2025届高中数学一轮复习练习：第八章　限时跟踪检测(43)　空间向量及其应用（含解析）

这是一份2025届高中数学一轮复习练习：第八章　限时跟踪检测(43)　空间向量及其应用（含解析），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题与解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列说法正确的是( )
A．若p＝xa＋yb，则p与a，b不一定共面
B．若p与a，b共面，则p＝xa＋yb
C．若eq \(MP,\s\up16(→))＝xeq \(MA,\s\up16(→))＋yeq \(MB,\s\up16(→))，则P，M，A，B共面
D．若P，M，A，B共面，则eq \(MP,\s\up16(→))＝xeq \(MA,\s\up16(→))＋yeq \(MB,\s\up16(→))
2．设平面α的一个法向量为n＝(x,1，－2)，平面β的一个法向量为m＝(2，－2，y)，若α∥β，则xy＝( )
A．2 B．4 C．－2 D．－4
3．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是线段OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，如图，则正确用向量eq \(OA,\s\up16(→))，eq \(OB,\s\up16(→))，eq \(OC,\s\up16(→))表示向量eq \(OG,\s\up16(→))的是( )
A． eq \(OG,\s\up16(→))＝eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \(OC,\s\up16(→))
B．eq \(OG,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)eq \(OC,\s\up16(→))
C．eq \(OG,\s\up16(→))＝eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up16(→))
D．eq \(OG,\s\up16(→))＝eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)eq \(OC,\s\up16(→))
4．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．若a，b，c三个向量共面，则实数λ＝( )
A.eq \f(62,7) B.eq \f(63,7) C.eq \f(60,7) D.eq \f(65,7)
5．已知正四面体A­BCD的棱长为1，且eq \(AE,\s\up16(→))＝2eq \(EB,\s\up16(→))，eq \(AF,\s\up16(→))＝2eq \(FD,\s\up16(→))，则eq \(EF,\s\up16(→))·eq \(DC,\s\up16(→))＝( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,3) C．－eq \f(2,3) D．－eq \f(1,3)
6．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O，都有eq \(OP,\s\up16(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up16(→))，则P，A，B，C四点( )
A．不共面 B．共面
C．共线 D．不能确定
7．(2024·河北石家庄模拟)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，eq \(AP,\s\up16(→))＝2eq \(PA1,\s\up16(→))，点M在侧面AA1B1B内．若D1M⊥CP，则点M的轨迹为( )
A．线段 B．圆弧
C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分
8．(2024·四川内江、眉山等六市月考)如图，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则AC1＝( )
A．1 B．2
C.eq \r(3) D.eq \r(2)
二、多项选择题
9．(2024·广东梅州模拟)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上(不含端点)运动．若D1M⊥MN，则下列命题正确的是( )
A．MN⊥A1M
B．MN⊥平面D1MC
C．线段BN长度的最大值为eq \f(3,4)
D．三棱锥C1­A1D1M体积不变
三、填空题与解答题
10．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以eq \(AB,\s\up16(→))，eq \(AC,\s\up16(→))为边的平行四边形的面积为________．
11．已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝eq \f(1,2)，若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝eq \f(5,2)，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝________，y0＝________，|b|＝________.
12．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M为AD的中点，N为PC上的点，且PC＝3PN.求证：MN∥平面PAB.
13．(2024·山东济南质检)如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，证明：平面AMC⊥平面BMC.
14．(2024·河南洛阳模拟)如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.
(1)求证：AC⊥BF.
(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出eq \f(BP,PE)的值；若不存在，请说明理由．
高分推荐题
15．如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB.
解析版
一、单项选择题
1．下列说法正确的是( )
A．若p＝xa＋yb，则p与a，b不一定共面
B．若p与a，b共面，则p＝xa＋yb
C．若eq \(MP,\s\up16(→))＝xeq \(MA,\s\up16(→))＋yeq \(MB,\s\up16(→))，则P，M，A，B共面
D．若P，M，A，B共面，则eq \(MP,\s\up16(→))＝xeq \(MA,\s\up16(→))＋yeq \(MB,\s\up16(→))
解析：A项，若p＝xa＋yb，则p与a，b一定共面；B项，若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立；C正确；D项，若M，A，B共线，点P不在此直线上，则eq \(MP,\s\up16(→))＝xeq \(MA,\s\up16(→))＋yeq \(MB,\s\up16(→))不成立．故选C.
