2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之一元二次方程练习

这是一份2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之一元二次方程练习，共17页。
A．6B．5C．2D．﹣6
2．（2024秋•碑林区校级期中）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆．销售量逐年增加，2024年预估销售量为28.6万辆．求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ）
A．22（1+x2）＝28.6B．22（1﹣x）2＝28.6
C．28.6（1﹣x）2＝22D．22（1+x）2＝28.6
3．（2024•新邵县三模）若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x1•x2的值是（ ）
A．3B．﹣3C．4D．﹣4
4．（2024•娄底二模）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
5．（2024秋•安宁市校级期中）为了美化环境，2022年某市的绿化投资额为20万元，2024年该市计划绿化投资额达到45万元，设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．45（1﹣x）2＝20B．20（1﹣x2）＝45
C．45（1+x）2＝20D．20（1+x）2＝45
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•思明区校级期中）如图，用48m长的篱笆靠墙（墙足够长）围成一个面积是300m2的长方形鸡场，鸡场有一个2m的门，设与墙垂直的边长为x m，所列方程是 ．
7．（2024秋•江夏区期中）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平．某区开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排28场比赛，则应邀请 个足球队参赛．
8．（2024秋•江津区期中）把方程3x2﹣x＝2化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为 ．
9．（2024秋•香洲区校级期中）已知m、n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则代数式mn+m2﹣2m的值为 ．
10．（2024秋•锡山区期中）某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2020年的5.2吨/（平方公里•月），下降至2022年的3.6吨/（平方公里•月）．若设降尘量的年平均下降率为x，则可列出关于x的方程为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•金凤区校级期中）用合适的方法解方程：
（1）（x﹣2）2＝18；
（2）x2﹣2x﹣2＝0（配方法）；
（3）x2+4x+5＝0；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
12．（2024秋•安宁市校级期中）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程的一个根为3，求方程的另一个根．
13．（2024秋•兰州期中）配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，我们还能用来解决最大值最小值问题，例如：求代数式的最小值．2x2﹣x+2+y2我们使用的方法如下：
原式=2(x2−12x)+2+y2=2(x2−12x+116−116)+2+y2=2(x2−12x+116)−18+2+y2=2(x−14)2+y2+158.∵2(x−14)2≥0，y2≥0，∴2(x−14)2+y2+158≥158，
2x2﹣x+2+y2的最小值是158．
根据材料方法，解答下列问题．
（1）﹣x2﹣4x﹣3的最大值为 ；
（2）求m2+n2+6m﹣4n+20的最小值．
14．（2024秋•思明区校级期中）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等腰直角三角形，c为斜边，解这个一元二次方程．
15．（2024秋•龙岗区期中）已知甲商品每件的进价为20元，售价为每件40元．
（1）若商场计划对甲商品降价促销，预备从原来售价的每件40元进行两次调价后将售价降为每件32.4元．若甲商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）经调查，甲商品每降价1元时，每月可多销售10件．已知甲商品在原售价为每件40元时的月销售量为100件．若商场希望甲商品该月的获利为2250元，请问甲商品在原售价的基础上应降价多少元？
2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋•兰州期中）若x＝4是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．6B．5C．2D．﹣6
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一方程即可．
【解答】解：把x＝4代入方程得：16﹣4m+8＝0，
解得m＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确进行计算是解题关键．
2．（2024秋•碑林区校级期中）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆．销售量逐年增加，2024年预估销售量为28.6万辆．求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ）
A．22（1+x2）＝28.6B．22（1﹣x）2＝28.6
C．28.6（1﹣x）2＝22D．22（1+x）2＝28.6
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】利用2024年某款新能源汽车的预估销售量＝2022年某款新能源汽车的销售量×（1+这款新能源汽车的年平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：22（1+x）2＝28.6．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2024•新邵县三模）若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x1•x2的值是（ ）
A．3B．﹣3C．4D．﹣4
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解：根据根与系数的关系得到x1•x2=−41=−4．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1•x2=ca．
4．（2024•娄底二模）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法；推理能力．
【答案】C
