2025届高中数学一轮复习练习：第五章 限时跟踪检测(30)　正、余弦定理的应用举例（含解析）

这是一份2025届高中数学一轮复习练习：第五章 限时跟踪检测(30)　正、余弦定理的应用举例（含解析），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题与解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
2．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一．其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山．始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局．因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝14米，则岳阳楼的高度CD约为(eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732)( )
A．18米 B．19米
C．20米 D．21米
3. 第6号台风“烟花”于2021年7月25日登陆舟山普陀区．如图，A点正北方向的C市受到台风侵袭，一艘船从A点出发前去实施救援，以24 n mile/h的速度向正北航行，在A处看到S岛在船的北偏东15°方向上，船航行eq \f(3,4) h后到达B处，在B处看到S岛在船的北偏东45°方向上．此船从A点到C市航行过程中距离S岛的最近距离为 ( )
A．9eq \r(2) n mile B．9(eq \r(2)－1)n mile
C．9(eq \r(3)－1)n mile D．9(eq \r(3)－eq \r(2))n mile
4．(2024·陕西咸阳模拟)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝eq \r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋c2－b2,2)))2)))，其中a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．若eq \f(1－\r(3)cs B,\r(3)sin B)＝eq \f(1,tan C)，b＝2，则△ABC面积S的最大值为( )
A．eq \r(3) B．eq \r(5)
C．2 D．eq \r(2)
5．小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘(如图阴影部分)，为了测量该池塘两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点P1，P2，且P1P2＝a，已经测得两个角∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的是 ( )
①∠DP1C和∠DCP1；②∠P1P2C和∠P1CP2；③∠P1DC和∠DCP1.
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
6．(2024·四川绵阳模拟)《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书．”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清澈，表现力强．如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线AC＝99.9 cm，BC＝100.2 cm，AB＝180 cm，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为( )
A．0.62 B．0.56
C．－0.56 D．－0.62
7．(2024·福建福州模拟)我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领域．如图，有一个从地面A处垂直上升的无人机P，对地面B，C两受灾点的视角为∠BPC，且tan∠BPC＝eq \f(1,3).已知地面上三处受灾点B，C，D共线，且∠ADB＝90°，BC＝CD＝DA＝1 km，则无人机P到地面受灾点D处的遥测距离PD的长度是( )
A．eq \r(2) km B．2 km
C．eq \r(3) km D．4 km
二、多项选择题
8．(2024·重庆质检)某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走3 km，结果离出发点恰好eq \r( ,3) km，那么x的值可以是( )
A．eq \r( ,3) B．2eq \r( ,3)
C．3 D．6
9．(2024·江苏徐州模拟)如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C，D(B，C，D不在同一条直线上)，测得CD＝s.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是( )
A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC
B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD
C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC
D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC
三、填空题与解答题
10．魏晋南北朝时期，数学在测量学取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高谷深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步．关于重差术的注文在唐代成书，因其第一题为测量海岛的高和远的问题，故将《重差》更名为《海岛算经》．受此启发，小明同学依照此法测量泾阳县崇文塔的高度(示意图如图所示)，测得以下数据(单位：米)：前表却行DG＝1，表高CD＝EF＝2，后表却行FH＝3，表间DF＝85.则塔高AB＝________米．
11．(2024·江西南昌模拟)某高一学习小组为测出一绿化区域的面积，进行了一些测量工作，最后将此绿化区域近似地看成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，AB＝2 km，BC＝1 km，∠BAD＝45°，∠B＝60°，∠BCD＝105°，则该绿化区域的面积是________km2.(结果保留根号)
12．(2024·广西南宁模拟)2022年4月16日，搭载着3名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十三号载人飞行舱任务取得圆满成功．假设返回舱D垂直下落于点C，某时刻地面上A，B观测点观测到点D的仰角分别为45°，75°，若A，B间距离为10千米(其中向量eq \(CA,\s\up15(→))与eq \(CB,\s\up15(→))同向)，试估算该时刻返回舱距离地面的距离CD约为________千米．(结果保留整数，参考数据：eq \r(3)≈1.732)
13．在①a(sin A－sin C)＝(b－c)(sin B＋sin C)，②2bcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C－\f(π,3)))＝a＋c，③向量m＝(1＋cs B，eq \r(3)sin C)与n＝(－c，b)，且m⊥n这三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并解答．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且________．
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC是钝角三角形，且b＝eq \r(3)，求a＋c的取值范围．
14．(2024·上海徐汇区模拟)如图，某快递小哥从A地出发，沿小路AB→BC送快件到C处，平均速度为20公里/时，已知BD＝10公里，∠DCB＝45°，∠CDB＝30°，△ABD是等腰三角形，∠ABD＝120°.(参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732)
(1)试问快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？
(2)快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD→DC追赶，若汽车平均速度为60公里/时，问汽车能否先到达C处？
高分推荐题
15．拿破仑·波拿巴，十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其中心依次为D，E，F，若DF＝2eq \r(3)，则eq \f(AB,AD)＝________，AB＋AC的最大值为________．
解析版
一、单项选择题
1．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：由已知，得AD＝20eq \r(10) m，AC＝30eq \r(5) m，又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得cs∠CAD＝eq \f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq \f(30\r(5)2＋20\r(10)2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq \f(6 000,6 000\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，又0°