2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之图形的旋转练习

这是一份2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之图形的旋转练习，共21页。试卷主要包含了后的行动结果为等内容，欢迎下载使用。
1．（2024秋•淳安县期中）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝100°，∠D＝50°，则∠α的度数是（ ）
A．50B．60C．40D．30
2．（2024秋•闽侯县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，若点E在AB上，则BD的长为（ ）
A．25B．5C．4D．10
3．（2024•东莞市模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝8，点O为AC的中点，将△ABC绕点O按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′．当A′落在AB边上时，两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）
A．833B．4C．33D．23
4．（2024•阿克苏地区模拟）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，若∠DAE＝50°，则∠CAD＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．90°
5．（2023秋•五华区期末）以下生活现象中，属于旋转变换得是（ ）
A．钟表的指针和钟摆的运动
B．站在电梯上的人的运动
C．坐在火车上睡觉
D．地下水位线逐年下降
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•海淀区校级期中）如图，△ABC中，∠B＝40°，将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0°＜α＜180°）后得到△ADE，点E恰好落在BC上，∠EAD＝60°，则α＝ °．
7．（2024秋•越秀区校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，OA＝2，OB=23，OC＝4，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，则S△ABC﹣S△AOC的值为 ．
8．（2023秋•招远市期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段A'B'，则点B'的坐标为 ．
9．（2024秋•南昌期中）如图，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点B，C，D在同一直线上，若∠ACE＝40°，则∠ACB的度数为 ．
10．（2024秋•崇明区期中）已知直角坐标平面上的机器人接受指令“[A，a]”（0°＜A＜180°，a≥0）后的行动结果为：在原地逆时针旋转A后，再向面对方向沿直线行走a．若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它完成一次指令[60°，2]后，所在位置的坐标为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•海珠区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC绕着点A顺时针旋转得到△AB′C′，点C′在BC上．
（1）求证：C′A平分∠B′C′C；
（2）若AB′∥BC，求∠C的度数．
12．（2024秋•苏州期中）如图，将△BOC绕着点C顺时针旋转60°，得到△ADC，∠AOB＝130°，∠BOC＝α，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α为多少度时，AD＝OD．
13．（2024秋•武汉期中）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转90°至△DEC的位置，此时A、B、D三点共线．
（1）求∠CAB的大小；
（2）若BD＝6，DE＝2，求AC的长．
14．（2024•景德镇二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝50°．将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得△DBE，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求∠ADE的度数．
15．（2024秋•大荔县校级期中）如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC旋转α（α＜180°）后到达△AEF的位置，点E恰好落在对角线AC上．
（1）它的旋转中心是点 ，旋转角α＝ °；
（2）若CD＝2，求CE的长．
2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之图形的旋转
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋•淳安县期中）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝100°，∠D＝50°，则∠α的度数是（ ）
A．50B．60C．40D．30
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】A
【分析】根据旋转的性质得知∠A＝∠C，∠AOC为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进行求解．
【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°，
∴∠A＝∠C，∠AOC＝80°，
∴∠DOC＝80°﹣α，
∵∠A＝100°，∠D＝50°，∠C+∠D+∠DOC＝180°，
∴100°+50°+80°﹣α＝180°，
解得α＝50°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．
2．（2024秋•闽侯县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，若点E在AB上，则BD的长为（ ）
A．25B．5C．4D．10
