方程的一个根，
，,
则
,
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，采用整体代换思想是解题关键．
14. 已知一元二次方程的两个根分别是等腰三角形腰和底的长，则这个等腰三角形的周长为_________.
【答案】20或22##22或20
【解析】
【分析】先求解方程的两根，然后分两种情况结合三角形的三边关系解答即可.
【详解】解：方程的两根为，
∵方程的两个根分别是等腰三角形腰和底的长，
∴当腰为8，底为6时，可以构成三角形，此时这个三角形的周长是，
当腰为6，底为8时，也可以构成三角形，此时这个三角形的周长是；
故答案为：20或22.
【点睛】本题考查了一元二次方程的求解和等腰三角形的定义，正确解得方程的根、分情况解答是解题的关键.
15. 如图，已知二次函数与一次函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集为______________.

【答案】
【解析】
【分析】根据题意得出当时，则，可知二次函数在一次函数的上方，进而结合函数图象即可得出的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
则二次函数在一次函数上方，
则从图象看，关于的不等式的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，解答该题时，要具备很强的读图能力，掌握数形结合的数学思想是关键．
16. 已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若点，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是_________（填写序号）．
【答案】①③④
【解析】
【分析】首先判断对称轴，再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过A（-1，0），，当时，，求出，再代入判断②，抛物线，由点，在抛物线上，得，，把两个等式相减，整理得，通过判断，的符号判断③；将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，再利用判别式即可判断④．
【详解】解：抛物线过，两点，且，
，
，
，即，
抛物线开口向下，，
，故①正确；
若，则，
，
，故②不正确；
抛物线，点，在抛物线上，
∴，，把两个等式相减，整理得，
，，，
，
，
，故③正确；
依题意，将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，
，
，，
，，
， 故④正确．
综上所述，①③④正确．
故答案为；①③④．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
三、解答题（本大题有9小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）根据配方法即可求出答案；
（2）利用因式分解法即可求出答案．
【小问1详解】
解：∵，则，
∴，则，
∴，即：，
∴，；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴或，
∴，；
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
18. 先化简，再求值： ，其中
【答案】，
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19. 如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为直线．

