2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之圆的有关性质练习

这是一份2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之圆的有关性质练习，共23页。

A．65°B．70°C．75°D．82.5°
2．（2024秋•永嘉县期中）如图，点A、B、C在⊙O上，已知∠B＝30°，则∠AOC的度数是（ ）
A．30°B．50°C．40°D．60°
3．（2024•广西模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝125°，则∠A的度数为（ ）
A．25°B．30°C．50°D．55°
4．（2024•柯桥区二模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB＝4cm，CD＝3cm．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）
A．4.8cmB．5cmC．5.2cmD．6cm
5．（2024•赤峰）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是（ ）
A．61°B．63°C．65°D．67°
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•番禺区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE＝110°，则∠BOD的度数为 ．
7．（2024秋•安宁市校级期中）如图，AB为圆O的直径，AB圆O的弦，AB⊥CD于M，若AB＝10cm，CD＝8cm，则AM＝ cm．
8．（2024秋•乐清市期中）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝26，点C为⊙O上半圆的一点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于点D，弦AC＝10，那么△ACD的面积是 ．
9．（2024•牡丹江）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为 ．
10．（2024秋•常州期中）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝8cm，则截面⊙O的半径长是 cm．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•海淀区校级期中）如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，边BC为⊙O直径，延长BA、CD交于E且DE＝DA，求证：CD＝DE．
12．（2024秋•和平区期中）已知AB是⊙O的直径，∠CAB＝50°，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，当点E是弦CD的中点时，求∠CDO的大小；
（Ⅱ）如图②，当AC＝AE时，求∠CDO的大小．
13．（2024秋•香洲区校级期中）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠BED＝28°，则∠AOD的度数为 ；
（2）若点B是DE的中点，求证：DE＝AB；
（3）若CD＝3，AB＝12，求⊙O的半径长．
14．（2024秋•浦东新区期中）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB=AC．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝45，BC＝8，求半径OA的长．
15．（2023秋•百色期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．
如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？
2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之圆的有关性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，CA＝CE，若∠ACE＝50°，则∠CBD的大小为（ ）
A．65°B．70°C．75°D．82.5°
【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠A＝∠AEC＝65°，根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，∠ACE＝∠ABD＝50°，再直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由BE＝BC得出∠BCE的度数，再根据角的和差求解即可．
【解答】解：∵CA＝CE，∠ACE＝50°，
∴∠A＝∠AEC=12×（180°﹣∠ACE）＝65°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝25°，
∵∠ACE＝∠ABD＝50°，
∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝75°，
故选：C．
【点评】本题主要考查的是圆周角定理等知识，熟知半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．
2．（2024秋•永嘉县期中）如图，点A、B、C在⊙O上，已知∠B＝30°，则∠AOC的度数是（ ）
A．30°B．50°C．40°D．60°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】D
【分析】直接根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵∠B与∠AOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠B＝30°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×30°＝60°．
故选：D．
【点评】本题考查的是圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
3．（2024•广西模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝125°，则∠A的度数为（ ）
A．25°B．30°C．50°D．55°
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】D
【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠C+∠A＝180°，
∵∠C＝125°，
∴∠A＝55°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
4．（2024•柯桥区二模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB＝4cm，CD＝3cm．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）
A．4.8cmB．5cmC．5.2cmD．6cm
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】B
【分析】由垂径定理求出BN，DM的长，设OM＝x，由勾股定理得到x2+22＝（3.5﹣x）2+1.52，求出x的值，得到OM的长，由勾股定理求出OD长，即可求出纸杯的直径长．
【解答】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OD，OB，
∴MN＝3.5cm，
∵CD∥AB，纸条的宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm，
∴MN⊥CD，
∴DM=12CD=12×4＝2（cm），BN=12AB=12×3＝1.5（cm），
设OM＝x cm，
∴ON＝MN﹣OM＝（3.5﹣x）cm，
∵OM2+MD2＝OD2，ON2+BN2＝OB2，
∴OM2+MD2＝ON2+BN2，
∴x2+22＝（3.5﹣x）2+1.52，
∴x＝1.5，
∴OM＝1.5（cm），
∴OD=OM2+MD2=1.52+22=2.5（cm），
