2025届高中数学一轮复习练习：第九章限时跟踪检测(52)　椭圆(二)（含解析）

这是一份2025届高中数学一轮复习练习：第九章限时跟踪检测(52)　椭圆(二)（含解析），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题与解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，A(0,2eq \r(3))，当△APF的周长最大时，直线AP的方程为( )
A．y＝－eq \f(\r(3),3)x＋2eq \r(3) B．y＝eq \f(\r(3),3)x＋2eq \r(3)
C．y＝－eq \r(3)x＋2eq \r(3) D．y＝eq \r(3)x＋2eq \r(3)
2．直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,m)＝1总有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．eq \f(1,2)≤mb>0)的焦距为2eq \r( ,6)，且过点A(2,1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不经过点A的直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于P，Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和为0，证明：直线PQ的斜率为定值．
高分推荐题
15．(2024·江苏南通模拟)某城市决定在夹角为30°的两条道路EB，EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，AB＝2千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45°，交OD于G.
(1)若OE＝3千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；
(2)若椭圆的离心率为eq \f(\r( ,3),2)，当线段OG的长为何值时，游乐区域△OMN的面积最大？
解析版
一、单项选择题
1．已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，A(0,2eq \r(3))，当△APF的周长最大时，直线AP的方程为( )
A．y＝－eq \f(\r(3),3)x＋2eq \r(3) B．y＝eq \f(\r(3),3)x＋2eq \r(3)
C．y＝－eq \r(3)x＋2eq \r(3) D．y＝eq \r(3)x＋2eq \r(3)
解析：F(2,0)，设左焦点为F1(－2,0)，∵△APF的周长C＝|AF|＋|PA|＋|PF|，又|PF|＝2a－|PF1|＝6－|PF1|，|AF|＝eq \r( ,22＋2\r( ,3)2)＝4，∴C＝10＋|PA|－|PF1|.∵|PA|－|PF1|≤|AF1|＝4，∴当点P，A，F1三点共线，且F1在线段PA上时，|PA|－|PF1|取到最大值4，周长最大，此时直线AP：y＝eq \r(3)x＋2eq \r(3).
答案：D
2．直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,m)＝1总有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．eq \f(1,2)≤m0，
所以椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋y2＝1，当a最大时直线EF与椭圆相切，联立直线EF与椭圆的方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋y2＝1，,y＝－\r( ,3)x＋3，))消去y并整理得(1＋3a2)x2－6eq \r( ,3)a2x＋8a2＝0，
由Δ＝(－6eq \r( ,3)a2)2－4(1＋3a2)·8a2＝0，
解得a＝eq \f(2\r( ,6),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r( ,6),3)舍去)).
所以椭圆的长半轴长的最大值为eq \f(2\r( ,6),3).
(2)因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r( ,3),2)，b＝1，a2＝b2＋c2，
所以a2＝4，
所以椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1(x≥0)．
设OG＝t>0，则G(t,0)，又MN的倾斜角为45°，则直线MN的方程为y＝x－t，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－t，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y并整理可得5x2－8tx＋4t2－4＝0，Δ＝80－16t2>0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(8t,5)，x1x2＝eq \f(4t2－4,5)，
|y1－y2|＝|x1－x2|＝
eq \r( ,x1＋x22－4x1x2)＝
eq \r( ,\f(64t2,25)－4·\f(4t2－4,5))＝eq \f(4,5)·eq \r( ,5－t2)，
所以S△OMN＝eq \f(1,2)|OG|·|y1－y2|＝eq \f(1,2)·t·eq \f(4,5)·eq \r( ,5－t2)＝eq \f(2,5)eq \r( ,5t2－t4)＝
eq \f(2,5)eq \r( ,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t2－\f(5,2)))2＋\f(25,4))，
要保证MN与半椭圆有两个交点，当N位于B时t＝1，
所以1≤t≤2，满足Δ>0，
当t2＝eq \f(5,2)时，即t＝eq \f(\r( ,10),2)时，
S△OMN有最大值，为1.
综上所述，当OG＝eq \f(\r( ,10),2)时，△OMN的面积最大．