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝8＞0，进而可得出一元二次方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴一元二次方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5．（2024秋•安宁市校级期中）为了美化环境，2022年某市的绿化投资额为20万元，2024年该市计划绿化投资额达到45万元，设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．45（1﹣x）2＝20B．20（1﹣x2）＝45
C．45（1+x）2＝20D．20（1+x）2＝45
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据题意列出形如m（1+x）2＝n的方程即可．
【解答】解：∵2022年某市的绿化投资额为20万元，2024年该市计划绿化投资额达到45万元，
∴20（1+x）2＝45．
故选：D．
【点评】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题 的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•思明区校级期中）如图，用48m长的篱笆靠墙（墙足够长）围成一个面积是300m2的长方形鸡场，鸡场有一个2m的门，设与墙垂直的边长为x m，所列方程是 x（48+2﹣2x）＝300 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】x（48+2﹣2x）＝300．
【分析】根据篱笆的总长及与墙垂直的边长，可得出与墙平行的边长为（48+2﹣2x）m，根据长方形鸡场的面积为300m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵篱笆的总长为48m，且与墙垂直的边长为x m，
∴与墙平行的边长为（48+2﹣2x）m．
根据题意得：x（48+2﹣2x）＝300．
故答案为：x（48+2﹣2x）＝300．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2024秋•江夏区期中）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平．某区开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排28场比赛，则应邀请 8 个足球队参赛．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】8．
【分析】设应该邀请x个足球队参赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为12x（x﹣1），列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设应该邀请x个足球队参赛，
由题意得：12x（x﹣1）＝28，
解得：x＝8或x＝﹣7（舍去），
即应邀请8个足球队参赛．
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2024秋•江津区期中）把方程3x2﹣x＝2化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为 0 ．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】0．
【分析】先将原方程化为一般形式，从而得出二次项系数为3、一次项系数为﹣1、常数项为﹣2，进行计算即可得出答案．
【解答】解：将3x2﹣x＝2化为一般形式为：3x2﹣x﹣2＝0，
∴把方程3x2﹣x＝2化成一般式后，二次项系数为3、一次项系数为﹣1、常数项为﹣2，
∴化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为3+（﹣1）+（﹣2）＝0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）是解此题的关键．
9．（2024秋•香洲区校级期中）已知m、n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则代数式mn+m2﹣2m的值为 0 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】0．
【分析】利用整体代入的思想解决问题．
【解答】解：∵m、n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，
∴m2﹣2m﹣3＝0，mn＝﹣3，
∴m2﹣2m＝3，
∴mn+m2﹣2m＝﹣3+3＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．
10．（2024秋•锡山区期中）某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2020年的5.2吨/（平方公里•月），下降至2022年的3.6吨/（平方公里•月）．若设降尘量的年平均下降率为x，则可列出关于x的方程为 5.2（1﹣x）2＝3.6 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】5.2（1﹣x）2＝3.6．
【分析】根据“2020年的降尘量×（1﹣年平均下降率）2＝2022年的降尘量”求解即可．
【解答】解：根据题意，得5.2（1﹣x）2＝3.6，
故答案为：5.2（1﹣x）2＝3.6．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，涉及平均增长率问题的解法，读懂题意，找到等量关系列出方程是解决问题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•金凤区校级期中）用合适的方法解方程：
（1）（x﹣2）2＝18；
（2）x2﹣2x﹣2＝0（配方法）；
（3）x2+4x+5＝0；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝2+32，x2＝2﹣32；
（2）x1＝1+3，x2＝1−3；
（3）此方程无实数根；
（4）x1=13，x2＝1．
【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可．
（2）利用配方法解一元一次方程即可．
（3）利用公式法解一元二次方程即可．
（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝18，
x﹣2＝±32，
x﹣2＝32或x﹣2＝﹣32，
x1＝2+32，x2＝2﹣32；
（2）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
x﹣1＝±3，
x﹣1=3或x﹣1=−3，
x1＝1+3，x2＝1−3；
（3）x2+4x+5＝0，
∵a＝1，b＝4，c＝5，
Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
∴此方程无实数根；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1），
（3x﹣1）2﹣2（3x﹣1）＝0，
（3x﹣1）（3x﹣1﹣2）＝0，
3x﹣1＝0或3x﹣1﹣2＝0，
