2025届高中数学一轮复习练习：第八章　限时跟踪检测(40)　空间点、线、面的位置关系（含解析）

这是一份2025届高中数学一轮复习练习：第八章　限时跟踪检测(40)　空间点、线、面的位置关系（含解析），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题与解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若a∥α，b∥β，α∥β，则a，b的位置关系是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面或相交
2．下列各图是正方体和四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是( )
A B C D
3．(2024·江西南昌模拟)如图，E，F，G，H分别是菱形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且BE＝2AE，DH＝2HA，CF＝2FB，CG＝2GD，现将△ABD沿BD折起，得到空间四边形ABCD，在折起的过程中，下列说法正确的是( )
A．直线EF，HG有可能平行
B．直线EF，HG一定异面
C．直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上
D．直线EF，HG一定相交，但交点不一定在直线AC上
4．(2024·河北沧州七校联考)如图，在三棱锥D­ABC中，AC⊥BD，一平面截三棱锥D­ABC所得截面为平行四边形EFGH.已知EF＝eq \r( ,2)，EH＝eq \r( ,5)，则异面直线EG和AC所成角的正弦值是( )
A.eq \f(\r( ,14),7) B.eq \f(\r( ,7),7) C.eq \f(\r( ,35),7) D.eq \f(\r( ,2),7)
5．(2024·广东汕头模拟)已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，则下列结论正确的是( )
A．直线b与直线c可能是异面直线
B．直线a与直线c可能平行
C．直线a，b，c必然交于一点(即三线共点)
D．直线c与平面α可能平行
6．(2024·山东青岛二中质量检测)已知l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A．若l⊥m，l⊥n，且m，n⊂α，则l⊥α
B．若m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α相交
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥n，n⊥α，则m⊥α
7．《九章算术·商功》中刘徽注：“邪解立方，得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”如图1所示的长方体用平面AA1B1B斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，该三棱柱就叫堑堵．如图2所示的堑堵中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝2，M为BC的中点，则异面直线A1C与AM所成角的余弦值为( )

图1 图2
A.eq \f(9,13) B.eq \f(8,13) C.eq \f(\r( ,15),9) D.eq \f(\r( ,15),5)
8．(2024·上海嘉定区调研)已知直线m，n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m，n的距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是( )
A．①②③ B．①②④
C．①④ D．②④
9．(2024·湖南常德模拟)在各棱长均相等的四面体ABCD中，已知M是棱AD的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r( ,2),3) B.eq \f(\r( ,2),5) C.eq \f(\r( ,3),6) D.eq \f(\r( ,2),6)
10．(2024·江苏联考)对于命题“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”，要使得该命题是真命题，则( )
A．x，y，z是空间中三个不同的平面
B．x，y，z是空间中三条不同的直线
C．x，z是空间中两条不同的直线，y是空间中的平面
D．x，y是空间中两条不同的直线，z是空间中的平面
二、多项选择题
11．如图，已知二面角A­BD­C的大小为eq \f(π,3)，G，H分别是BC，CD的中点，E，F分别在AD，AB上，且eq \f(AE,AD)＝eq \f(AF,AB)＝eq \f(1,3)，AC⊥平面BCD，则以下说法正确的是( )
A．E，F，G，H四点共面
B．FG∥平面ADC
C．若直线FG，HE交于点P，则P，A，C三点共线
D．若△ABD的面积为6，则△BCD的面积为3
12．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，若平面α⊥AC1，则关于平面α截此正方体所得截面的判断正确的是( )
A．截面形状可能为正三角形
B．截面形状可能为正方形
C．截面形状可能为正六边形
D．截面面积的最大值为3eq \r(3)
三、填空题与解答题
13．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面PAD的位置关系为________，平面AEF与平面ABCD的交线是________．
14．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC，BE＝eq \f(1,3)AB，点F为A1D1的中点，O为直线DB1与平面EFC的交点，则eq \f(DO,OB1)＝________.
