2025届高中数学一轮复习练习：第二章 限时跟踪检测(4)　基本不等式（含解析）

这是一份2025届高中数学一轮复习练习：第二章 限时跟踪检测(4)　基本不等式（含解析），共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题与解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2]B．[－2,0]
C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]
2．已知x＞0，y＞0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为( )
A．eq \f(\r(2),2)B．2eq \r(2)
C．eq \r(2)D．2
3．用一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为( )
A．eq \f(L2,8)B．eq \f(L2,4)
C．eq \f(L2,2)D．L2
4．若x＜0，则函数y＝x2＋eq \f(1,x2)－x－eq \f(1,x)的最小值是( )
A．－eq \f(9,4)B．0
C．2D．4
5.eq \r(3－aa＋6)(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9B．eq \f(9,2)
C．3D．eq \f(3\r(2),2)
6．已知x＞0，则函数f(x)＝eq \f(x2－5x＋4,x)的最小值为( )
A．－1B．0
C．1D．2
7．(2024·山东泰安模拟)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，若不等式eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)≥m2＋7m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．－8≤m≤1B．m≤－8或m≥1
C．－1≤m≤8D．m≤－1或m≥8
8．(2024·河南安阳模拟)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为m g，则( )
A．m＞10B．m＝10
C．m＜10D．以上都有可能
二、多项选择题
9．下列不等式一定成立的有( )
A．x＋eq \f(1,x)≥2
B．2x(1－x)≤eq \f(1,4)
C．x2＋eq \f(3,x2＋1)≥2eq \r(3)－1
D．eq \r(x)＋eq \f(1,\r(x))≥2
10．(2022·新高考全国Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则( )
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
三、填空题与解答题
11．(1)当x＞1时，x＋eq \f(4,x－1)的最小值为__________．
(2)当x≥4时，x＋eq \f(4,x－1)的最小值为__________．
12．(1)(2024·江苏南京调研)设a≥0，b≥0，且2eq \r(a)＋b＝1，则eq \f(a,b)的最小值为________．
(2)若正实数x，y满足4x2＋y2＋xy＝1，则xy的最大值为________；2x＋y的最大值为________．
13．(2024·安徽黄山模拟)已知函数f(x)＝k－|x－4|，x∈R，且f(x＋4)≥0的解集为[－1，1]．
(1)求k的值；
(2)若a，b，c是正实数，且eq \f(1,ka)＋eq \f(1,2kb)＋eq \f(1,3kc)＝1，求证：eq \f(1,9)a＋eq \f(2,9)b＋eq \f(3,9)c≥1.
高分推荐题
14．(2024·天津静海区模拟)已知正实数a，b，c，a＋b＝3，则eq \f(ac,b)＋eq \f(3c,ab)＋eq \f(3,c＋1)的最小值为________．
解析版
一、单项选择题
1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2]B．[－2,0]
C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]
解析：∵2x＋2y≥2eq \r(2x·2y)＝2eq \r(2x＋y)，当且仅当2x＝2y时，等号成立，∴eq \r(2x＋y)≤eq \f(1,2)，∴2x＋y≤eq \f(1,4)，得x＋y≤－2.故选D．
答案：D
2．已知x＞0，y＞0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为( )
A．eq \f(\r(2),2)B．2eq \r(2)
C．eq \r(2)D．2
解析：∵x＞0，y＞0，x＋2y≥2eq \r(2xy)，当且仅当x＝2y时，等号成立，∴4＝4xy－(x＋2y)≤4xy－2eq \r(2xy)，
即4≤4xy－2eq \r(2xy)，
即(eq \r(2xy)－2)(eq \r(2xy)＋1)≥0，
∴eq \r(2xy)≥2，∴xy≥2.故选D．
答案：D
3．用一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为( )
A．eq \f(L2,8)B．eq \f(L2,4)
C．eq \f(L2,2)D．L2
解析：设菜园平行于墙的一边长为x，其邻边长为y，则x＋2y＝L，面积S＝xy，
因为x＋2y≥2eq \r(2xy)，
所以xy≤eq \f(x＋2y2,8)＝eq \f(L2,8)，
当且仅当x＝2y＝eq \f(L,2)，即x＝eq \f(L,2)，y＝eq \f(L,4)时，Smax＝eq \f(L2,8)，故选A．
答案：A
4．若x＜0，则函数y＝x2＋eq \f(1,x2)－x－eq \f(1,x)的最小值是( )
A．－eq \f(9,4)B．0
C．2D．4
解析：y＝x2＋eq \f(1,x2)－x－eq \f(1,x)≥2eq \r(x2·\f(1,x2))＋2eq \r(－x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x))))＝4，当且仅当x＝－1时，等号成立．
答案：D
5.eq \r(3－aa＋6)(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9B．eq \f(9,2)
C．3D．eq \f(3\r(2),2)
解析：当a＝－6或a＝3时，eq \r(3－aa＋6)＝0；当－6＜a＜3时，eq \r(3－aa＋6)≤eq \f(3－a＋a＋6,2)＝eq \f(9,2)，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－eq \f(3,2)时，等号成立．
答案：B
6．已知x＞0，则函数f(x)＝eq \f(x2－5x＋4,x)的最小值为( )
A．－1B．0
C．1D．2
解析：因为x＞0，所以f(x)＝eq \f(x2－5x＋4,x)＝x＋eq \f(4,x)－5≥2eq \r(x·\f(4,x))－5＝－1，当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x＝2时，等号成立，即当x＞0时，函数f(x)的最小值为－1，故选A．
答案：A
7．(2024·山东泰安模拟)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，若不等式eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)≥m2＋7m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．－8≤m≤1B．m≤－8或m≥1
C．－1≤m≤8D．m≤－1或m≥8
解析：∵x＞0，y＞0，x＋2y＝1，∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝(x＋2y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝eq \f(4y,x)＋eq \f(x,y)＋4≥4＋2eq \r(4)＝8，当且仅当eq \f(4y,x)＝eq \f(x,y)，即x＝2y＝eq \f(1,2)时，等号成立，
∵不等式eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)≥m2＋7m恒成立，∴m2＋7m≤8，解得－8≤m≤1.故选A．
答案：A
8．(2024·河南安阳模拟)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为m g，则( )
A．m＞10B．m＝10
C．m＜10D．以上都有可能
解析：由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a，右臂长为b，则a≠b，设先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，则bx＝5a，ay＝5b，∴x＝eq \f(5a,b)，y＝eq \f(5b,a)，∴x＋y＝eq \f(5a,b)＋eq \f(5b,a)＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)＋\f(b,a)))≥5×2eq \r(\f(a,b)·\f(b,a))＝10，当且仅当eq \f(a,b)＝eq \f(b,a)，即a＝b时，等号成立，但a≠b，等号不成立，即x＋y＞10.因此顾客实际购得的黄金为m＞10.故选A．
答案：A
二、多项选择题
9．下列不等式一定成立的有( )
A．x＋eq \f(1,x)≥2
B．2x(1－x)≤eq \f(1,4)
C．x2＋eq \f(3,x2＋1)≥2eq \r(3)－1
D．eq \r(x)＋eq \f(1,\r(x))≥2
解析：对于A，当x