x1=13，x2＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程解法，解题关键是根据方程的特点选择合适的方法解方程．
12．（2024秋•安宁市校级期中）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程的一个根为3，求方程的另一个根．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）x＝2．
【分析】（1）求出Δ＝（m﹣4）2，根据（m﹣4）2≥0即可证明结论；
（2）把x＝3代入方程求出m＝5，把m＝5代入x2﹣mx+2m﹣4＝0得x2﹣5x+6＝0，解方程即可得到方程的另一个根．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）
＝m2﹣8m+16
＝（m﹣4）2，
∵（m﹣4）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：把x＝3代入方程得：9﹣3m+2m﹣4＝0，
解得：m＝5，
把m＝5代入x2﹣mx+2m﹣4＝0得：x2﹣5x+6＝0，
解得：x1＝2，x2＝3，
所以另一根为x＝2．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识，关键是求出Δ＝（m﹣4）2解答．
13．（2024秋•兰州期中）配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，我们还能用来解决最大值最小值问题，例如：求代数式的最小值．2x2﹣x+2+y2我们使用的方法如下：
原式=2(x2−12x)+2+y2=2(x2−12x+116−116)+2+y2=2(x2−12x+116)−18+2+y2=2(x−14)2+y2+158.∵2(x−14)2≥0，y2≥0，∴2(x−14)2+y2+158≥158，
2x2﹣x+2+y2的最小值是158．
根据材料方法，解答下列问题．
（1）﹣x2﹣4x﹣3的最大值为 1 ；
（2）求m2+n2+6m﹣4n+20的最小值．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】配方法；运算能力．
【答案】（1）1；（2）7．
【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；
（2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【解答】解：（1）﹣x2﹣4x﹣3
＝﹣（x2+4x+3）
＝﹣（x+2）2+1，
∵﹣（x+2）2≤0，
∴﹣（x+2）2+1≤1，
故答案为：1；
（2）m2+n2+6m﹣4n+20
＝m2+6m+9+n2﹣4n+11
＝（m+3）2+（n﹣2）2+7，
∵（m+3）2≥0，（n﹣2）2≥0，
∴（m+3）2+（n﹣2）2+7≥7．
∴m2+n2+6m﹣4n+20的最小值为7．
【点评】此题考查配方法的应用，解题关键在于理解题意掌握运算法则．
14．（2024秋•思明区校级期中）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等腰直角三角形，c为斜边，解这个一元二次方程．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）见详解；（2）x1＝0，x2=−2．
【分析】（1）把x＝﹣1代入方程整理得b＝c，从而可判断三角形的形状；
（2）利用等腰直角三角形的性质得a＝b，c=2a=2b，方程化为x2+2x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）把x＝﹣1代入方程整理得：b＝c，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，c为斜边，
∴a＝b，c=2a=2b，
∴x2+2x＝0，
x（x+2）＝0，
x1＝0，x2=−2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰直角三角形，解题的关键是掌握一元二次方程的解是能使式子成立的未知数的值．
15．（2024秋•龙岗区期中）已知甲商品每件的进价为20元，售价为每件40元．
（1）若商场计划对甲商品降价促销，预备从原来售价的每件40元进行两次调价后将售价降为每件32.4元．若甲商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）经调查，甲商品每降价1元时，每月可多销售10件．已知甲商品在原售价为每件40元时的月销售量为100件．若商场希望甲商品该月的获利为2250元，请问甲商品在原售价的基础上应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）这个降价率为10%；
（2）甲商品在原售价的基础上应降价5元．
【分析】（1）设这个降价率为x，根据从原来售价的每件40元进行两次调价后将售价降为每件32.4元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设甲商品在原售价的基础上应降价y元，则每月销售量为（100+10x）件，根据商场希望甲商品该月的获利为2250元，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设这个降价率为x，
依题意得：40（1﹣x）2＝32.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
答：这个降价率为10%；
（2）设甲商品在原售价的基础上应降价y元，则每月销售量为（100+10x）件，
依题意得：（40﹣20﹣y）（100+10y）＝2250，
整理得：y2﹣10y+25＝0，
解得：y1＝y2＝5，
答：甲商品在原售价的基础上应降价5元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
4．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
5．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
6．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
7．解一元二次方程-公式法
（1）把x=−b±b2−4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
8．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
9．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
10．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=−（x1+x2），ca=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
11．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
12．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
13．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．