江苏省扬州市2024届高三(上)期末检测考试数学试卷(解析版)

这是一份江苏省扬州市2024届高三(上)期末检测考试数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了 已知集合，则中元素个数为， 若，则， 已知，则， 将两组数据合并成一组数据后等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则中元素个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】方程，表示圆心为，半径为，
则圆心到直线：的距离为，
得直线与圆相切，只有一个交点，则中元素的个数为1.
故选：B
2. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】由，对应点为在第一象限.
故选：A
3. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知平面向量，
故在上的投影向量为，
故选：B
4. 计算机在进行数的计算处理时，通常使用的是二进制.一个十进制数可以表示成二进制数，则，其中，当时，.例如，则十进制数2024表示成二进制数为.那么，二进制数表示成十进制数为（ ）
A. 1023B. 1024C. 2047D. 2048
【答案】C
【解析】由题设，.
故选：C
5. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，
而，则，所以，即，
由，则，即，
综上，.
故选：D
6. 已知函数的导数为，对任意实数，都有，且，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，可得，
令，结合，则，
所以在R上递减，故，
则原不等式解集为.
故选：A
7. 已知，则（ ）
A. 0B. C. D. 1
【答案】A
【解析】已知，
则，
，
，，
则，，
则
.
故选：A.
8. 在平面直角坐标系中，已知圆，若正方形的一边为圆的一条弦，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】令且，，要使最大有，
如下图示，在中，
所以
，
当且仅当时，
所以的最大值为.
故选：C
二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 已知函数是奇函数或偶函数，则的图象可能是（ ）
A. B.
C D.
【答案】BC
【解析】由已知得，
若为偶函数，则恒成立，
所以恒成立，故，则，
所以时有，显然C对，D错；
若为奇函数，则恒成立，
所以恒成立，故，则，
所以时有，显然B对，A错；
故选：BC
10. 将两组数据合并成一组数据后（可以有重复的数据），下列特征数一定介于合并前两组数据的该种特征数之间（可以取等）的有（ ）.
A. 平均数B. 极差C. 标准差D. 中位数
【答案】AD
【解析】平均数是所有数据总和除以数据个数，所以合并后的数据平均数一定介于合并前两组数据的平均数之间，
例如：2，4，平均数为3，4，6，平均数为5，合并后平均数为4，故A正确；
极差是一组数据中最大值与最小值之差，所以合并后的数据极差不一定介于合并前两组数据的极差，
例如：，2，8，这组数据极差为9；1，3，9，这组数据极差为8，而合并后的极差为10，故B错误；
标准差是一组数据的离散程度，所以合并后的数据标准差不一定介于合并前两组数据的标准差，
例如：2，4，标准差为1，4，6，标准差为1，而合并后标准差为，故C错误；
中位数是一组数据中间位置的数，所以合并后的数据中位数一定介于合并前两组数据的中位数，
例如：，2，8，这组数据中位数为2；1，3，9，这组数据中位数为3，合并后中位数为2.5，故D正确.
故选：AD.
11. 已知，若，且是的必要条件，则可能为（ ）
A. 的最小正周期为
B. 是图象的一条对称轴
C. 在上单调递增
D. 在上没有零点
【答案】AC
【解析】A：为的最小正周期为，则，此时是的必要条件，符合；
B：为是图象的一条对称轴，则，
所以且，则，此时不是的必要条件，不符合；
C：为在上单调递增，则有递增，
所以，即，此时是的必要条件，符合；
D：为在上没有零点，则有没有零点，
所以且，则或，此时不是的必要条件，不符合；
故选：AC
12. 棱长为2的正方体中，下列选项中正确的有（ ）
A. 过的平面截此正方体所得的截面为四边形
B. 过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为
C. 四棱锥与四棱锥的公共部分为八面体
D. 四棱锥与四棱锥的公共部分体积为
【答案】ABD
【解析】连接与线段上任意一点，过作交于，
所以过平面截此正方体所得的截面为四边形，A对；

