2025届高中数学一轮复习练习：第五章 限时跟踪检测(24)　基本公式（含解析）

这是一份2025届高中数学一轮复习练习：第五章 限时跟踪检测(24)　基本公式（含解析），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题与解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在△ABC中，若cs Acs B>sin Asin B，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
2．(2024·山东实验中学检测)如果eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝2 013，那么eq \f(1,cs 2α)＋tan 2α＝( )
A．2 010 B．2 011
C．2 012 D．2 013
3．(2024·安徽六安一中月考)已知tan α＝3，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则sin 2α＋cs(π－α)的值为( )
A．eq \f(6－\r(10),10) B．eq \f(6＋\r(10),10)
C．eq \f(5－\r(10),10) D．eq \f(5＋\r(10),10)
4．(2024·湖北荆州重点高中模拟)已知sin α－cs α＝eq \f(\r(3),3)，则cs 4α＝( )
A．－eq \f(1,9) B．eq \f(1,9)
C．eq \f(5,9) D．eq \f(7,9)
5．(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝eq \f(1,3)，cs αsin β＝eq \f(1,6)，则cs(2α＋2β)＝( )
A．eq \f(7,9) B．eq \f(1,9)
C．－eq \f(1,9) D．－eq \f(7,9)
6．已知a＝cs 1°－sin 1°，b＝2eq \r(2)cs222.5°－eq \r(2)，c＝eq \f(1＋tan 1°,1－tan 1°)，则a，b，c的大小顺序为( )
A．b>a>c B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
7．若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－θ))＝eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2θ))＝( )
A．eq \f(2,9) B．－eq \f(2,9)
C．－eq \f(7,9) D．eq \f(7,9)
8．(2024·福建厦门模拟)函数f(x)＝4cs2eq \f(x,2)·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
9．tan 87°－tan 27°－eq \r(3)tan 27°tan 87°＝( )
A．2 B．eq \r(3)
C．－2 D．－5
二、多项选择题
10．若sin eq \f(α,2)＝eq \f(\r(3),3)，α∈(0，π)，则( )
A．cs α＝eq \f(1,3)
B．sin α＝eq \f(2,3)
C．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(6)＋2\r(3),6)
D．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－\f(π,4)))＝eq \f(2\r(3)－\r(6),6)
11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思为今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？假设θ＝∠BAC，现有下述四个结论，其中正确的是( )
A．水深为12尺
B．芦苇长为15尺
C．taneq \f(θ,2)＝eq \f(2,3)
D．taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－eq \f(17,7)
三、填空题与解答题
12．计算：(1)eq \f(sin 47°－sin 17°cs 30°,cs 17°)＝________；
(2)sin 50°(1＋eq \r(3)tan 10°)＝________.
13．若eq \f(3π,2)a
C．c>a>b D．b>c>a
解析：因为a＝cs 1°－sin 1°＝eq \r(2)sin 44°1，所以c>b>a.
答案：B
7．若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－θ))＝eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2θ))＝( )
A．eq \f(2,9) B．－eq \f(2,9)
C．－eq \f(7,9) D．eq \f(7,9)
解析：由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－θ))＝eq \f(1,3)，
得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2θ))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－θ))－1＝－eq \f(7,9)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2θ))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2θ))＋\f(π,2)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2θ))＝－eq \f(7,9)，故选C．
答案：C
8．(2024·福建厦门模拟)函数f(x)＝4cs2eq \f(x,2)·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为f(x)＝4cs2eq \f(x,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))－2sin x－|ln(x＋1)|＝2(1＋cs x)sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，所以函数f(x)的零点个数为函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|图象的交点的个数，作出函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|图象如图，
由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．
答案：B
9．tan 87°－tan 27°－eq \r(3)tan 27°tan 87°＝( )
A．2 B．eq \r(3)
C．－2 D．－5
解析：tan 87°－tan 27°－eq \r(3)tan 27°tan 87°＝tan(87°－27°)(1＋tan 27°tan 87°)－eq \r(3)tan 27°·tan 87°＝eq \r(3)(1＋tan 27°tan 87°)－eq \r(3)tan 27°·tan 87°＝eq \r(3).
答案：B
二、多项选择题
10．若sin eq \f(α,2)＝eq \f(\r(3),3)，α∈(0，π)，则( )
A．cs α＝eq \f(1,3)
B．sin α＝eq \f(2,3)
C．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(6)＋2\r(3),6)
D．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－\f(π,4)))＝eq \f(2\r(3)－\r(6),6)
解析：∵sin eq \f(α,2)＝eq \f(\r(3),3)，α∈(0，π)，∴eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，cs eq \f(α,2)＝eq \r(1－sin2\f(α,2))＝eq \f(\r(6),3).则cs α＝1－2sin2eq \f(α,2)＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2＝eq \f(1,3)，故A正确；
sin α＝2sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)＝2×eq \f(\r(3),3)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(2\r(2),3)，故B错误；
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,4)))＝sin eq \f(α,2)cs eq \f(π,4)＋cs eq \f(α,2)sineq \f(π,4)
＝eq \f(\r(3),3)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(6),3)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)＋2\r(3),6)，故C正确；
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－\f(π,4)))＝sin eq \f(α,2)cs eq \f(π,4)－cs eq \f(α,2)·sin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(3),3)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(6),3)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)－2\r(3),6)，故D错误．故选AC．
答案：AC
11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思为今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？假设θ＝∠BAC，现有下述四个结论，其中正确的是( )
A．水深为12尺
B．芦苇长为15尺
C．taneq \f(θ,2)＝eq \f(2,3)
D．taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－eq \f(17,7)
解析：设BC＝x，则AC＝x＋1，
∵AB＝5，∴52＋x2＝(x＋1)2，∴x＝12，
即水深为12尺，A正确；芦苇长为13尺，B错误；
tan θ＝eq \f(12,5)，由tan θ＝eq \f(2tan \f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))，
解得tan eq \f(θ,2)＝eq \f(2,3)(负值已舍去)，C正确；
∵tan θ＝eq \f(12,5)，∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋tan θ,1－tan θ)＝－eq \f(17,7)，D正确．故选ACD．
答案：ACD
三、填空题与解答题
12．计算：(1)eq \f(sin 47°－sin 17°cs 30°,cs 17°)＝________；
(2)sin 50°(1＋eq \r(3)tan 10°)＝________.
解析：(1)sin 47°＝sin(30°＋17°)＝sin 30°cs 17°＋cs 30°sin 17°，∴原式＝eq \f(sin 30°cs 17°,cs 17°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).
(2)sin 50°(1＋eq \r(3)tan 10°)＝sin 50°·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\r(3)×\f(sin 10°,cs 10°)))＝sin 50°·eq \f(cs 10°＋\r(3)sin 10°,cs 10°)
＝eq \f(2sin 50°cs 50°,cs 10°)＝eq \f(sin 100°,cs 10°)＝eq \f(cs 10°,cs 10°)＝1.
答案：(1)eq \f(1,2) (2)1
13．若eq \f(3π,2)