答案：C
2．设平面α的一个法向量为n＝(x,1，－2)，平面β的一个法向量为m＝(2，－2，y)，若α∥β，则xy＝( )
A．2 B．4 C．－2 D．－4
解析：因为α∥β，所以m∥n，所以存在实数λ，使得n＝λm，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2λ，,1＝－2λ，,－2＝λy，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝4，,λ＝－\f(1,2)，))所以xy＝－4，故选D.
答案：D
3．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是线段OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，如图，则正确用向量eq \(OA,\s\up16(→))，eq \(OB,\s\up16(→))，eq \(OC,\s\up16(→))表示向量eq \(OG,\s\up16(→))的是( )
A． eq \(OG,\s\up16(→))＝eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \(OC,\s\up16(→))
B．eq \(OG,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)eq \(OC,\s\up16(→))
C．eq \(OG,\s\up16(→))＝eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up16(→))
D．eq \(OG,\s\up16(→))＝eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)eq \(OC,\s\up16(→))
解析：连接ON(图略)．
eq \(OG,\s\up16(→))＝eq \(OM,\s\up16(→))＋eq \(MG,\s\up16(→))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)Meq \(N,\s\up16(→))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)( eq \(ON,\s\up16(→))－eq \(OM,\s\up16(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2) \(OB,\s\up16(→))＋\f(1,2) \(OC,\s\up16(→))－\f(1,2) \(OA,\s\up16(→))))
＝eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up16(→)).故选C.
答案：C
4．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．若a，b，c三个向量共面，则实数λ＝( )
A.eq \f(62,7) B.eq \f(63,7) C.eq \f(60,7) D.eq \f(65,7)
解析：由题意，设c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7＝2t－μ，,5＝－t＋4μ，,λ＝3t－2μ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＝\f(33,7)，,μ＝\f(17,7)，,λ＝\f(65,7).))
故选D.
答案：D
5．已知正四面体A­BCD的棱长为1，且eq \(AE,\s\up16(→))＝2eq \(EB,\s\up16(→))，eq \(AF,\s\up16(→))＝2eq \(FD,\s\up16(→))，则eq \(EF,\s\up16(→))·eq \(DC,\s\up16(→))＝( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,3) C．－eq \f(2,3) D．－eq \f(1,3)
解析：因为eq \(AE,\s\up16(→))＝2eq \(EB,\s\up16(→))，eq \(AF,\s\up16(→))＝2eq \(FD,\s\up16(→))，所以EF∥BD，EF＝eq \f(2,3)BD，即eq \(EF,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up16(→))，
则eq \(EF,\s\up16(→))·eq \(DC,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up16(→))·eq \(DC,\s\up16(→))
＝eq \f(2,3)|eq \(BD,\s\up16(→))||eq \(DC,\s\up16(→))|cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,3).
答案：D
6．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O，都有eq \(OP,\s\up16(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up16(→))，则P，A，B，C四点( )
A．不共面 B．共面
C．共线 D．不能确定
解析：由已知可得
eq \(OP,\s\up16(→))－eq \(OA,\s\up16(→))＝－eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up16(→))
＝－eq \f(1,8)eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up16(→))－eq \f(1,8)eq \(OA,\s\up16(→))，
可得eq \(AP,\s\up16(→))＝－eq \f(1,8)(eq \(OA,\s\up16(→))－eq \(OB,\s\up16(→)))＋eq \f(1,8)(eq \(OC,\s\up16(→))－eq \(OA,\s\up16(→)))＝－eq \f(1,8)eq \(BA,\s\up16(→))＋eq \f(1,8)eq \(AC,\s\up16(→))，
所以eq \(AP,\s\up16(→))，eq \(AC,\s\up16(→))，eq \(AB,\s\up16(→))共面但不共线，
故P，A，B，C四点共面．
答案：B
7．(2024·河北石家庄模拟)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，eq \(AP,\s\up16(→))＝2eq \(PA1,\s\up16(→))，点M在侧面AA1B1B内．若D1M⊥CP，则点M的轨迹为( )
A．线段 B．圆弧
C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分
解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为3，则P(3,0,2)，C(0,3,0)，D1(0,0,3)，M(3，y，z)，eq \(D1M,\s\up16(→))＝(3，y，z－3)，eq \(CP,\s\up16(→))＝(3，－3,2)，所以eq \(D1M,\s\up16(→))·eq \(CP,\s\up16(→))＝9－3y＋2(z－3)＝0，整理为3y－2z－3＝0，即点M的轨迹是平面ABB1A1内，直线3y－2z－3＝0上的一段线段．
答案：A
8．(2024·四川内江、眉山等六市月考)如图，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则AC1＝( )
A．1 B．2
C.eq \r(3) D.eq \r(2)
解析：∵eq \(AC1,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(AD,\s\up16(→))＋eq \(AA1,\s\up16(→))，
∴eq \(AC1,\s\up16(→))2＝eq \(AB,\s\up16(→))2＋eq \(AD,\s\up16(→))2＋eq \(AA1,\s\up16(→))2＋2eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AD,\s\up16(→))＋2eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AA1,\s\up16(→))＋2eq \(AD,\s\up16(→))·eq \(AA1,\s\up16(→))＝1＋1＋1＋2×1×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋2×1×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋2×1×1×eq \f(1,2)＝2，
∴AC1＝eq \r(2).