【考点】旋转的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求得AB＝5，由旋转得AE＝AC＝3，DE＝BC＝4，∠AED＝∠C＝90°，则BE＝2，∠BED＝90°，所以BD=DE2+BE2=25，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB=AC2+BC2=32+42=5，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，点E在AB上，
∴AE＝AC＝3，DE＝BC＝4，∠AED＝∠C＝90°，
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2，∠BED＝90°，
∴BD=DE2+BE2=42+22=25，
故选：A．
【点评】此题重点考查旋转的性质、勾股定理等知识，正确地求出AB的长和BE的长是解题的关键．
3．（2024•东莞市模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝8，点O为AC的中点，将△ABC绕点O按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′．当A′落在AB边上时，两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）
A．833B．4C．33D．23
【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】D
【分析】设A′B′与AC交于点D，求出∠ODA′＝90°，OD=12A′O=2，A′D=23，根据三角形面积公式即可求出答案．
【解答】解：设A′B′与AC交于点D，
∵AC＝8，点O为AC的中点，
∴OA=12AC=4，
将△ABC绕点O按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，点 A，B，C 的对应点分别为A′，B′，C′，
当A′落在AB边上时，∠B′A′O＝∠A＝30°，OA′＝OA＝4，
∴∠AA′O＝∠A＝30°，
∴∠DOA′＝∠A+∠AA′O＝30°+30°＝60°，
∴∠ODA′＝180°﹣∠DOA′﹣∠B′A′O＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴OD=12A′O=2，
由勾股定理得：A′D=A′O2−OD2=42−22=23，
∴S△A′OD=12A′D•OD=12×23×2＝23，
即两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为23，
故选：D．
【点评】此题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练运用有关知识是解题的关键．
4．（2024•阿克苏地区模拟）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，若∠DAE＝50°，则∠CAD＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．90°
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】由旋转的性质可得∠CAE＝90°，结合∠DAE＝50°，求得∠CAD．
【解答】解：将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，
∴∠CAE＝90°，
∵∠DAE＝50°，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解答本题的关键．
5．（2023秋•五华区期末）以下生活现象中，属于旋转变换得是（ ）
A．钟表的指针和钟摆的运动
B．站在电梯上的人的运动
C．坐在火车上睡觉
D．地下水位线逐年下降
【考点】生活中的旋转现象．
【答案】A
【分析】根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．
【解答】解：A、钟表的指针和钟摆的运动都是旋转变换，故本选项正确；
B、站在电梯上的人的运动属于平移现象，故本选项错误；
C、坐在火车上睡觉，属于平移现象，故本选项错误；
D、地下水位线逐年下降属于平移现象，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题是考查图形的平移、旋转的意义．图形平移与旋转的区别在于图形是否改变方向，平移图形不改变方向，旋转图形改变方向；旋转不一定作圆周运动，象钟摆等也属于旋转现象．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•海淀区校级期中）如图，△ABC中，∠B＝40°，将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0°＜α＜180°）后得到△ADE，点E恰好落在BC上，∠EAD＝60°，则α＝ 20 °．
【考点】旋转的性质；三角形内角和定理．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】20．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C＝80°，再根据旋转的性质得到AE＝AC，∠CAE＝α°，则∠AEC＝∠C＝80°，由此根据三角形内角和定理求出∠CAE的度数即可得到答案．
【解答】解：∵△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝∠EAD＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝80°，
∴∠AEC＝∠C＝80°，
∴∠CAE＝180°﹣∠AEC﹣∠C＝20°，
∴α＝20，
故答案为：20．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，
7．（2024秋•越秀区校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，OA＝2，OB=23，OC＝4，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，则S△ABC﹣S△AOC的值为 53 ．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】53．
