陕西省西安市鄠邑区2024届高三(上)期末考试理科数学试卷(解析版)

这是一份陕西省西安市鄠邑区2024届高三(上)期末考试理科数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，
故选：C
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由得，解得，
所以，则．
故选：D
3. 跑步是一项健康的运动，可以让我们的身体更加强壮.某跑步爱好者坚持每天跑步，如图，这是该跑步爱好者某周跑步时长的折线图.该跑步爱好者这周跑步时长的中位数是（ ）
A. 25B. 35C. 37.5D. 39
【答案】B
【解析】将该跑步爱好者这周的跑步时长按从小到大的顺序排列为，
则该跑步爱好者这周跑步时长的中位数是35.
故选：B.
4. 已知抛物线的焦点为，点在上，且，则（ ）
A. 8B. 10C. 11D. 15
【答案】B
【解析】由抛物线的焦点为，点在上，且，
根据抛物线的定义可得，解得，
将代入抛物线，可得，所以．
故选：B.
5. 已知是奇函数，则（ ）
A. －1B. 1C. －2D. 2
【答案】B
【解析】由函数，
因为是奇函数，所以，
即，
整理得，解得，
所以．
故选：B.
6. 设数列是递增的等比数列，公比为，前项和为.若，则（ ）
A. 31B. 32C. 63D. 64
【答案】A
【解析】由题意可得，整理得，解得或，而，且数列是递增的等比数列，所以不符合题意，
所以，则1，
故.
故选：A.
7. 如图，在长方体中，，异面直线与所成的的余弦值为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，交于点，取的中点，连接.
因为，所以与所成的角为（或其补角）.
令，在中，由，得.
又，，
由余弦定理得，即，解得，
所以.
故选：C
8. 在中，在上，且在上，且．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，
所以，则．
因为，所以，则．
故选：C
9. 已知函数若，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，作出的大致图象，如图所示，
要使得，
即函数与的图象有4个不同交点，则，
所以实数的取值范围是．
故选：A.
10. 已知为第一象限角，若函数的最大值是，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得：
，
则，解得，
且为第一象限角，则，
故.
故选：D.
11. 已知是边长为8的正三角形，是的中点，沿将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在三棱锥中，平面，
由二面角为，，得是正三角形，令其外接圆圆心为，
则，令三棱锥外接球的球心为，球半径为，
则平面，即有，显然球心在线段的中垂面上，令线段的中垂面交于，
则，显然，于是，四边形是平行四边形，且是矩形，
而，因此，
所以三棱锥外接球表面积.
故选：C
12. 若函数，的导函数都存在，恒成立，且，则必有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，得，
设函数，则，所以单调递增，所以，
即，
因，所以，
即.
故选：D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 展开式的系数之和是______．（用数字作答）
【答案】256
【解析】令，得．
故答案为：.
14. 设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则__________.
【答案】
【解析】由等差数列性质可得，则，
又.
故答案为：
15. 某企业举办职工技能大赛，经过层层选拔，最终等5名职工进入决赛．假设这5名职工的水平相当，则两人中至少有1人进入前3名的概率是______．
【答案】
【解析】由题意可知这5名职工最终的排名情况有种，
其中两人中恰有1人进入前3名的情况有种，
两人都进入前3名的情况有种，
故所求概率．
故答案为：.
16. 已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的最大值是，则双曲线的离心率是______．
【答案】
【解析】如图所示，直线与轴交于点，
设，则，
因为，
所以，
又因为，当且仅当时，等号成立，
所以，整理得，则，
解得，所以双曲线 的离心率为．
故答案为：．
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 在中，内角的对边分别是，且.
（1）求的值；
（2）若的周长为18，求的面积.
解：（1）因为，，所以
因为，所以，
则.
（2）因为，所以.
因为，所以，解得.
因为的周长为18，所以，解得，
则.
故的面积为.
18. 中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙．为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示：
规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高．
（1）从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率；
（2）将频率视为概率，现从该地41岁50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记为对中医药文化了解程度高的人数，求的分布列和期望．
解：（1）抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为．
（2）根据表格可知从41岁~50岁年龄段中随机抽取1人，这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率，了解程度低的概率．
由题意可知的可能取值为，
则，，
，，
故的分布列为
的数学期望．
（也可以写成．）
19. 如图，在圆锥中，是圆的直径，且是边长为4的等边三角形，为圆弧的两个三等分点，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
证明：（1）证明：取的中点，连接.
因为为圆弧的两个三等分点，所以.
因为分别为中点，所以，
则，从而四边形为平行四边形，
故.因为平面平面，所以平面.
解：（2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，，
则.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面与平面所成锐二面角为，
则.
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
20. 已知椭圆的离心率是，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）直线与椭圆交于（异于点）两点，记直线的斜率分别为，且，试问直线是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.
解：（1）由题意可得，解得，，，
则椭圆的标准方程为.
（2）当直线的斜率为时，设，
因为，则，从而，
因为在椭圆上，所以，所以，则，不符合题意;
当直线的斜率不为0时，设直线，
联立，整理得，
由题意可知，
则，
因为，所以，
则，
因为，所以，
所以，
将代入上式，得，
则，
整理得，即，
因为，所以，
故直线过定点.
21. 已知函数，.
（1）讨论的单调性.
（2）是否存在两个正整数，，使得当时，？若存在，求出所有满足条件的，的值；若不存在，请说明理由.
解：（1），
当时，，在上单调递减.
当时，令，得.
，，则在上单调递增，
，，则在上单调递减.
（2）由（1）知，令，得在上单调递增，在上单调递减，则.
因为，所以，即，
即，
因为，为正整数，所以.
当时，，
因为，，所以，这与矛盾，不符合题意.
当时，因为，，所以，
所以，得，即.
经检验，当，时，不符合题意，
当，时，符合题意，
当，时，因为，所以，
当时，，，
所以.
综上，仅存在，满足条件.
（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
［选修4－4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程是.
（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
（2）是圆上的动点，求点到直线的距离的最大值.
解：（1）由（为参数），得，即，
则直线的普通方程为.
由，得，
即，
则圆的直角坐标方程为.
（2）由（1）可知圆的圆心坐标为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
故点到直线的距离的最大值为.
［选修4－5：不等式选讲]
23. 已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，求的最小值.
解：（1）因为，所以，
当时，恒成立，则符合题意；
当时，，即，即，可得.
综上，不等式的解集为.
（2）若，则，
根据分段函数的解析式有在上单调递减，
在上单调递增，且当时，
在上单调递增，且当时，，
即在上单调递增，
综上，.0
1
2
3