15．已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示．
(1)连接BC1，求异面直线AA1与BC1所成角的大小；
(2)连接A1C，A1B，求三棱锥C1­BCA1的体积．
高分推荐题
16. 如图，AB，CD是圆锥面的正截面(垂直于轴的截面)上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面．已知圆锥侧面展开图扇形的中心角为eq \r( ,2)π，求截面与圆锥的轴线的夹角的大小，并说明截线是什么曲线．
解析版
一、单项选择题
1．若a∥α，b∥β，α∥β，则a，b的位置关系是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面或相交
解析：如图1,2,3所示，a，b的关系分别是平行、异面、相交．

图1 图2 图3
答案：D
2．下列各图是正方体和四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是( )
A B C D
解析：在A中，连接PS，QR(图略)，易证PS∥QR，∴P，Q，R，S四点共面．
在B中，P，Q，R，S四点共面，证明如下：
如图所示，取BC中点N，连接NR，QN，PS，可证直线PS，NR 交于直线B1C1上一点E，∴P，N，R，S四点共面，设为α.可证PS∥QN，∴P，Q，N，S四点共面，设为β.
∵α，β都经过P，N，S三点，∴α与β重合，∴P，Q，R，S四点共面．
在C中，连接PQ，SR(图略)，易证PQ∥SR，∴P，Q，R，S四点共面．
在D中，连接QR，PS(图略)，∵QR⊂平面ABC，PS∩平面ABC＝P且P∉QR，
∴直线PS与QR为异面直线．∴P，Q，R，S四点不共面．
答案：D
3．(2024·江西南昌模拟)如图，E，F，G，H分别是菱形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且BE＝2AE，DH＝2HA，CF＝2FB，CG＝2GD，现将△ABD沿BD折起，得到空间四边形ABCD，在折起的过程中，下列说法正确的是( )
A．直线EF，HG有可能平行
B．直线EF，HG一定异面
C．直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上
D．直线EF，HG一定相交，但交点不一定在直线AC上
解析：若直线EF与HG平行，则四边形EFGH为平行四边形，得EH＝GF，与EH≠GF矛盾，故A错误；∵BE＝2AE，DH＝2HA，∴eq \f(AE,BE)＝eq \f(AH,HD)＝eq \f(1,2)，∴EH∥BD且EH＝eq \f(1,3)BD，又CF＝2FB，CG＝2GD，∴eq \f(CF,FB)＝eq \f(CG,GD)＝2，∴FG∥BD且FG＝eq \f(2,3)BD.∴EH∥FG且EH≠FG，∴直线EF，HG一定共面，故B错误；
由EH∥FG，且EH≠FG，可得直线EF与HG一定相交，设交点为O，则O∈EF，又EF⊂平面ABC，∴O∈平面ABC，同理O∈平面ACD.∵平面ABC∩平面ACD＝AC，∴O∈AC，即直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上，故C正确，D错误．
答案：C
4．(2024·河北沧州七校联考)如图，在三棱锥D­ABC中，AC⊥BD，一平面截三棱锥D­ABC所得截面为平行四边形EFGH.已知EF＝eq \r( ,2)，EH＝eq \r( ,5)，则异面直线EG和AC所成角的正弦值是( )
A.eq \f(\r( ,14),7) B.eq \f(\r( ,7),7) C.eq \f(\r( ,35),7) D.eq \f(\r( ,2),7)
解析：四边形EFGH是平行四边形，由线面平行的性质定理可得，AC∥EH，BD∥GH，所以直线EG和AC所成的角即直线EG和EH所成的角．因为AC⊥BD，所以∠EHG＝90°.因为EF＝eq \r( ,2)，EH＝eq \r( ,5)，所以EG＝eq \r( ,7)，故sin∠GEH＝eq \f(\r( ,14),7).