【分析】证明△BO'A≌△BOC，即可得到O'A＝OC＝4，S△AO′B＝S△BOC，根据旋转的性质可知△BOO'是等边三角形，则OO'＝OB＝23，利用勾股定理的逆定理判断△AOO'是直角三角形，∠AOO’＝90°，利用四边形AOBO'的面积＝等边△BOO'面积+Rt△AO′O面积＝△AO'B面积+△AOB的面积＝△BOC的面积+△AOB的面积，进行计算即可判断．
【解答】解：在△BO'A和△BOC中，BO'＝BO，∠O'BA＝∠OBA，BA＝BC．
∴△ABO'≌△BOC（SAS）．
∴O'A＝OC＝4．
如图，连接OO’，
根据旋转的性质可知△BOO'是等边三角形，
∴OO'＝OB＝23，
在△AOO'中，AO＝2，OO'＝23，AO'＝4，
∴△AOO'是直角三角形，∠AOO’＝90°．
∴Rt△AOO''面积为12×2×23=23，
∵等边△BOO'面积为12×23×32×23=33，
∴四边形AOBO'的面积为53，
∵△ABO'≌△BOC，
∴四边形AOBO'的面积＝△AOB的面积+△BOC的面积，
∴S△ABC﹣S△AOC＝S△AOB+S△BOC＝53．
故答案为：53．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解．
8．（2023秋•招远市期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段A'B'，则点B'的坐标为 （4，1） ．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（4，1）．
【分析】根据题意画出旋转后的图形，借助于全等三角形即可解决问题．
【解答】解：将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°如图所示，
过点A作y轴的平行线分别与过点B作x轴的平行线和过点B′作x轴的平行线相交于点M，N，
∵∠BAB′＝90°，
∴∠BAM+∠B′AN＝90°，
又∵∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠ABM＝∠B′AN．
在△ABM和△B′AN中，
∠AMB=∠B′NA∠ABM=∠B′ANAB=AB′，
∴△ABM≌△B′AN（AAS），
∴B′N＝AM＝1，AN＝BM＝3，
∴点B′的坐标为（4，1）．
故答案为：（4，1）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
9．（2024秋•南昌期中）如图，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点B，C，D在同一直线上，若∠ACE＝40°，则∠ACB的度数为 70° ．
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】70°．
【分析】根据旋转的性质和平角的定义即可得到结论．
【解答】解：∵将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点B，C，D在同一直线上，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠ACE＝40°，
∴∠ACB=12×（180°﹣40°）＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10．（2024秋•崇明区期中）已知直角坐标平面上的机器人接受指令“[A，a]”（0°＜A＜180°，a≥0）后的行动结果为：在原地逆时针旋转A后，再向面对方向沿直线行走a．若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它完成一次指令[60°，2]后，所在位置的坐标为 （−3，﹣1） ．
【考点】生活中的旋转现象；坐标与图形变化﹣旋转；坐标确定位置；多边形内角与外角．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】（−3，﹣1）．
【分析】根据题意画图分析．如图，完成一次指令[60°，2]后，所在位置为P点．作PQ⊥y轴于Q点．解直角三角形OPQ求PQ、OQ的长度，根据P所在象限确定其坐标．
【解答】解：如图所示，点P为完成指令后位置，
作PQ⊥y轴于Q点，
∵OP＝2，∠POQ＝60°，
∴OQ＝1，PQ=3，
∴P（−3，﹣1）．
故答案为：P（−3，﹣1）．
【点评】本题考查生活中的旋转现象，解题关键是根据题意画出图形．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•海珠区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC绕着点A顺时针旋转得到△AB′C′，点C′在BC上．
（1）求证：C′A平分∠B′C′C；
（2）若AB′∥BC，求∠C的度数．
【考点】旋转的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）∠C的度数是70°．
【分析】（1）由旋转得AC′＝AC，∠AC′B′＝∠C，则∠AC′C＝∠C，所以∠AC′B′＝∠AC′C，即C′A平分∠B′C′C；
（2）由∠B′＝∠B＝40°，AB′∥BC，得∠B′C′B＝∠B′＝40°，则2∠AC′C＝140°，求得∠AC′C＝70°，所以∠C＝∠AC′C＝70°．
【解答】（1）证明：∵将△ABC绕着点A顺时针旋转得到△AB′C′，
∴AC′＝AC，∠AC′B′＝∠C，
∵点C′在BC上，
∴∠AC′C＝∠C，
∴∠AC′B′＝∠AC′C，
∴C′A平分∠B′C′C．
（2）解：∵∠B′＝∠B＝40°，AB′∥BC，
∴∠B′C′B＝∠B′＝40°，
∴∠AC′B′+∠AC′C＝2∠AC′C＝180°﹣40°＝140°，
∴∠AC′C＝70°，
∴∠C＝∠AC′C＝70°，
∴∠C的度数是70°．
【点评】此题重点考查旋转的性质、平行线的性质等知识，正确理解旋转的概念并且找到对应线段和对应角是解题的关键．
12．（2024秋•苏州期中）如图，将△BOC绕着点C顺时针旋转60°，得到△ADC，∠AOB＝130°，∠BOC＝α，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α为多少度时，AD＝OD．
【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）当α的度数为100°时，AD＝OD．
【分析】（1）由旋转的性质可知CO＝CD，∠OCD＝60°，可判断：△COD是等边三角形；
（2）用α表示∠ADO、∠AOD、∠DAO，根据∠OAD＝∠AOD列方程，代入求出即可．
【解答】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴∠OCD＝60°，CO＝CD，
∴△OCD是等边三角形；
