2025届高中数学一轮复习练习：第五章 限时跟踪检测(26)　三角函数的图象与性质（含解析）

这是一份2025届高中数学一轮复习练习：第五章 限时跟踪检测(26)　三角函数的图象与性质（含解析），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题与解答题等内容，欢迎下载使用。
1．函数y＝lg(tan 2x)的定义域是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)
B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，\f(kπ,2)＋\f(π,2)))(k∈Z)
D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，\f(kπ,2)＋\f(π,4)))(k∈Z)
2．若函数f(x)＝sin 2x与g(x)＝2cs x都在区间(a，b)上单调递减，则b－a的最大值是( )
A．eq \f(π,4) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(π,2) D．eq \f(2π,3)
3．函数y＝eq \f(1,2－x)的图象与函数y＝sin eq \f(πx,2)(－4≤x≤8)的图象所有交点的横坐标之和等于( )
A．4 B．8
C．12 D．16
4．(2024·河北衡水中学调研)若函数f(x)＝|tan(ωx－ω)|(ω>0)的最小正周期为4，则在下列区间中f(x)单调递增的是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(5,3)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，3)) D．(3,4)
5．(2024·贵州贵阳五校联考)下列可能是函数y＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(7π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))图象的对称中心的是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，0)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,8)，0))
6．已知函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，设a＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,7)))，b＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))，c＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>a>c
7．函数f(x)＝eq \f(sin x＋x,cs x＋x2)在[－π，π]上的图象大致为( )
8．设函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))，则f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的单调递减区间是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))
9．(2024·安徽皖江名校高三联考)已知函数f(x)＝eq \r(3)sin(2x＋φ)＋cs(2x＋φ)为偶函数，且在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上单调递增，则φ的一个可能取值为( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(2π,3)
C．eq \f(4π,3) D．eq \f(5π,3)
二、多项选择题
10．(2024·广东汕头模拟)对于函数f(x)＝|sin x|＋cs 2x，下列结论正确的是( )
A．f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(9,8)))
B．f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增
C．f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称
D．f(x)的最小正周期为π
11．已知函数f(x)＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))－cs 2x，则( )
A．f(x)的最大值为eq \f(1＋\r(3),2)
B．f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)，0))对称
C．f(x)图象的对称轴方程为x＝eq \f(5π,12)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)
D．f(x)在[0,2π]上有4个零点
三、填空题与解答题
12．(2024·福建模拟)已知三角函数f(x)满足：①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上单调递减．写出一个同时具有上述性质①②③的函数f(x)＝_____________________________________________.
13．(2024·名师原创)已知函数f(x)＝－cs 2x－eq \r(3)sin 2x，将f(x)的图象上所有点沿x轴平移θ(θ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，且函数g(x)为偶函数，当θ最小时，函数h(x)＝2cs(πx－θ)的图象的对称中心的坐标为______________．
14．(2024·浙江杭州模拟)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))－2sin2eq \f(x,2) .
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)求使f(x)0，所以kπa>c
解析：a＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,7)))＝2cseq \f(13π,42)，b＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，c＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝2cseq \f(5π,12)，因为y＝cs x在[0，π]上递减，又eq \f(13π,42)c.
答案：A
7．函数f(x)＝eq \f(sin x＋x,cs x＋x2)在[－π，π]上的图象大致为( )
解析：由x∈[－π，π]且f(－x)＝eq \f(sin－x＋－x,cs－x＋－x2)＝eq \f(－sin x－x,cs x＋x2)＝－f(x)，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A；又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝eq \f(1＋\f(π,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))2)＝eq \f(4＋2π,π2)>1，f(π)＝eq \f(π,－1＋π2)>0，排除B，C．
答案：D
8．设函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))，则f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的单调递减区间是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))
解析：f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，由2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z，又x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2))).
