浙江省湖州市2023-2024学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

这是一份浙江省湖州市2023-2024学年高一(上)期末数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，即，解得，
即，
由，解得，即，
所以.
故选：A.
2. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，，则.
故选：D.
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由不等式，可得，构成集合，
又由，解得，构成集合，
则集合是集合的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 图中实线是某景点收支差额关于游客量的图像，由于目前亏损，景点决定降低成本，同时提高门票价格，决策后的图像用虚线表示，以下能说明该事实的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，当时，虚线值减小，说明成本提高了，不满足题意，A错误；
对于B，两函数图象平行，说明票价不变，不合题意，B错误；
对于C，当时， 值不变，说明成本不变，不满足题意，C错误；
对于D，当时，虚线值变大，说明成本见减小，又因为虚线的倾斜角变大，
说明提高了门票的价格，符合题意，D正确.
故选：D.
5. 已知函数，则使成立的实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】函数单调递增，函数单调递减，所以函数单调递增，
所以，
即，，得，
解得：，所以不等式的解集为.
故选：C.
6. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由对数的运算性质，可得，可得，
且，
又由指数函数的性质，可得，所以.
故选：A.
7. 我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是．已知某音是由3个不同的纯音合成，其函数为，则（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的最小正周期为D. 在上是增函数
【答案】D
【解析】A.，故A错误；
B.，当，时，函数取得最大值1，
，当，时，函数取得最大值，
，当，时，函数取得最大值，由，
但三个函数不能同时取得最大值，所以函数的最大值小于，故B错误；
C.的最小正周期为，的最小正周期为，
的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C错误；
D.，，，
所以函数，，在都是单调递增函数，
则函数在上是增函数，故D正确.
故选：D.
8. 已知函数（）的零点为，函数（）的零点为，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为在单调递增，
所以，
所以函数在单调递增，且，
所以函数在上只有一个零点；
而函数，
且函数的零点为，
所以，所以，故B错误；
对于A，因为函数的零点为，
所以，所以，
所以，故A正确；
对于，故C正确；
对于，故D正确.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 给出下列四个选项中，其中正确的选项有（ ）
A. 若角终边过点且，则
B. 设角为锐角（单位为弧度），则
C. 命题“，使得”的否定是：“，均有”
D. 若，，则“”是“”的充分不必要条件
【答案】ABD
【解析】对于选项A：由题意可得：，解得，故A正确；
对于选项B：设角的终边与单位圆的交点为，单位圆与x轴正方向的交线为A，
作轴，
角为锐角，可知：等于的长，，则，故B正确；
对于选项C：“，使得”的否定是：“，均有”，
故C错误；
对于选项D：由可得，故充分性成立，
若成立，则不一定成立，如，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确.
故选：ABD.
10. 若，，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若且，则B. 若且，则
C. 若，则D.
【答案】BD
【解析】对于A：当，时，满足且，但，故A错误；
对于B：因为且，
所以，故，故B正确；
对于C：因为，所以，即，故C错误；
对于D：因为，
所以，故D正确．
故选：BD．
11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间，点的高度随时间（单位秒）变化时满足函数模型，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的初相为B. 1秒时，函数的相位为0
C. 4秒后，点第一次到达最高点D. 7秒和15秒时，点高度相同
【答案】BC
【解析】由题意知，函数模型中，，，
，所以，
又，得，显然，
所以，即函数的初相为，故A错误；
因为，1秒时，，
所以函数的相位为，故B正确；
4秒时，，
点第一次到达最高点，故C正确；
，，
所以7秒和15秒时，点高度不相同，故D错误．
故选：BC．
12. 已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 是偶函数B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】因为，
令，得，因为，所以，故B错误；
令，则，即，
所以，故A正确；
令，则，所以，
令，则，
所以，则，
所以函数周期为，则，
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 对数函数的反函数是________.
【答案】
【解析】由于同底的指数函数和对数函数互为反函数，所以的反函数为.
