安徽省安庆市怀宁县2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省安庆市怀宁县2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 如果∠是锐角，且，那么∠＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可．
【详解】解：∵，
∴
故选B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
2. 在中，，，，那么的正弦值是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出的长，然后根据角的正弦值公式可得出结果．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴sinA＝＝＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、求角的正弦值，正确运用公式是解题的关键．
3. 将抛物线C1：y＝（x－3）2＋2向左平移3个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（ ）．
A. y＝x2－2B. y＝－x2＋2C. y＝x2＋2D. y＝－x2－2
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线C1的解析式得到顶点坐标，利用二次函数平移的规律：左加右减，上加下减，并根据平移前后二次项的系数不变可得抛物线C2的顶点坐标，再根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线C3所对应的解析式．
【详解】解：∵抛物线 C 1：y＝（x－3）2＋2，其顶点坐标为（3，2）
∵向左平移3个单位长度，得到抛物线C2
∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2）
∵抛物线C2与抛物线C3关于 x轴对称
∴抛物线C3的横坐标不变，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数
∴抛物线C3的顶点坐标为（0，－2），二次项系数为－1
∴抛物线C3的解析式为y＝－x2－2
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移、对称问题，熟练掌握平移的规律以及关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数是解题的关键．
4. 把一副三角板按如图所示的位置摆放，使直角顶点重合，且，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线性质可得，再根据三角形的外角性质可得的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的外角性质，解题关键是结合图形合理利用平行线的性质和三角形的外角性质进行角的转化和计算．
5. 抛物线（是常数）的顶点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【详解】∵，
∴顶点坐标为： ，
∵
∴顶点在第一象限．
故选：A．
6. 已知点，，在同一个函数的图像上，则这个函数可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键；因此由题意易得该函数满足二次函数，可由点，可知抛物线的对称轴为，然后设抛物线解析式为，进而把点B、C代入进行求解即可．
【详解】解：由题意可得该函数只能是抛物线；
由点，可知该抛物线的对称轴为直线，则设抛物线解析式为，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为，
从选项中可知只有C选项符合，所以这个函数可能；
故选C．
7. 如图，在等腰中，，，是上一点，若，则的长为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点D作于E，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理得到，即可证明，得到，再解得到，则，由此求出的长即可求出的长，再求出的长即可．
【详解】解：如图，过点D作于E，
∵在等腰中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
8. 如图，将直线向下平移m（m＞0）个单位长度后得到直线l，直线l与反比例函数的图像在第一象限内相交于点A，与x轴相交于点B，则（ ）
A. 16B. 12C. 8D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移规律，平移后解析式是，代入求出与x轴交点B的坐标是，设A的坐标是，求出，代入求出即可．
【详解】解：∵平移后解析式是，
代入得：，
即，与x轴交点B的坐标是，，
设A的坐标是，
∴
故选：B．
9. 如图，四边形对角线与相交于点O，，那么下列结论中，错误的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及三角形的面积，由条件可证明根据相似三角形的性质可判断A，B；运用面积可判断C，D．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项B正确，不符合题意；
同理可得，，
∴
∴无法得出，故选项A错误，符合题意；
∵
∴，故选项C正确，不符合题意；
∵，
∴，
故选：A．
10. 如图，一个边长分别为、、的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合，另两个顶点分别在正方形的两条边、上，那么这个的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理等知识．如图，由的三边为3、4、5，根据勾股定理逆定理可以证明其是直角三角形，利用正方形的性质可以证明，然后利用相似三角形的性质可以得到，设为则是，根据勾股定理即可求出，也就求出了的面积．
【详解】解：∵的三边为3、4、5，而，
∴为直角三角形，
∴，
∴
而四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴设则
∴
∵为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 在△ABC中，若，则∠C=____________．
【答案】75°
【解析】
【分析】根据非负数性质得，根据三角函数定义求出∠A=60°，∠B=45°，根据三角形内角和定理可得.