∴纸杯的直径为2.5×2＝5（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理及勾股定理，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出OM的长．
5．（2024•赤峰）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是（ ）
A．61°B．63°C．65°D．67°
【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】B
【分析】根据垂径定理得AC=BC，所以∠AOC＝∠BOC＝42°，根据圆周角定理得∠D=12∠AOC＝21°，再根据OC＝OD，∠C＝∠D＝21°，最后根据三角形的外角的性质即可得出答案．
【解答】解：∵半径OC⊥AB，
∴AC=BC，
∴∠AOC＝∠BOC＝42°，
∴∠D=12∠AOC＝21°，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠D＝21°，
∴∠OED＝∠C+∠BOC＝21°+42°＝63°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•番禺区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE＝110°，则∠BOD的度数为 140° ．
【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】140°．
【分析】根据邻补角的定义求出∠BCD，再根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵∠BCE＝110°，
∴∠BCD＝180°﹣110°＝70°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BCD＝140°，
故答案为：140°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形，掌握圆周角定理是解题的关键．
7．（2024秋•安宁市校级期中）如图，AB为圆O的直径，AB圆O的弦，AB⊥CD于M，若AB＝10cm，CD＝8cm，则AM＝ 2 cm．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】2．
【分析】连接OD，首先利用垂径定理求得DM的长，然后在直角△DOM中，利用勾股定理求得OM的长，则AM的长度即可得到．
【解答】解：连接OD，如图，
∵半径AO⊥CD于M，
∴DM=12CD= 12×8＝4（cm），
∵AB＝10cm，
∴OA=OD=12AB= 12×10＝5（cm），
在Rt△DOM中，OM=OD2−DM2=52−42=3（cm），
则AM＝OA﹣OM＝5﹣3＝2（cm）．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
8．（2024秋•乐清市期中）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝26，点C为⊙O上半圆的一点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于点D，弦AC＝10，那么△ACD的面积是 85 ．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】85．
【分析】连接OD，过点A作AF⊥CD，垂足为F，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而可得∠ACE+∠ECB＝90°，再根据垂直定义可得∠CEB＝90°，从而可得∠CBE+∠ECB＝90°，进而可得∠ACE＝∠CBE，再利用等腰三角形的性质以及等量代换可得∠ACE＝∠OCB，然后利用角平分线的定义可得∠OCD＝∠ECD，从而利用等式的性质可得∠ACD＝45°，进而可得∠AOD＝2∠ACD＝90°，最后在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AF，CF的长，再在Rt△AOD中，利用等腰直角三角形的性质求出AD的长，从而在Rt△ADF中，利用勾股定理求出DF的长，进而求出CD的长，利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：连接OD，过点A作AF⊥CD，垂足为F，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠ECB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠CBE+∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝∠CBE，
∵OB＝OC，
∴∠CBE＝∠OCB，
∴∠ACE＝∠OCB，
∵CD平分∠OCE，
∴∠OCD＝∠ECD，
∴∠ACE+∠DCE＝∠OCB+∠OCD=12∠ACB＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，
在Rt△ACF中，AC＝10，
∴AF＝AC•sin45°＝10×22=52，
CF＝AC•cs45°＝10×22=52，
在Rt△AOD中，AO＝OD=12AB＝13，
∴AD=2AO＝132，
∴DF=AD2−AF2=(132)2−(52)2=122，
∴CD＝CF+DF＝172，
∴△ACD的面积=12CD•AF=12×172×52=85．
故答案为：85．
【点评】此题考查了圆周角定理、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握圆周角定理、勾股定理、三角形面积公式并作出合理的辅助线是解题的关键．
9．（2024•牡丹江）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为 310 ．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】310．
【分析】由垂径定理得CE=ED=12CD=3，设⊙O的半径为r，则O E＝O B﹣E B＝r﹣1，在Rt△OED中，由勾股定理得出方程，求出r＝5，即可得出AE＝9，在Rt△AEC中，由勾股定理即可求解．
【解答】解：∵A B⊥C D，C D＝6，
∴CE=ED=12CD=3，
设⊙O的半径为r，则O E＝O B﹣E B＝r﹣1，
在Rt△OED中，由勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，即（r﹣1）2+32＝r2，
解得：r＝5，
∴OA＝5，OE＝4，
∴AE＝OA+OE＝9，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：AC=CE2+AE2=32+92=310，
故答案为：310．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
10．（2024秋•常州期中）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝8cm，则截面⊙O的半径长是 5 cm．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】5．
【分析】过点O作OG⊥EF交EF于点G，连接OE．设OE＝r cm，根据垂径定理求出EG，用含r的代数式表示出OG，在Rt△OGE中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可．
【解答】解：过点O作OG⊥EF交EF于点G，连接OE．
设OE＝r cm，
∵OG⊥EF，EF＝CD＝8cm，
∴EG=12EF＝4cm，OG＝（8﹣r）cm，
在Rt△OGE中利用勾股定理，得OG2+EG2＝OE2，
∴（8﹣r）2+42＝r2，
∴r＝5，
∴截面⊙O的半径长是5cm．
故答案为：5．
【点评】本题考查垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•海淀区校级期中）如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，边BC为⊙O直径，延长BA、CD交于E且DE＝DA，求证：CD＝DE．
【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】见解析．
【分析】根据等边对等角和圆内接四边形的性质等可得出∠C＝∠E，根据等角对等边得出BC＝BE，根据圆周角定理可得出BD⊥CE，最后根据等腰三角形三线合一即可得证．
