2025届高中数学一轮复习练习：第六章 限时跟踪检测(34)　复数（含解析）

这是一份2025届高中数学一轮复习练习：第六章 限时跟踪检测(34)　复数（含解析），共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题与解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知i是虚数单位，则“a＝i”是“a2＝－1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(2024·河南联考)若(1＋i)(1－2i)＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝( )
A．－1 B．0
C．2 D．3
3．(2024·辽宁模拟)已知a＋eq \r(5)i＝－2＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝( )
A．1 B.eq \r(7)
C．3 D．9
4．(2024·江西赣州模拟)若复数eq \f(2－mi,1＋2i)＝A＋Bi(m，A，B∈R)，且A＋B＝0，则实数m的值是( )
A.eq \r(2) B.eq \f(2,3)
C．－eq \f(2,3) D．2
5．(2024·安徽蚌埠模拟)非零复数z满足eq \x\t(z)＝－zi，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．实轴 B．虚轴
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
6．(2024·山东东营模拟)如图，若向量eq \(OZ,\s\up15(→))对应的复数为z，且|z|＝eq \r(5)，则eq \f(1,\x\t(z))＝( )
A.eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i B．－eq \f(1,5)－eq \f(2,5)i
C.eq \f(1,5)－eq \f(2,5)i D．－eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i
7．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的( )
A．内心 B．垂心
C．重心 D．外心
8．(2024·陕西西安模拟)已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z＝( )
A．2－2i B．2＋2i
C．－2＋2i D．－2－2i
9．复数z1，z2在复平面内分别对应点A，B，z1＝3＋4i，将点A绕原点O逆时针旋转90°得到点B，如图所示，则eq \x\t(z)2＝( )
A．3－4i B．－4－3i
C．－4＋3i D．－3－4i
10．若复数(x－3)＋yi(x，y∈R)的模为2，则eq \f(y,x)的最大值为( )
A.eq \f(2\r(5),5) B.eq \f(\r(5),2)
C.eq \f(\r(5),3) D.eq \f(2,3)
二、多项选择题
11．(2024·山东济宁模拟)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)，复数z2满足|z2－1＋2i|＝2，z2在复平面内对应的点为M(x，y)，则下列说法正确的是( )
A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限
B.eq \f(1,z1)＝－eq \f(2,5)－eq \f(1,5)i
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝4
D．|z2－z1|的最大值为3eq \r(2)＋2
三、填空题与解答题
12．已知复数z＝eq \f(i＋i2＋i3＋…＋i2 023,1＋i)，则复数z在复平面内对应的点为________．
13．设复数z1，z2分别对应复平面上的点A，B，且∠AOB＝60°，若|z1－z2|＝1，则|z1|的最大值为________．
14．若虚数z同时满足下列两个条件：
①z＋eq \f(5,z)是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．
高分推荐题
15．(多选)欧拉公式exi＝cs x＋isin x是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A．复数e2i对应的点位于第二象限
B．e eq \s\up15( eq \f (π,2)) i为纯虚数
C．复数eq \f(exi,\r(3)＋i)的模等于eq \f(1,2)
D．e eq \s\up15( eq \f (π,6)) i的共轭复数为eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i
解析版
一、单项选择题
1．已知i是虚数单位，则“a＝i”是“a2＝－1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：i是虚数单位，则i2＝－1，“a＝i”是“a2＝－1”的充分条件；
由a2＝－1，得a＝±i，
故“a＝i”是“a2＝－1”的充分不必要条件．
答案：A
2．(2024·河南联考)若(1＋i)(1－2i)＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝( )
A．－1 B．0
C．2 D．3
解析：因为(1＋i)(1－2i)＝3－i＝a＋bi，所以a＝3，b＝－1，所以a＋b＝2.故选C.
