贵州省黔东南州2023-2024学年高二(上)期末检测数学试卷(解析版)

这是一份贵州省黔东南州2023-2024学年高二(上)期末检测数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.
1. 已知等比数列的前两项分别为1，－2，则该数列的第4项为（ ）
A. 4B. －4C. 8D. －8
【答案】D
【解析】依题意可得该等比数列的公比为，首项为1，
所以该数列的第4项为．
故选：D
2. 椭圆的焦距为（ ）
A. B. 4C. D. 2
【答案】B
【解析】因为，所以．
故选：B
3. 在空间直角坐标系中，已知向量是平面的一个法向量，且，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直线与平面所成角的正弦值等于
.
故选：B
4. 若数列满足，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
令，可得，则；
令，可得，则.
故选：D.
5. 已知椭圆的焦点为，为上一点，且点不在直线上，则“”是“的周长大于”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为，所以，
又，所以的周长为．
若，则．
若，则．
所以“”是“的周长大于”的必要不充分条件．故C正确.
故选：C.
6. 如图，在三棱锥中，点满足，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】，
所以，故．
故选：C.
7. 已知，C是抛物线上的三个点，F为焦点，，点C到x轴的距离为d，则的最小值为（ ）
A. 10B. C. 11D.
【答案】B
【解析】因为M的准线方程为，
所以由抛物线焦半径公式得，
故，
所以
,
当且仅当C，D，F三点共线且C在线段DF上时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：B
8. 已知双曲线的离心率为，当时，在数列中，满足为有理数的的最大值为（ ）
A. 959B. 960C. 961D. 963
【答案】A
【解析】双曲线的离心率．
因，
所以当时，为有理数，且，
所以满足条件的的最大值为959．
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若直线，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】设的斜率分别为，
结合题意易得：，
因为，所以
因为且，所以.
故选：BD.
10. 已知是空间的一个单位正交基底，则（ ）
A.
B. 构成空间的一个基底
C.
D. 构成空间的一个基底
【答案】ACD
【解析】因为是空间的一个单位正交基底，所以均为单位向量且两两垂直，所以，A正确．
因为，所以不能构成空间的一个基底，B错误．
，C正确．
因为不存在实数，使得，所以构成空间的一个基底，D正确．
故选：ACD
11. 已知公比为的正项等比数列的前项积为，则（ ）
A.
B. 当时，
C.
D. 当，且取得最小值时，只能等于6
【答案】ABC
【解析】由题意，，
在正项等比数列中，，
A项，，A正确；
B项，当时，因为，所以，可得，B正确；
C项，，C正确．
D项，当时，因为，所以，则的最小值为或，D错误．
故选：ABC.
12. 已知为坐标原点，是椭圆的右焦点，与交于两点，分别为的中点，若，则的离心率可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】由，消元得，结合示意图，
所以，
又，分别是的中点，
所以，
又，所以，
有，
即，则，
所以，
即，
则，即，有，由，解得，
即椭圆离心率的取值范围为.
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 双曲线的虚轴长为______．
【答案】6
【解析】因为，所以，
所以该双曲线的虚轴长为6．
故答案为：6
14. 抛物线的准线方程为______．
【答案】
【解析】因为，所以，所以抛物线的准线方程为．
故答案为：
15. 某阶梯大教室座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，且该阶梯大教室共有258个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为____________．
【答案】38
【解析】该阶梯大教室的座位数按照从小到大的顺序依次成等差数列，
且首项为5，公差为3，所以，
设该阶梯大教室共有排，
则，整理得，
因为，所以，
所以该阶梯大教室最后一排的座位数为．故答案为：38.
16. 已知，直线为上的动点.过点作的切线，切点分别为，当最小时，点的坐标为________，直线的方程为__________.
【答案】；
【解析】的标准方程为，其圆心为，半径为2.
如图，

由题意可知，则，
所以当最小时，最小，此时与直线垂直，
所以直线的方程为，即.联立，
解得，所以点的坐标为，.
在Rt中，，同理.
以为圆心，为半径作圆，如图，则线段为与的公共弦，

的方程为，即，
两圆方程相减得，即直线的方程为.
故答案为：；
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相交于两点，求．
解：（1）设圆的方程为，则．
因为圆与轴相切于点，所以，
所以，故圆的标准方程为．
（2）由（1）知，圆心为,半径为4，
因为圆心到直线的距离为，所以．
18. 在数列中，且成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
解：（1）由，即，可知数列是以1为公差的等差数列．
因为成等比数列，所以，
所以，解得，
所以，
故数列的通项公式为.
（2），
则
所以数列的前n项和.
19. 已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）若是上不同的两点，且直线的斜率为5，线段的中点为，证明：点在直线上．
解：（1）因为，
所以根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，
由，得，
所以的方程为．
（2）设两点的坐标分别为，
则
两式相减并整理得，，
设，依题意可得
所以，
即，所以，
即，所以点在直线上．
20. 如图，在直四棱柱中，．
（1）证明：.
（2）若，四边形的面积为，求平面与平面夹角的余弦值.
解：（1）连接，设与相交于点，因为，
所以≌，所以，又，
所以≌，所以，又，
所以，即．
因为平面平面，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以.
（2）由题意知，
以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,
由题意可知，
四边形的面积为，
解得，
所以，
由题意知为平面的一个法向量，
设为平面的一个法向量，则，
则，取，得，则，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.
21. 已知数列的前项和为，且为定值．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
解：（1）因为，且为定值，所以．
当时，，又，
所以，即，即，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
故．
（2）由（1）知，，
则，
所以，
所以，
即，
故．
22. 已知点在抛物线上，点在第一象限，过点且与相切的直线与轴交于点，与轴交于点．
（1）证明：是的中点．
（2）过点作的垂线交于另一点，且，求的斜率．
解：（1）设直线的方程为，则．
与联立，可得．
由，化简得，所以．
解方程，可得，所以．
因为，所以是的中点．
（2）结合（1），设过点且与直线垂直的直线方程为，
与联立，可得．
设，则，
，，
由，得．
因为函数是增函数，且，所以，即的斜率为1．