由上分析及正方体结构特征易知：四边形为平行四边形，
若为各线段上的中点时，四边形为菱形，
此时截面最小面积为；
根据正方体的对称性，从中点向或运动时，四边形面积都是由小变大，
当与重合时，截面最大面积为；
综上，过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为，B对；
令交于，交于，交于，
显然是各交线的中点，若是中点，连接，
所以四棱锥与四棱锥的公共部分为六面体，C错；
其体积，D对.
故选：ABD
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若展开式中的常数项为120，则实数的值为__________.
【答案】
【解析】由二项式展开式的通项为，
令，可得，代入可得，解得.
故答案为：.
14. 某圆台的上下底面半径分别为1和2，若它的外接球表面积为，则该圆台的高为__________.
【答案】
【解析】若外接球半径，则，可得，
由圆台轴截面外接圆为外接球最大截面圆，如下图于，
所以，则该圆台的高.
故答案为：
15. 已知椭圆的右焦点为是的中点，若椭圆上到点的距离最小的点有且仅有一个，则椭圆的离心率的取值范围为__________.
【答案】
【解析】因为椭圆的右焦点，
而是的中点，则
因为椭圆C上到点的距离最小的点有且仅有一个，
又无论该点是在轴上方还是下方，由于椭圆的对称性都会有2个最小点，
而左右顶点中，右顶点更靠近点，
所以右顶点到的距离最小，
设是椭圆上的点，，
，
对于，其开口向上，对称轴为，定义域为，
要使在处取得最小值，
则在上单调递减，
所以，即，则，
又，所以.
故答案为：.
16. 有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为，被标记为垃圾邮件的有的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率为__________.
【答案】
【解析】记“正常邮件”，“标记为正常邮件”，则，，，
所以，，
故，
所以.
故答案为：
四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 在中，角所对的边分别为.
（1）求：
（2）若，求的面积.
解：（1）在中，由正弦定理得，
又，所以，
又，所以，
所以，，所以，故，
所以.
（2）法一：在中，由余弦定理得，
又，所以，解得，
所以.
法二：由（1）知，又，解得.
在中，由正弦定理得，所以，
所以.
18. 已知数列满足.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
证明：（1）因为，所以，
又，所以，故各项均不为0，
所以是常数，则数列是首项为4，公比为4的等比数列.
解：（2）由（1）知，①，
法一：因为，所以，
又，所以，故各项均不为0，
所以是常数，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以②，
①+②得：，所以.
法二：因为，所以，
所以，
所以时，
，
所以，又时，上式也成立，
所以.
19. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，四边形是边长为2的菱形，平面平面分别为的中点，且.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
证明：（1）方法一：连结.
因为为等边三角形，是的中点，所以.
又面面，面面面，所以面.
因为面，所以.
在Rt中，所以，
在中，所以，即，则.
又，所以，
又面，
所以面，又面，所以，
方法二：连结因为为等边三角形，是的中点，所以.
又面面，面面面，所以面.
如图，在平面内作，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.

设，则.
因为，所以①，
因为，所以②，
由①②，解得：（舍负）.
所以，
因为为的中点，所以，所以，
所以，所以.
解：（2）由（1）知，平面，又平面，
所以，又，
以为原点，所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则.
因为为的中点，所以，
由（1）知，又，面，所以面，
所以为平面的一个法向量.
设为平面的一个法向量，则，
因为，所以
取，则，则为平面一个法向量.
所以，
由图知二面角的平面角为钝角，余弦值为.
20. 某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为，记10000名客户中获得赔偿的人数为.
（1）求，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望；
（2）二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若，则，当较大且较小时，我们为了简化计算，常用的值估算的值.
请根据上述信息，求：
①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率；
②该公司今年这一款保险产品亏损的概率.
参考数据：若，则.
解：（1）由题可知，
则，
记该公司今年这一款保险产品利润为变量，则，
所以万元.
（2）因为，当较大且较小时，，则.
由于较大，，其中，
若该公司今年这一款保险产品利润，则，
；
若该公司今年这一款保险产品利润，则，
.
答：（1），该公司今年这一款保险产品利润的期望为75万元；
（2）①该公司今年这一款保险产品利润为万元的概率为0.683；
②亏损的概率为0.0015.
21. 已知双曲线的离心率为，且左焦点到渐近线的距离为.过作直线分别交双曲线于和，且线段的中点分别为，.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线斜率的乘积为，试探究：是否存在定圆，使得直线被圆截得的弦长恒为4？若存在，请求出圆的标准方程；若不存在，请说明理由.
解：（1）因为双曲线的渐近线方程为，左焦点，
所以，则，又，
所以，得，
故双曲线的标准方程为.
（2）由题设知，设，
则，得，，
所以，
又是的中点，所以，
则，同理，
法一：若，即，即，即，
又，则，此时，此时，
由图形的对称性，猜测直线过轴上一定点.
下面，验证一般性：，，
则，所以三点共线.
综上，直线过定点
所以存在定圆，使得直线被圆截得的弦长恒为4.
法二：若，则，
又，所以，
所以直线的方程为，
即，即，
即，所以直线过定点.
若，即，即，即，
又，则，此时，此时也过.
故直线过定点.
所以存在定圆，使得直线被圆截得的弦长恒为4.
22. 已知函数的最小值为.
（1）求实数的值；
（2）若有两个不同的实数根，求证：.
解：（1）因为，令，可得，
当时单调递减；当时单调递增.
所以，所以.
证明：（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
当时，当时，

所以，
先证明.
记，则，
当时，，所以单调递减，
所以当时，，即，
故，即.
又，由单调性知：，即.
再证明.
记函数与和交点的横坐标分别为.
①当时，，故，所以，.
（或：的图象在的图象的下方，且两个函数在上都是减函数）
②当时，记，所以.
当时单调递减；当时单调递增.
又，当时，，即.
故
所以，故.
（或的图象在的图象的下方，且两个函数在上都递增）
综上，.