答案：A
5．(2024·广东汕头模拟)已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，则下列结论正确的是( )
A．直线b与直线c可能是异面直线
B．直线a与直线c可能平行
C．直线a，b，c必然交于一点(即三线共点)
D．直线c与平面α可能平行
解析：因为α∩β＝a，α∩γ＝b，a∩b＝O，所以O∈α，O∈β，O∈γ.
因为β∩γ＝c，所以O∈c，
所以直线a，b，c必然交于一点(即三线共点)，故A，B错误，C正确；
假设直线c与平面α平行，由O∈c，可知O∉α，
这与O∈α矛盾，故假设不成立，D错误．
答案：C
6．(2024·山东青岛二中质量检测)已知l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A．若l⊥m，l⊥n，且m，n⊂α，则l⊥α
B．若m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α相交
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥n，n⊥α，则m⊥α
解析：对于A，当m，n平行时，得不出直线l垂直于平面α，故A错误；
对于B，若m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α可能平行，如图所示，故B错误；
对于C，若n⊂α，则直线n不平行于平面α，故C错误；
对于D，因为n⊥α，所以在平面α内的任意直线均与直线n垂直，又m∥n，
则在平面α内的任意直线均与直线m垂直，由直线与平面垂直的定义可知m⊥α，故D正确．故选D.
答案：D
7．《九章算术·商功》中刘徽注：“邪解立方，得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”如图1所示的长方体用平面AA1B1B斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，该三棱柱就叫堑堵．如图2所示的堑堵中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝2，M为BC的中点，则异面直线A1C与AM所成角的余弦值为( )

图1 图2
A.eq \f(9,13) B.eq \f(8,13) C.eq \f(\r( ,15),9) D.eq \f(\r( ,15),5)
解析： 如图，取B1C1的中点E，连接A1E，EC，则A1E∥AM，∠EA1C即为异面直线A1C与AM所成的角(或其补角)，因为在Rt△A1C1E中，A1E＝eq \r( ,9＋4)＝eq \r( ,13)，在Rt△EC1C中，EC＝eq \r( ,22＋22)＝2eq \r( ,2)，在Rt△A1C1C中，A1C＝eq \r( ,13)，所以在△A1EC中，由余弦定理得，cs∠EA1C＝eq \f(A1E2＋A1C2－EC2,2A1E·A1C)＝eq \f(13＋13－8,2\r( ,13)×\r( ,13))＝eq \f(9,13)，故异面直线A1C与AM所成角的余弦值为eq \f(9,13)，故选A.
答案：A
8．(2024·上海嘉定区调研)已知直线m，n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m，n的距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是( )
A．①②③ B．①②④
C．①④ D．②④
解析： 设一个平面β，该平面满足m∥β，n∥β，m，n到平面β的距离相等且异侧，如图，
则平面β内的所有点到两条直线m，n的距离相等．
对于①，若平面α与平面β相交于直线l，则l上的所有点到两条直线m，n的距离相等，故①正确；
对于②，若平面α与平面β重合，则平面α上的所有点到两条直线m，n的距离相等，故②正确；
对于③，任何时候都不可能只有一个点满足条件，故③错误；
对于④，若平面α与平面β平行，则平面α上没有点到两条直线m，n的距离相等，故④正确．故选B.
答案：B
9．(2024·湖南常德模拟)在各棱长均相等的四面体ABCD中，已知M是棱AD的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r( ,2),3) B.eq \f(\r( ,2),5) C.eq \f(\r( ,3),6) D.eq \f(\r( ,2),6)
解析： 如图，设四面体ABCD的棱长为2，取CD的中点N，连接MN，BN，∵M是棱AD的中点，∴MN∥AC，∴∠BMN(或其补角)是异面直线BM与AC所成的角．∵BM＝BN＝eq \r( ,22－12)＝eq \r( ,3)，MN＝eq \f(1,2)AC＝1，∴在△BMN中，cs∠BMN＝eq \f(BM2＋MN2－BN2,2BM·MN)＝eq \f(3＋1－3,2×\r( ,3)×1)＝eq \f(\r( ,3),6)，∴异面直线BM与AC所成角的余弦值为eq \f(\r( ,3),6).