答案：C
3．(2024·辽宁模拟)已知a＋eq \r(5)i＝－2＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝( )
A．1 B.eq \r(7)
C．3 D．9
解析：因为a＋eq \r(5)i＝－2＋bi，所以a＝－2，b＝eq \r(5)，则|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(4＋5)＝3.故选C.
答案：C
4．(2024·江西赣州模拟)若复数eq \f(2－mi,1＋2i)＝A＋Bi(m，A，B∈R)，且A＋B＝0，则实数m的值是( )
A.eq \r(2) B.eq \f(2,3)
C．－eq \f(2,3) D．2
解析：由题意知，2－mi＝(A＋Bi)(1＋2i)＝A－2B＋(2A＋B)i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝A－2B，,－m＝2A＋B，,A＋B＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝\f(2,3)，,B＝－\f(2,3)，,m＝－\f(2,3).))
答案：C
5．(2024·安徽蚌埠模拟)非零复数z满足eq \x\t(z)＝－zi，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．实轴 B．虚轴
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
解析：由题意，设z＝a＋bi(a，b∈R)，故eq \x\t(z)＝－zi⇔a－bi＝－(a＋bi)i＝－ai＋b，
故a＝b，－b＝－a，
即复数z＝a＋ai，在复平面内对应的点位于第一或第三象限的角平分线上．
答案：C
6．(2024·山东东营模拟)如图，若向量eq \(OZ,\s\up15(→))对应的复数为z，且|z|＝eq \r(5)，则eq \f(1,\x\t(z))＝( )
A.eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i B．－eq \f(1,5)－eq \f(2,5)i
C.eq \f(1,5)－eq \f(2,5)i D．－eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i
解析：由题意，设z＝－1＋bi(b>0)，则|z|＝eq \r(1＋b2)＝eq \r(5)，解得b＝2，即z＝－1＋2i，所以eq \f(1,\x\t(z))＝eq \f(1,－1－2i)＝eq \f(－1＋2i,－1－2i－1＋2i)＝eq \f(－1＋2i,5)＝－eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i.故选D.
答案：D
7．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的( )
A．内心 B．垂心
C．重心 D．外心
解析：因为|z－z1|，|z－z2|，|z－z3|表示复数z对应的点分别到点A，B，C的距离，故由|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，知复数z对应的点到△ABC三个顶点的距离都相等，则z对应的点是△ABC的外心，故选D.
答案：D
8．(2024·陕西西安模拟)已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z＝( )
A．2－2i B．2＋2i
C．－2＋2i D．－2－2i
解析：由已知，得b2＋b(4＋i)＋4＋ai＝0，
即b2＋4b＋4＋(a＋b)i＝0，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b2＋4b＋4＝0，,a＋b＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－2，))
所以z＝2－2i.
答案：A
9．复数z1，z2在复平面内分别对应点A，B，z1＝3＋4i，将点A绕原点O逆时针旋转90°得到点B，如图所示，则eq \x\t(z)2＝( )
A．3－4i B．－4－3i
C．－4＋3i D．－3－4i
解析：由题意知A(3,4)，B(－4,3)，即z2＝－4＋3i，eq \x\t(z)2＝－4－3i.
答案：B
10．若复数(x－3)＋yi(x，y∈R)的模为2，则eq \f(y,x)的最大值为( )
A.eq \f(2\r(5),5) B.eq \f(\r(5),2)
C.eq \f(\r(5),3) D.eq \f(2,3)
解析： 因为复数(x－3)＋yi(x，y∈R)的模为2，
所以(x－3)2＋y2＝4，
表示以(3,0)为圆心，2为半径的圆，如图所示，
eq \f(y,x)表示过原点和圆上的点(x，y)的直线的斜率，由图可知，当直线与圆相切时，eq \f(y,x)取得最值，
设切线方程为y＝kx，
则eq \f(|3k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝±eq \f(2\r(5),5)，
所以eq \f(y,x)的最大值为eq \f(2\r(5),5).
