2025届高中数学一轮复习练习：第四章限时跟踪检测(20)　利用导数证明不等式（含解析）

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(1)当m＝1时，求g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线方程；
(2)当m＝0时，证明：g(x)＋2x＜4ex－8(其中e为自然对数的底数)．
2．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x－1，证明：
(1)当x∈(0，＋∞)时，不等式f(x)≤g(x)恒成立；
(2)对于任意正整数n，不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,22)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,23)))…eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2n)))＜e恒成立(其中e为自然对数的底数)．
3．已知函数f(x)＝aex－1－ln x－1.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)证明：当a≥1时，f(x)≥0.
4．(2023·天津卷)已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,2)))ln(x＋1)．
(1)求曲线y＝f(x)在x＝2处切线的斜率；
(2)当x>0时，证明：f(x)>1；
(3)证明：eq \f(5,6)0时，证明：f(x)>1；
(3)证明：eq \f(5,6)0时f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,2)))·ln(x＋1)>1，即证ln(x＋1)>eq \f(2x,x＋2)，
令g(x)＝ln(x＋1)－eq \f(2x,x＋2)且x>0，则g′(x)＝eq \f(1,x＋1)－eq \f(4,x＋22)＝eq \f(x2,x＋1x＋22)>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则g(x)>g(0)＝0，即ln(x＋1)>eq \f(2x,x＋2).
所以x>0时，f(x)>1.
(3)证明：设h(n)＝ln(n！)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(1,2)))ln n＋n，n∈N*，
则h(n＋1)－h(n)＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(1,2)))ln n－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(1,2)))ln(n＋1)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(1,2)))lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))，
x＝eq \f(1,n)∈(0,1]，由(2)知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(1,2)))lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))>1，
所以h(n＋1)－h(n)eq \f(5,6)，
令φ(x)＝ln x－eq \f(x＋5x－1,4x＋2)且x>0，则φ′(x)＝eq \f(x－121－x,x2x＋12)，
当01时φ′(x)