（1）求该抛物线的解析式：
（2）在平面直角坐标系中画出函数图象；
（3）当时，y的取值范围为 ．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线，设，将，，代入其中即可求解；
（2）根据解析式，列表，描点，连线即可求解；
（3）由函数的性质可值当时，随增大而增大；当时，随增大而减小；则当时，有最小值，再结合图象及当时，，当时，，即可求得y的取值范围．
【小问1详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线，
则：设，
将，，代入其中可得：，
解得：，
∴；
【小问2详解】
列表：
在坐标系中描出，，，，，，
用光滑的曲线连接，如图所示，
【小问3详解】
∵，
∴当时，随增大而增大；当时，随增大而减小；
即：当时，有最小值，
当时，，当时，，
∴当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是待定系数法求函数解析式及二次函数的性质，根据题意画出函数图象，利用数形结合的思想结合二次函数的性质是解答此题的关键．
20. 如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙长10m），若这个围栏的面积为24，求该矩形垂直于墙的边长．
【答案】
【解析】
【分析】设与墙垂直的一边的长度为，根据矩形面积公式列一元二次方程，求出方程的根后再检验平行于墙的一边长度是否小于墙长，即可求解．
【详解】解：设与墙垂直的一边的长度为，则平行于墙的一边的长度为，
由题意可得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
故与墙垂直的一边的长度为．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出一元二次方程．
21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
（1）求的取值范围；
（2）若此方程的两实数根满足，求的值
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用判别式意义得到△＝（2k−1）2−4k2＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1＋x2＝2k−1，x1x2＝k2，再根据（x1−1）（x2−1）＝5得到k2−（2k−1）＋1＝5，然后解关于k的方程，最后利用k的范围确定k的值．
【详解】解：（1）根据题意得△＝（2k−1）2−4k2＞0，
解得k＜；
（2）根据题意得x1＋x2＝2k−1，x1x2＝k2，
∵（x1−1）（x2−1）＝5，
∴x1x2−（x1＋x2）＋1＝5，
即k2−（2k−1）＋1＝5，
整理得k2−2k−3＝0，解得k1＝−1，k2＝3，
∵k＜，
∴k＝−1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝．也考查了根的判别式．
22. 某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元(x为整数)时，月销售利润为y元.
(1)分析数量关系填表：
(2)求y与x之间的函数解析式和x的取值范围
(3)当售价x(元/件)定为多少时，商场每月销售这种商品所获得的利润y(元)最大？最大利润是多少？
【答案】(1)180﹣10x；(2)y＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数)；(3)每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元.
【解析】
【分析】(1)由数量关系表可知当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10件，由此填空即可；
(2)由销售利润＝每件商品的利润×(180﹣10×上涨的钱数)可得函数解析式，根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值范围；
(3)根据二次函数的性质求出最值即可.
【详解】解：(1)由表格可得：当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10件，
所以当每件商品的售价上涨x元(x为整数)时，月销售量为180﹣10x，
故答案为180﹣10x；
(2)由题意可知：y＝(30﹣20+x)(180﹣10x)＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数)；
(3)由(2)知，y＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数).
∵﹣10＜0，
∴当x＝＝4时，y最大＝1960元；
∴当每件商品的售价为34元时，商场每月销售这种商品所获得的利润最大，为1960元.
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝时取得.
23. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）证明见解析 （3）1
【解析】
【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积．
【小问1详解】
解：当，，时勾系一元二次方程为；
【小问2详解】
证明：根据题意，得，
∵，
∴
∴，
∴勾系一元二次方程必有实数根；
【小问3详解】
解：当时，有，即，
∵四边形的周长是，
∴，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键．
24. 如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m．队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m．即BA＝2.88m．这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4）
【答案】（1）这次发球过网，但是出界了，理由详见解析；（2）发球点O在底线上且距右边线0.1米处．
【解析】
【分析】（1）求出抛物线表达式，再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解；
（2）当y＝0时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝6＝8.4，即可求解．
【详解】（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，
将x＝0，y＝19代入上式并解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣7）2+2.88；
当x＝9时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，
当x＝18时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0.64＞0，
故这次发球过网，但是出界了；
（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q，
在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，
当y＝0时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），
∴OP＝19，而OQ＝17，
故PQ＝6＝84，
∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，
∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处.
【点睛】此题考查求二次函数的解析式，利用自变量求对应的函数值的计算，勾股定理解直角三角形，二次函数的实际应用,正确理解题意，明确“能否过网”，“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解答此题的关键.
25. 已知抛物线（m为常数）．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当时，求抛物线顶点到x轴的最小距离；
（3）当时，点A，B为该抛物线上的两点，顶点为D，直线AD的解析式为，直线BD的解析式为，若，求证：直线AB过定点．
【答案】（1）
（2）
（3）直线过证明见解析
【解析】
【分析】（1）先把抛物线化为顶点式，从而可得顶点坐标；
（2）由顶点到轴的距离为： 令 而 图象开口向上，对称轴为 此时随的增大而增大，再利用二次函数的性质可得答案；
（3）当时，求解抛物线为： 可得 可得 设 直线为 求解 把代入直线为从而可求解 从而可得答案.
【小问1详解】
解： 抛物线

抛物线的顶点坐标为：
【小问2详解】
解： 抛物线的顶点坐标为：
顶点到轴的距离为：
令 而 图象开口向上，对称轴为
此时随的增大而增大，
当时，
当时，抛物线顶点到x轴的最小距离为4.
【小问3详解】
解：当时，抛物线为：

而直线AD的解析式为，直线BD的解析式为，点A，B为该抛物线上的两点，

设 直线为

解得：

把代入


直线为

解得：
直线为
当时，
所以直线过定点
【点睛】本题考查的是把抛物线的一般式化为顶点式，抛物线的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，熟练的运用参数解题的能力是解本题的关键.
0
1
2
3
4
5
5
0
0
5
每台售价(元)
30
31
32
……
30+x
月销售量(件)
180
170
160
……
_____