广东省深圳市2024-2025学年九年级(上)期末数学模拟试卷(解析版)

这是一份广东省深圳市2024-2025学年九年级(上)期末数学模拟试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（24分）
1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．，是分式方程，不是一元二次方程；故该选项不符合题意；
B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C．，化简后为：，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D．，是一元二次方程，故该选项符合题意；
故选D．
2. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，，
∴，
∴，
故选：B．
3. 若关于的方程没有实数根，则的值可以为（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】D
【解析】∵关于的方程没有实数根，
∴，
解得：，
故选项中只有D选项满足，
故选D.
4. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（ ）
A. ﹣3＜x＜2B. x＜﹣3或x＞2
C. ﹣3＜x＜0或x＞2D. 0＜x＜2
【答案】C
【解析】∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2= （c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，
∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2，
故选C．
5. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】连接．
∵是O的切线，
∴，
根据勾股定理知，
∵当时，线段最短，
又∵、，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
6. 如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是4，则四边形面积是（ ）
A. 6B. 9C. 16D. 18
【答案】B
【解析】∵四边形和四边形是位似图形，
∴，
∵，∴，
∵四边形的面积是4，
∴四边形面积是9．
故选：B.
7. 近日，安徽省政府正式印发《支持5G发展若干政策》，加快布局5G基础设施，壮大5G产业2020年底，全省将建成5G基站数量约1.5万座，按照计划，到2022年底全省5G基站总数量将达到15万座，全省5G基站数量的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
依题意，得：，
故选：C．
8. 如图，四边形是平行四边形，点B在x轴上，的延长线与y轴交于点D， 反比例函数的图象经过点，且与边交于点E．若，且，则点E的横坐标为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形
∴
∴,
∵
∴，即，
∴，
∴反比例函数为，
设直线解析式为，
把，代入可得：，解得：，
∴直线解析式为，
将代入可得：，解得：，
∵点E在第一象限，
∴，
∴点E横坐标为．
故选D．
二、填空题（12分）
9. 因式分解：______．
【答案】
【解析】．
10. 如果反比例函数图象位于第二、四象限，那么的取值范围是_______．
【答案】
【解析】由题意，得：；∴．
11. 如图，正方形纸片边长为12，是边上一点，连接．折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为__________．
【答案】
【解析】在正方形中，∠BAD=∠D =，
∴∠BAM+∠FAM=，
在Rt中，，
∵由折叠的性质可得，
∴AB=BG，∠FBA=∠FBG，
∴BF垂直平分AG，
∴AM=MG，∠AMB=，
∴∠BAM+∠ABM=，∴∠ABM=∠FAM，
∴，
∴ ，∴，∴AM=, ∴AG=，
∴GE=13-.
12. 如图，已知的内接正六边形的边长为4，H为边的中点，则图中阴影部分的面积是________．
【答案】
【解析】过点作交于点，连接，
∵的内接正六边形的边长为4，H为边的中点，
∴，，，为边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴扇形面积：，
∵，
∴阴影部分的面积：．
三、解答题（60分）
13. （1）计算∶；
（2）化简∶．
解：（1）
；
（2）
．
14. 关于的一元二次方程．
（1）若方程总有两个实数根，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若两个实数根，满足，求的值．
解：（1），
∵方程总有两个实数根，
（2）由，
∵，
∴，
整理得，
解得或，
∵，
∴．
15. 为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”五项管理要求，了解学生的“读物”情况，某校调查了一个班学生每周的课外阅读时间，绘制成了不完整的条形图．
（1）若本班学生每周课外阅读时间的平均数为2.5h，请补全条形图；
（2）嘉嘉参与了本次调查，在（1）的条件下，求嘉嘉的课外阅读时间不少于3h的概率．
（3）将每周课外阅读时间为4h的学生视为“阅读达人”，本班的“阅读达人”中一人为女生，其余为男生，老师计划从中随机抽取两人参加市级的中学生诗歌大赛，小强认为选中的两名学生都是男生的概率大，请用列表或画树状图的方法验证他的结论是否正确．
解：（1）设时间为1小时的人数为a人，则，
解得：a=2，
经检验：a=2是原方程的解，
则补图为：
（2）由（1）可知参加课外阅读的人数为人，其中课外阅读时间不少于3h的有人，
∴嘉嘉的课外阅读时间不少于3h的概率为；
（3）画树状图得：

由树状图可知共有种等可能结果，其中选中的两名学生都是男生的有种，所以概率为，
∴小强的结论不正确．
16. 如图，在等边中，点是边上一点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转后得到，连接．求证：
（1）；
（2）．
（1）证明：由旋转可知，，
是等边三角形，
，
，
，即，
；
（2）证明：由（1）知，，
，
，
，
．
17. 如图，点A 在反比例函数的图象上，轴于点B，，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若直线垂直平分线段，交于点D，交y轴于点C，交x轴于点E，求线段的长．
解：（1）轴，，
∵，，
点A的坐标为，
将代入，
得，
反比例函数的表达式为．
（2）连接，过点A作于点，如图所示：
∵直线为线段的垂直平分线，
，
设线段的长为，则，
点A的坐标为，
，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得：，
线段的长为．
18. 如图，已知是的直径，C是上的点，点D在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
（1）证明∶如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
过点O作于点E，
∴，
∴，
∵，
∴阴影部分面积为．
19. 2023年杭州亚运会吉祥物“江南忆”，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，造型形象生动，一开售就深受大家的喜爱，据统计某电商平台7月份的销售量是5万件，9月份的销售量是万件，
（1）若该平台7月份到9月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺吉祥物公仔的进价为每个60元，若售价为每个100元，每天能销售20件，售价每降价10元，每天可多售出20件，为了推广宣传，每个吉祥物的利润不允许高于进价的，设销售吉祥物公仔每天的总利润为w（元），那么每个吉祥物公仔的售价定为多少元时该店铺可获得的利润最大？最大利润是多少元？
解：（1）设月平均增长率为m，根据题意得：，
解得：或（舍去），
答：月平均增长率是；
（2）设每个吉祥物公仔的售价为x元，根据题意得：，
解得：，
则销售吉祥物公仔每天的总利润为：
，
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，获得的利润最大，且最大利润为元．
答：每个吉祥物公仔的售价定为元时该店铺可获得的利润最大，最大利润是1152元．
20. 【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根．
【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得
所以m，n为方程的两个实数根．
【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N．
（3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由．
【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．

解：（1），，，
中，，
，
化简得：，
故答案为：；
（2）先在坐标系内找到，，连接 ，分别A，B为圆心，以大于为半径画弧，连接两弧的交点与交于点P，以P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．如图所示：

（3）由题意得：，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
与x轴有两个交点，
即与x轴相交；
（4）由题意得，以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，
则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是．