【详解】因为
所以
所以
所以∠A=60°，∠B=45°
所以∠C=180°-∠A-∠B=75°
故答案为：75°
【点睛】考核知识点：特殊锐角三角函数．熟记特殊锐角三角函数值是关键．
12. 已知点在反比例函数的图象上，将点P先向右平移9个单位，再向下平移6个单位后得到的点仍在该函数图象上，则k的值是______
【答案】
【解析】
【分析】根据点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”求得点P平移后的点的坐标，根据两点均在反比例函数的图象上，将两点坐标代入反比例函数解析式中求解即可．
【详解】解：∵点，
∴将点P先向右平移9个单位，再向下平移6个单位后得到的点的坐标为，
依题意，得，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、点的坐标平移规律，解题的关键是由点坐标表示出平移后的点的坐标．
13. 已知，，则_________
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查幂的运算，根据幂的运算法则进行计算即可
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2
14. 已知：如图点是正方形的边上的一点，与对角线相交于点，若．
（）_____
（）如果正方形的边长为，则_____
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】（）连接，证明，得到，由得到，利用三角形外角性质可得到，进而根据直角三角形性质得到，即可求解；
（）根据三角函数解直角三角形，得到，求出，利用线段的和差关系即可求出的长度；
本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，三角形外角性质，作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
【详解】解：（）如图，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：；
（）∵正方形的边长为，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，满分90分）
15. 计算：
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算：先运算特殊角的函数值、化简负整数指数幂和零指数幂运算，得，再运算加减法，即可作答．
【详解】解：
．
16. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？
【答案】木条长为尺
【解析】
【分析】设木条长为x尺，根据用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设木条长为x尺，则：绳长为尺，依题意得：
解得：；
答：木条长为尺．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程．
17. 如图，在四边形中，，，求的长．
【答案】34
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，如图，延长与交于点E，在中利用三角函数求得，利用勾股定理求得，然后在中利用三角函数的定义求出，代入计算即可．
【详解】解：如图，延长与延长线交于点E．
在中， ，，
∴，
∴，．
∴，
∴，
∴，
∴，
即的长为34．
18. 若关于x的函数与x轴有交点，求k的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查函数图象与x轴的交点，分和两种情况讨论求解是解决问题的关键．
【详解】解：（1）当，即时，
∴关于x的一次函数显然与与x轴有交点
（2）当，即，
∴关于x的二次函数与x轴有交点，
，
解得：，
又，
，
的取值范围为且．
综合（1）（2）得k的取值范围为．
19. 安徽怀宁县的独秀山是怀宁的祖山，爬山是当地居民周末娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．如图，某周末小军同学从独秀山山底沿斜坡爬了130米到达处，紧接着又向上爬了坡角为的山坡90米，最后到达山顶处，若的坡度为，请你计算独秀山的高度（结果保留根号）．
【答案】米
【解析】
【分析】本题主要考查坡度的概念以及解直角三角形，熟练掌握坡度的概念并能够利用勾股定理列方程，运用三角函数值解直角三角形是解决本题的关键．过点作于点，结合坡度比以及的长度，根据勾股定理列方程求出的长，再根据解直角三角形求出的长，最后相加即可．
【详解】解：如图，过点作于点，则四边形为矩形，
∴
∵的坡度为，米，
∴设（米），则（米），
在中，
解得，
则
在中，，米，
∴（米），
∴（米），
答：独秀山的高度为米．
20. 如图，直线与双曲线相交于点，与x轴交于点C点．

（1）求双曲线表达式；
（2）点P在x轴上，如果的面积为9，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：
（1）把A坐标代入直线解析式求出m的值，确定出A坐标，即可确定出双曲线解析式；
（2）设，表示出的长，高为A纵坐标，根据面积求出x的值，确定出P坐标即可．
【小问1详解】
把代入直线解析式得：，
解得：，
∴．
把代入，得
解得：，
∴双曲线解析式为；
【小问2详解】
对于直线，令，则，
解得：，
∴．
设，可得，
∵，且，
∴，即，
解得：或．
∴点P的坐标为或．
21. 如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）证明，得出，根据平行线的性质得出，即可证明结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理进行证明即可．
【小问1详解】
证明：由菱形可得，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合．
22. 某文体店准备销售某种品牌的学习用品，成本为20元/件试营销期间发现：当销售单价为30元时，每天的销售量为200件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）该学习用品销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（2）该文体店店主热心公益事业，某天购进该种学习用品300件，一部分销售，一部分捐给希望工程，当300件学习用品除去捐赠后剩下的销售完毕，文体店恰好不亏不盈，试求当天捐给希望工程多少件这种学习用品？
【答案】（1）该学习用品销售单价定为35元时，每月获取的利润最大，最大利润是2250元
（2）100件
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用；
（1）设每天的利润为w元，销售单价为x元，则销售量为件，然后可得，进而根据二次函数的性质可进行求解；
（2）设学习用品的销售单价为x元时，则当天销售数量为件，由题意得，，然后进行求解即可
【小问1详解】
解：设每天的利润为w元，销售单价为x元，
则销售量为；
，
∵，
∴当时，w最大值为2250，
答：该学习用品销售单价定为35元时，每月获取的利润最大，最大利润是2250元；
【小问2详解】
解：设学习用品的销售单价为x元时，则当天销售数量为件，
由题意得，，
∴，
解得：（舍去），，
∴捐赠学习用品数为（件）；
答：当天捐给希望工程100件这种学习用品．
23. 已知：矩形，点E是上一点，将矩形沿折叠，点A恰好落在上点F处．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，若点F恰好是的中点，点M是上一点，过点M作交于点N，连接，若平分，
①求的值．
②求证：．
【答案】（1）
（2）① ②见解析
【解析】
【分析】（1）由勾股定理求出，证明，得出比例线段，设则则得出，解方程求出x即可；
（2）①证明，由折叠得，求出即可；②证明，由相似三角形的性质得出，则可得出结论．
【小问1详解】
∵矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得，
∴；
【小问2详解】
①∵F为中点，，
∴，
∴，
由折叠知，
∴
在中，
∴
∴，
∴
②证明：由①得
又∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质及方程的思想方法是解题的关键