答案：C
10．(2024·江苏联考)对于命题“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”，要使得该命题是真命题，则( )
A．x，y，z是空间中三个不同的平面
B．x，y，z是空间中三条不同的直线
C．x，z是空间中两条不同的直线，y是空间中的平面
D．x，y是空间中两条不同的直线，z是空间中的平面
解析：如果两个平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面相交或平行，所以A错误；空间中如果两条直线同时垂直第三条直线，那么这两条直线可能平行，相交或者异面，所以B错误；由C选项得x∥y，或者x在平面y内，所以C错误；根据线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线互相平行，所以D正确．
答案：D
二、多项选择题
11．如图，已知二面角A­BD­C的大小为eq \f(π,3)，G，H分别是BC，CD的中点，E，F分别在AD，AB上，且eq \f(AE,AD)＝eq \f(AF,AB)＝eq \f(1,3)，AC⊥平面BCD，则以下说法正确的是( )
A．E，F，G，H四点共面
B．FG∥平面ADC
C．若直线FG，HE交于点P，则P，A，C三点共线
D．若△ABD的面积为6，则△BCD的面积为3
解析：连接EF，GH(图略)，由eq \f(AE,AD)＝eq \f(AF,AB)＝eq \f(1,3)知EF綉eq \f(1,3)BD.又GH綉eq \f(1,2)BD，所以EF∥GH，因此E，F，G，H四点共面，A正确；假设FG∥平面ADC成立，因为平面ABC∩平面ADC＝AC，所以FG∥AC，又G是BC的中点，所以F是AB的中点，与eq \f(AF,AB)＝eq \f(1,3)矛盾，B不正确；因为FG⊂平面ABC，P∈FG，所以P∈平面ABC，同理P∈平面ADC，因为平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线，C正确；因为二面角A­BD­C的大小为eq \f(π,3)，AC⊥平面BCD，所以点A到直线BD的距离是点C到直线BD的距离的2倍，故S△BCD＝eq \f(1,2)·S△ABD＝eq \f(1,2)×6＝3，D正确．
答案：ACD
12．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，若平面α⊥AC1，则关于平面α截此正方体所得截面的判断正确的是( )
A．截面形状可能为正三角形
B．截面形状可能为正方形
C．截面形状可能为正六边形
D．截面面积的最大值为3eq \r(3)
解析：如图所示，由正方体的性质可知，AC1⊥平面A1BD，当平面A1BD平行移动时，均可保持与直线AC1垂直，因为△A1BD为正三角形，所以当平面α与平面A1BD重合时，得到截面形状为正三角形，故A正确；当平面α∥平面A1BD，且经过正方体的中心时，截面为正六边形EFGHMN(E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点)，故C正确；当平面α从平面A1BD的位置向C1方向开始平移时，截面面积先逐渐增大，直到平面经过正方体的中心时，截面面积达到最大值，过了中心继续平移，截面面积逐渐减小，所以截面面积的最大值为正六边形的面积，则Smax＝6×eq \f(\r(3),4)×(eq \r(2))2＝3eq \r(3)，故D正确；平面α在平面A1BD与平面CB1D1之间平移时，截面形状为六边形，而在两平面外平移时，截面为三角形，故B错误．故选ACD.
答案：ACD
三、填空题与解答题
13．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面PAD的位置关系为________，平面AEF与平面ABCD的交线是________．
解析：由题易知，EF∥BC，BC∥AD，
所以EF∥AD，又EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，故EF∥平面PAD.
因为EF∥AD，所以E，F，A，D四点共面，所以AD为平面AEF与平面ABCD的交线．
答案：平行 AD
14．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC，BE＝eq \f(1,3)AB，点F为A1D1的中点，O为直线DB1与平面EFC的交点，则eq \f(DO,OB1)＝________.