【解答】证明：∵DE＝DA，
∴∠E＝∠EAD，
∵四边形ABCD的顶点都在⊙O上，∠EAD+∠BAD＝180°，
∴∠C+∠BAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C，
∴∠C＝∠E，
∴BC＝BE，
∴△BCE是等腰三角形，
∵BC为⊙O直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥CE，
∴CD＝DE．
【点评】本题考查了圆周角定理，掌握圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识是解题的关键．
12．（2024秋•和平区期中）已知AB是⊙O的直径，∠CAB＝50°，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，当点E是弦CD的中点时，求∠CDO的大小；
（Ⅱ）如图②，当AC＝AE时，求∠CDO的大小．
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】（Ⅰ）10°；
（Ⅱ）15°．
【分析】（Ⅰ）根据垂径定理的推论得CD⊥AB，可得∠C＝90°﹣50°＝40°，根据圆周角定理得∠DOE＝2∠C＝80°，即可得出答案；
（Ⅱ）如图②，连接BD，根据等边对等角得∠C＝∠AEC＝65°，根据圆周角定理的推论得∠B＝∠C＝65°，∠CDB＝∠CAB＝50°，利用同圆的半径相等知OB＝OD，得∠ODB＝∠B＝65°，由此可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵AB是直径，点E是弦CD的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠AEC＝∠DEO＝90°，
∵∠CAB＝50°，
∴∠C＝40°，
∴∠DOE＝2∠C＝80°，
∴∠CDO＝10°；
（Ⅱ）如图②，连接BD，
∵AC＝AE，∠A＝50°，
∴∠C＝∠AEC＝65°，
∴∠B＝∠C＝65°，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝65°，
∵∠CDB＝∠CAB＝50°，
∴∠CDO＝∠ODB﹣∠CDB＝65°﹣50°＝15°．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，熟练掌握垂径定理，圆周角定理及其推论是关键，注意运用同弧所对的圆周角相等．
13．（2024秋•香洲区校级期中）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠BED＝28°，则∠AOD的度数为 56° ；
（2）若点B是DE的中点，求证：DE＝AB；
（3）若CD＝3，AB＝12，求⊙O的半径长．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】（1）56°；
（2）见解析；
（3）⊙O的半径长为152．
【分析】（1）利用垂径定理可以得到弧AD和弧BD相等，然后利用圆周角定理求得∠AOD的度数即可；
（2）由点B是DE的中点得BD=BE，根据垂径定理得AD=BD，则AB=DE，由圆心角、弧、弦的关系即可得出结论；
（3）利用垂径定理在直角三角形OAC中求得AO的长即可．
【解答】（1）解：∵OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，
∴弧AD＝弧BD，
∵∠DEB＝28°，
∴∠AOD＝2∠DEB＝56°，
故答案为：56°；
（2）证明：∵点B是DE的中点，
∴BD=BE，
∵OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，
∴AD=BD，
∴BD+AD=BD+BE，
即AB=DE，
∴DE＝AB；
（3）解：∵OD⊥AB，
∴AC＝BC=12AB=12×12＝6，
∵CD＝3，
∴OC＝OD﹣CD＝OA﹣CD，
在直角三角形AOC中，AO2＝OC2+AC2，
∴AO2＝（OA﹣3）2+62，
解得AO=152，
∴⊙O的半径长为152．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理及垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形．
14．（2024秋•浦东新区期中）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB=AC．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝45，BC＝8，求半径OA的长．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）已知AB=AC得到AB＝AC，又OC＝OB，OA＝OA，则△AOB≌△AOC，根据全等三角形的性质知，∠1＝∠2，进而解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解答】证明：（1）连接OB、OC，
∵AB=AC．
∴AB＝AC，
∵OC＝OB，OA＝OA，
在△AOB与△AOC中，
AB=ACOC=OBOA=OA．
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠1＝∠2，
∴AO平分∠BAC；
（2）连接AO并延长交BC于E，连接OB，
∵AB＝AC，AO平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
设OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2，OB2＝OE2+BE2，
可得：(45)2−42=(x+OE)2，x2＝OE2+42，OE+x＝8，
解得：x＝5，OE＝3，
∴半径OA的长＝5．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用圆中半径相等的隐含条件，获得全等的条件，从而利用全等的性质解决问题．
15．（2023秋•百色期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．
如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？
【考点】垂径定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）5m；
（2）1m．
【分析】（1根据垂径定理，勾股定理列方程求解即可；
（2）根据垂径定理、勾股定理求出OG，进而计算出CG即可．
【解答】解：（1）如图，过点O作OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O以点D，由题意可知，CD＝1m，AB＝6m，
∴OC⊥AB，AB＝6m，
∴AC＝BC=12AB＝3m，
设圆的半径为r m，即OA＝OD＝r m，OC＝（r﹣1）m，
在 Rt△AOC中，
OC2+AC2＝OA2，即 （r﹣1）2+32＝r2，
解得r＝5，
即该圆的半径为5m；
（2）设水面升到如图EF的位置，则EF∥AB，OD与EF相交于点G，
∵OD⊥EF，
∴EG＝FG=12EF=12×8=4m，
连接OE，在Rt△EOG中，OE＝5m，EG＝4m，
∴OG=OE2−EG2=3m，
∴CG＝OC﹣OG＝4﹣3＝1（m），
即水面上涨的高度为 1 米．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解决问题的关键．
考点卡片
1．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
2．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
3．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
4．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
5．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
6．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
7．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．