14. 已知扇形的圆心角是，半径是3，则该扇形的面积是______.
【答案】
【解析】由题意，在扇形中，弧长，
扇形面积.
15. 设函数，，则函数的值域是______．
【答案】
【解析】，，
令，设，
设，，
因为，则，，，
即，，
所以函数在上单调递增，又也为增函数，
所以函数在单调递增，，
所以函数的值域为.
16. 已知，其中，且，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为______．
【答案】
【解析】因为函数的周期为，再由可知，
函数的一条对称轴是，
所以，，得，，
又，所以，
所以，当，，
由函数在区间上有且只有三个零点，
所以，解得：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，．
（1）求和；
（2）若集合，且，求实数的取值范围．
解：（1）由不等式，解得，所以，
又由，解得，可得，
所以，，则.
（2）由集合，且，可得，
则满足，解得，所以实数的取值范围．
18. 在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边过点．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）由题意得，，则；
另解：由角终边过点，得，，
则.
（2）由题意得，，，
，，
.
19. 随着电动汽车研发技术的日益成熟，电动汽车的普及率越来越高．某型号电动汽车在封闭路段进行测试，限速（不含）．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示．
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
，，．
（1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）在本次测试报告中，该电动汽车的最长续航里程为．若测试过程为匀速运动，请计算本次测试时的车速为何值时，该电动汽车电池所需的容量（单位：）最小？并计算出该最小值．
解：（1）对于，当时，它无意义，所以不符合题意；
对于，它显然是个减函数，所以不符合题意，
故选．
根据提供的数据，则有，
解得，
当时，．
（2）设车速为，所用时间为，
所耗电量，
要使得续航里程最长，则耗电量达到最小，即．
所以当测试员控制的车速为，
该电动汽车的电池所需的最小容量为．
20. 已知定义域为的函数是奇函数．
（1）判断函数的单调性，并证明；
（2）解关于的不等式．
解：（1）因为是定义在上的奇函数，则，
即
，
解得，
所以，
故在上是递减函数．
证明：任取，，且，
，
，，
，即，故是定义在上的递减函数.
（2），
，
是上的减函数，
，
，.
21. 2023年12月1日，“民族魂·中国梦——阳光下成长”2023年浙江省中小学生艺术节闭幕式暨颁奖晚会在湖州大剧院举行．为迎接艺术节闭幕式的到来，承办方计划将场地内一处扇形荒地进行改造．已知该扇形荒地的半径为20米，圆心角，承办方初步计划将其中的（如下左图，点位于弧上，，分别位于半径，）区域改造为花卉区，扇形荒地内其余区域改造为草坪区．
（1）承办方进一步计划将，设计为观光步道，其宽度忽略不计．若观光步道造价为元/米，请你设计观光步道的造价预算，确保观光步道最长时仍有资金保障；
（2）因某种原因，承办方修改了最初的改造计划，将花卉区设计为矩形（如下右图，其中，位于半径上，位于半径上）．为美观起见，承办方最后决定将四边形设计为正方形．求此时花卉区的面积．
解：（1）设，，过点做的垂线交于，
则，，，
所以，，
则，
所以预算应该设定为元．
（2）由题意得，，
因为，可得，
则，所以，
所以.
22. 已知函数满足，函数．
（1）求函数的解析式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围．
解：（1）因为①，
则②，
故联立上述方程组，解得.
（2）由（1）知，，
因为不等式在上恒成立，
所以在上恒成立，
设，则，
所以，，在上恒成立，
所以，在上恒成立，
因为，所以，当时，取得最大值，最大值为，
所以，，在上恒成立，则，
所以的取值范围是．
（3）方程等价于，
即，，
令，则方程化为，（），
因为方程有四个不同的实数解，
所以，（），有两个不同正根、，
记，
所以，，此时.
综上，．0
10
30
70
0
1325
3375
9275