（2）解：∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠α﹣∠COD＝360°﹣130°﹣∠α﹣60°＝170°﹣∠α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠CDO＝∠α﹣60°，
∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（∠α﹣60°）﹣（170°﹣∠α）＝70°，
∵AD＝OD，
∴∠OAD＝∠AOD，
即70°＝170°﹣∠α，
解得：α＝100°；
即当α为100°，AD＝OD．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．
13．（2024秋•武汉期中）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转90°至△DEC的位置，此时A、B、D三点共线．
（1）求∠CAB的大小；
（2）若BD＝6，DE＝2，求AC的长．
【考点】旋转的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】（1）∠CAB的度数是45°；
（2）AC的长为42．
【分析】（1）由旋转得AC＝DC，∠ACD＝90°，而A、B、D三点共线，所以∠CAB＝∠CDA＝45°；
（2）由旋转得DE＝AB＝2，而BD＝6，所以AD＝AB+BD＝8，由AD=2AC＝8，求得AC＝42．
【解答】解：（1）由旋转得AC＝DC，∠ACD＝90°，
∵A、B、D三点共线，
∴∠CAB＝∠CDA＝45°，
∴∠CAB的度数是45°．
（2）由旋转得DE＝AB＝2，
∵BD＝6，
∴AD＝AB+BD＝2+6＝8，
∵AC＝DC，∠ACD＝90°，
∴AD=AC2+DC2=2AC＝8，
∴AC＝42，
∴AC的长为42．
【点评】此题重点考查旋转的性质、等腰直角三角形的性质等知识，推导出AC＝DC，∠ACD＝90°及AD=2AC是解题的关键．
14．（2024•景德镇二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝50°．将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得△DBE，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求∠ADE的度数．
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由旋转得BA＝BD，通过等腰三角形及直角三角形可求∠ADE度数；
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ABC＝50°，
∴∠CAB＝40°．
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，点E恰好在AB上，
∴BA＝BD，∠ABC＝∠DBA＝50°，
∴∠BAD＝∠ADB=12（180°﹣50°）＝65°，
∵∠BED＝∠ACB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠DAB＝25°．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，解题的关键是会确定旋转角．
15．（2024秋•大荔县校级期中）如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC旋转α（α＜180°）后到达△AEF的位置，点E恰好落在对角线AC上．
（1）它的旋转中心是点 A ，旋转角α＝ 45 °；
（2）若CD＝2，求CE的长．
【考点】旋转的性质；正方形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】（1）A，45；
（2）22−2．
【分析】（1）由题意可得旋转中心，由正方形ABCD，可得∠BAC＝45°，由旋转的性质可知，旋转方向为逆时针，旋转角是45°；
（3）由正方形得到性质得到AB＝BC＝2，∠B＝90°，则AC=AB2+BC2=22，由旋转的性质可知AE＝AB＝2，即可得到CE的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝45°，
∵△ABC旋转α（α＜180°）后到达△AEF的位置，点E恰好落在对角线AC上．
∴由旋转的性质可知，A是旋转中心，旋转方向为逆时针，旋转角是45°；
故答案为：A，45；
（2）∵AB＝BC＝CD＝2，∠B＝90°，
∴AC=AB2+BC2=22+22=22，
由题意可得：AE＝AB＝2，
∴CE=AC−AE=22−2．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质是解题的关键．
考点卡片
1．坐标确定位置
平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．
2．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
3．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
4．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
5．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
6．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
7．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
8．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
9．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
10．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
11．生活中的旋转现象
（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
（2）注意：
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．
12．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
13．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．