答案：D
9．(2024·安徽皖江名校高三联考)已知函数f(x)＝eq \r(3)sin(2x＋φ)＋cs(2x＋φ)为偶函数，且在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上单调递增，则φ的一个可能取值为( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(2π,3)
C．eq \f(4π,3) D．eq \f(5π,3)
解析：根据题意，f(x)＝eq \r(3)sin(2x＋φ)＋cs(2x＋φ)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋φ＋\f(π,6)))，
若f(x)为偶函数，则有φ＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即φ＝kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z，所以可以排除B，D；
对于A，当φ＝eq \f(π,3)时，f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝2cs 2x，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上单调递减，不符合题意；对于C，当φ＝eq \f(4π,3)时，f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))＝－2cs 2x，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上单调递增，符合题意．故选C．
答案：C
二、多项选择题
10．(2024·广东汕头模拟)对于函数f(x)＝|sin x|＋cs 2x，下列结论正确的是( )
A．f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(9,8)))
B．f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增
C．f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称
D．f(x)的最小正周期为π
解析：因为f(x)＝|sin x|＋cs 2x，x∈R，所以f(－x)＝|sin(－x)|＋cs(－2x)＝|sin x|＋cs 2x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＋cs[2(x＋π)]＝|sin x|＋cs 2x＝f(x)，所以π是函数f(x)的周期，又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))))＋cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))))＝|cs x|－cs 2x≠f(x)，故f(x)的最小正周期为π.对于A，因为f(x)的最小正周期为π，令x∈[0，π]，此时sin x≥0，所以f(x)＝sin x＋1－2sin2x，令t＝sin x，t∈[0,1]，所以有g(t)＝－2t2＋t＋1＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,4)))2＋eq \f(9,8)，可知其值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(9,8)))，故A，D正确；对于B，由A可知，g(t)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))上单调递减，因为t＝sin x，t∈[0,1]，所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上不单调递增，故B不正确；对于C，因为f(0)＝1，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝0，所以f(0)≠feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))，所以f(x)的图象不关于直线x＝eq \f(π,4)对称，故C不正确．故选AD．
答案：AD
11．已知函数f(x)＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))－cs 2x，则( )
A．f(x)的最大值为eq \f(1＋\r(3),2)
B．f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)，0))对称
C．f(x)图象的对称轴方程为x＝eq \f(5π,12)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)
D．f(x)在[0,2π]上有4个零点
解析：f(x)＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))),2)－cs 2x
＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 2x＋\f(\r(3),2)sin 2x))－cs 2x
＝eq \f(\r(3),4)sin 2x－eq \f(3,4)cs 2x＋eq \f(1,2)
＝eq \f(\r(3),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋eq \f(1,2)，
则f(x)的最大值为eq \f(1＋\r(3),2)，A正确；
易知f(x)图象的对称中心的纵坐标为eq \f(1,2)，B错误；
令2x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，
得x＝eq \f(5π,12)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)，
即f(x)图象的对称轴方程，C正确；
由f(x)＝eq \f(\r(3),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋eq \f(1,2)＝0，
得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),3)，
当x∈[0,2π]时，2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(11π,3)))，
作出函数y＝sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(11π,3)))))的图象，如图所示．
所以方程sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),3)在[0,2π]上有4个不同的实根，
即f(x)在[0,2π]上有4个零点，D正确．
答案：ACD
三、填空题与解答题
12．(2024·福建模拟)已知三角函数f(x)满足：①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上单调递减．写出一个同时具有上述性质①②③的函数f(x)＝_____________________________________________.
解析：对于①，若f(3－x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))中心对称；
对于②，若f(x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝eq \f(1,2)对称；
设f(x)＝2sin(ωx＋φ)，
则T＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－\f(1,2)))＝4，ω＝eq \f(π,2)，
又f(x)的图象关于直线x＝eq \f(1,2)对称，
且函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上单调递减，
则eq \f(ω,2)＋φ＝eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，
得φ＝eq \f(5π,4)＋2kπ，k∈Z.
所以可令f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋\f(5π,4)))，答案不唯一．
答案：2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋\f(5π,4)))(答案不唯一)
13．(2024·名师原创)已知函数f(x)＝－cs 2x－eq \r(3)sin 2x，将f(x)的图象上所有点沿x轴平移θ(θ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，且函数g(x)为偶函数，当θ最小时，函数h(x)＝2cs(πx－θ)的图象的对称中心的坐标为______________．
解析：f(x)＝－cs 2x－eq \r(3)sin 2x＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3))).由五点法作出f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))的部分图象，如图．
要使g(x)为偶函数，只需将f(x)的图象向左平移eq \f(k0,2)π＋eq \f(π,6)(k0∈N)个单位长度或者向右平移eq \f(k1,2)π＋eq \f(π,3)(k1∈N)个单位长度．显然θ的最小值为eq \f(π,6).
所以函数h(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx－\f(π,6)))，
令πx－eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x＝k＋eq \f(2,3)，k∈Z，
故当θ最小时，函数h(x)＝2cs(πx－θ)的图象的对称中心的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋\f(2,3)，0))，k∈Z.
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋\f(2,3)，0))，k∈Z
14．(2024·浙江杭州模拟)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))－2sin2eq \f(x,2) .
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)求使f(x)