解析：在D1C1上作靠近点D1的六等分点H，连接FH，如图所示．
∵eq \f(D1H,D1F)＝eq \f(BE,BC)，∴FH∥CE.
连接B1D1，BD，设FH∩B1D1＝N，CE∩BD＝M，连接MN，则M，N，O三点共线(平面EFC∩平面BB1D1D＝MN)．
∵eq \f(BM,DM)＝eq \f(BE,DC)＝eq \f(1,3)，
∴eq \f(DM,BD)＝eq \f(3,4)，即DM＝eq \f(3,4)BD.
过点F作FP∥A1B1交B1D1于点P，
∵eq \f(D1N,NP)＝eq \f(D1H,FP)＝eq \f(1,3)，
∴NP＝3D1N，∴eq \f(D1N,B1D1)＝eq \f(1,8)，
∴eq \f(NB1,B1D1)＝eq \f(7,8)，即NB1＝eq \f(7,8)B1D1.
∴eq \f(DO,OB1)＝eq \f(DM,NB1)＝eq \f(\f(3,4)BD,\f(7,8)B1D1)＝eq \f(6,7).
答案：eq \f(6,7)
15．已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示．
(1)连接BC1，求异面直线AA1与BC1所成角的大小；
(2)连接A1C，A1B，求三棱锥C1­BCA1的体积．
解：(1)如图，连接AO，并延长与BC交于点D，则D是BC边的中点．
∵点O是正三角形ABC的中心，且A1O⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴BC⊥AD，BC⊥A1O.
∵AD∩A1O＝O，AD，A1O⊂平面ADA1，
∴BC⊥平面ADA1.
∵AA1⊂平面ADA1，∴BC⊥AA1.
又AA1∥CC1，
∴异面直线AA1与BC1所成的角为∠BC1C或其补角．
∵CC1⊥BC，且侧棱长和底面边长均为2，
∴四边形BCC1B1为正方形，
∴∠BC1C＝45°，
∴异面直线AA1与BC1所成的角为45°.
(2)∵三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都为2，
∴可求得AD＝eq \r( ,3)，AO＝eq \f(2,3)AD＝eq \f(2\r( ,3),3)，
∴A1O＝eq \r( ,AA\\al(2,1)－AO2)＝eq \f(2\r( ,6),3).
∴VABC­A1B1C1＝S△ABC·A1O＝2eq \r( ,2)，
VA1­B1C1CB＝VABC­A1B1C1－VA1­ABC＝eq \f(4\r( ,2),3).
∴VC1­BCA1＝VA1­BCC1＝eq \f(1,2)VA1­B1C1CB＝eq \f(2\r( ,2),3).
高分推荐题
16. 如图，AB，CD是圆锥面的正截面(垂直于轴的截面)上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面．已知圆锥侧面展开图扇形的中心角为eq \r( ,2)π，求截面与圆锥的轴线的夹角的大小，并说明截线是什么曲线．
解：设⊙O的半径为R，母线VB＝l，则圆锥侧面展开图的中心角为eq \f(2πR,l)＝eq \r( ,2)π，
∴eq \f(R,l)＝eq \f(\r( ,2),2)，∴sin∠BVO＝eq \f(\r( ,2),2)，
∴圆锥的母线与轴的夹角α＝∠BVO＝eq \f(π,4).
∵O，E分别是AB，VB的中点，
∴OE∥VA.
∴∠VOE＝∠AVO＝∠BVO＝eq \f(π,4)，
∴∠VEO＝eq \f(π,2)，即VE⊥OE.
又∵AB⊥CD，VO⊥CD，AB∩VO＝O，
∴CD⊥平面VAB.
∵VE⊂平面VAB，∴VE⊥CD.
又∵OE∩CD＝O，OE，CD⊂平面CDE，
∴VE⊥平面CDE.
∴∠VOE是截面与轴线的夹角，
∴截面与轴线夹角的大小为eq \f(π,4).
由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面CDE与圆锥面的截线为一抛物线．