答案：A
二、多项选择题
11．(2024·山东济宁模拟)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)，复数z2满足|z2－1＋2i|＝2，z2在复平面内对应的点为M(x，y)，则下列说法正确的是( )
A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限
B.eq \f(1,z1)＝－eq \f(2,5)－eq \f(1,5)i
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝4
D．|z2－z1|的最大值为3eq \r(2)＋2
解析：对于A，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(－2，1)，该点位于第二象限，故A正确；
对于B，eq \f(1,z1)＝eq \f(1,－2＋i)＝eq \f(－2－i,－2＋i－2－i)＝－eq \f(2,5)－eq \f(1,5)i，故B正确；
对于C，z2－1＋2i＝(x－1)＋(y＋2)i，
∵|z2－1＋2i|＝2，
∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故C错误；
对于D，z1－1＋2i＝－3＋3i，
则|z1－1＋2i|＝eq \r(－32＋32)＝3eq \r(2).
|z2－z1|＝|(z2－1＋2i)－(z1－1＋2i)|≤|z2－1＋2i|＋|z1－1＋2i|＝2＋3eq \r(2)，故D正确．
答案：ABD
三、填空题与解答题
12．已知复数z＝eq \f(i＋i2＋i3＋…＋i2 023,1＋i)，则复数z在复平面内对应的点为________．
解析：∵i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0，而2 023＝4×505＋3，∴z＝eq \f(i＋i2＋i3＋…＋i2 023,1＋i)＝eq \f(i＋i2＋i3,1＋i)＝eq \f(－1,1＋i)＝eq \f(－1－i,1＋i1－i)＝eq \f(－1＋i,2)，∴复数z在复平面内对应的点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
13．设复数z1，z2分别对应复平面上的点A，B，且∠AOB＝60°，若|z1－z2|＝1，则|z1|的最大值为________．
解析：方法一：依题意，不妨设复数z1＝a，z2＝b(1＋eq \r(3)i)(a，b为正实数)，代入|z1－z2|＝1，并化简得4b2－2ab＋a2－1＝0，
关于b的方程显然有实根，
∴Δ＝(－2a)2－4×4(a2－1)≥0，
解得a2≤eq \f(4,3)，即|a|≤eq \f(2\r(3),3)，故|z1|max＝eq \f(2\r(3),3).
方法二：∠AOB＝60°，且|AB|＝|z1－z2|＝1，即点O对定长的线段AB的张角一定为60°，可知点O在以AB为弦的圆M的优弧上，如图所示．
显然线段AO长度(即|z1|)的最大值为圆M的直径．
由平面几何知识，易知该圆直径为2R＝eq \f(1,\f(\r(3),2))＝eq \f(2\r(3),3)，所以|z1|max＝eq \f(2\r(3),3).
答案：eq \f(2\r(3),3)
14．若虚数z同时满足下列两个条件：
①z＋eq \f(5,z)是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．
解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.
理由如下：
设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
则z＋eq \f(5,z)＝a＋bi＋eq \f(5,a＋bi)＝a＋bi＋eq \f(5a－bi,a2＋b2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(5a,a2＋b2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(5b,a2＋b2)))i.
∵z＋eq \f(5,z)是实数，∴b－eq \f(5b,a2＋b2)＝0.
又b≠0，∴a2＋b2＝5.①
又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，∴a＋3＋b＝0.②
联立①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋3＝0，,a2＋b2＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－1，))故存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足条件．
高分推荐题
15．(多选)欧拉公式exi＝cs x＋isin x是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A．复数e2i对应的点位于第二象限
B．e eq \s\up15( eq \f (π,2)) i为纯虚数
C．复数eq \f(exi,\r(3)＋i)的模等于eq \f(1,2)
D．e eq \s\up15( eq \f (π,6)) i的共轭复数为eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i
解析：e2i＝cs 2＋isin 2，因为eq \f(π,2)