答案：D
二、多项选择题
9．(2024·广东梅州模拟)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上(不含端点)运动．若D1M⊥MN，则下列命题正确的是( )
A．MN⊥A1M
B．MN⊥平面D1MC
C．线段BN长度的最大值为eq \f(3,4)
D．三棱锥C1­A1D1M体积不变
解析：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
则A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，
设M(3，y,0)，N(3,3，z)，y，z∈(0,3)，则eq \(D1M,\s\up16(→))＝(3，y，－3)，eq \(MN,\s\up16(→))＝(0,3－y，z)，而D1M⊥MN，
则eq \(D1M,\s\up16(→))·eq \(MN,\s\up16(→))＝y(3－y)－3z＝0，即z＝eq \f(1,3)y(3－y)．
对于A选项，连接A1M，eq \(A1M,\s\up16(→))＝(0，y，－3)，则eq \(A1M,\s\up16(→))·eq \(MN,\s\up16(→))＝y(3－y)－3z＝0，则eq \(A1M,\s\up16(→))⊥eq \(MN,\s\up16(→))，MN⊥A1M，A正确；
对于B选项，连接CM，CD1，eq \(CM,\s\up16(→))＝(3，y－3,0)， eq \(CM,\s\up16(→))·eq \(MN,\s\up16(→))＝(y－3)(3－y)＝－(3－y)20，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－λ,1＋λ)，\f(\r(3)λ,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ))).
设平面PAC的法向量m＝(x，y，z)．
由eq \(AP,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－λ,1＋λ)，\f(\r(3)λ,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ)))，eq \(AC,\s\up16(→))＝(0，2eq \r(3)，0)，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(AP,\s\up16(→))＝\f(2－λ,1＋λ)x＋\f(\r(3)λ,1＋λ)y＋\f(2λ,1＋λ)z＝0，,m·\(AC,\s\up16(→))＝2\r(3)y＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(z＝\f(λ－2,2λ)x，,y＝0，))令x＝1，则z＝eq \f(λ－2,2λ)，
所以m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(λ－2,2λ)))为平面PAC的一个法向量．
同理，可求得n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),3)，1))为平面BCEF的一个法向量．
当m·n＝0，即λ＝eq \f(2,3)时，平面PAC⊥平面BCEF，
所以在线段BE上存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF，此时eq \f(BP,PE)＝eq \f(2,3).
高分推荐题
15．如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB.
(1)证明：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a,2)，0))，P(0,0，a)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(a,2)，\f(a,2))).
eq \(EF,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，0，\f(a,2)))， eq \(DC,\s\up16(→))＝(0，a,0)．
因为eq \(EF,\s\up16(→))·eq \(DC,\s\up16(→))＝0，所以eq \(EF,\s\up16(→))⊥eq \(DC,\s\up16(→))，即EF⊥CD.
(2)解：设G(x,0，z)，则eq \(FG,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)，－\f(a,2)，z－\f(a,2)))，
eq \(CB,\s\up16(→))＝(a,0,0)， eq \(CP,\s\up16(→))＝(0，－a，a)，
若使GF⊥平面PCB，则需eq \(FG,\s\up16(→))·eq \(CB,\s\up16(→))＝0，且eq \(FG,\s\up16(→))·eq \(CP,\s\up16(→))＝0，
由eq \(FG,\s\up16(→))·eq \(CB,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)，－\f(a,2)，z－\f(a,2)))·(a,0,0)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)))＝0，得x＝eq \f(a,2)，
由eq \(FG,\s\up16(→))·eq \(CP,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)，－\f(a,2)，z－\f(a,2)))·(0，－a，a)＝eq \f(a2,2)＋aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(z－\f(a,2)))＝0，得z＝0.
所以G点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，0，0))，即G为AD的中点时，GF⊥平面PCB.