2025届高中数学一轮复习练习：第九章限时跟踪检测(53)　双曲线(一)（含解析）

这是一份2025届高中数学一轮复习练习：第九章限时跟踪检测(53)　双曲线(一)（含解析），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题与解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r( ,2),2)x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( )
A．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1
B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1或eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1
C．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1
D．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1或eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1
2．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为eq \r(3)x±y＝0，则该双曲线的实轴长为( )
A．2 B．1
C．eq \r(3) D．2eq \r(3)
3．设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,24a2)＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则tan∠PF2F1＝( )
A．eq \f(4,3) B．eq \f(7,4)
C．2 D．eq \f(12,5)
4．(2024·广东惠州调研)“m>2”是“方程eq \f(x2,2－m)＋eq \f(y2,m＋1)＝1表示双曲线”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(2024·河南洛阳联考)设F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，过F1引圆x2＋y2＝9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|＝ ( )
A．4 B．3
C．2 D．1
6．(2024·湖南岳阳模拟)设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，若双曲线及其渐近线上各存在一点Q，P，使得四边形OPFQ为矩形，则其离心率为 ( )
A．eq \r(3) B．2
C．eq \r(5) D．eq \r(6)
7．(2024·河北唐山模拟)已知F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为双曲线C上一点，直线AF⊥x轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若|AB|＝|AF|，则C的离心率e＝( )
A．eq \f(4\r( ,15),15) B．eq \f(2\r( ,3),3)
C．eq \f(\r( ,5),2) D．2
8．(2024·湖南长沙明德中学月考)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为双曲线上一点，若cs∠F1MF2＝eq \f(1,4)，|MF1|＝2|MF2|，则此双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(3)x B．y＝±eq \f(\r(3),3)x
C．y＝±x D．y＝±2x
9．(2024·山东潍坊模拟)如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)上支的一部分．已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为36，F到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为( )
A．eq \f(5,3) B．eq \f(5,4)
C．eq \f(4,3) D．eq \f(4,5)
二、多项选择题
10．(2024·河北唐山模拟)已知F1，F2为双曲线C：eq \f(y2,3)－x2＝1的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则( )
A．|PF1|－|PF2|＝2eq \r( ,3)
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r( ,3),3)x
C．双曲线C的离心率为eq \f(2\r( ,3),3)
D．|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|≥2eq \r( ,3)
11．双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点在圆O：x2＋y2＝13上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于点M，N，点E(0，a)满足eq \(EO,\s\up6(→))＋eq \(EM,\s\up6(→))＋eq \(EN,\s\up6(→))＝0(其中O为坐标原点)，则下列结论正确的是( )
A．双曲线C的一条渐近线方程为3x－2y＝0
B．双曲线C的离心率为eq \f(\r( ,13),2)
C．|eq \(OE,\s\up6(→))|＝1
D．△OMN的面积为6
三、填空题与解答题
12．(2024·河北模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，实轴长为4，过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，若|AB|是|AF1|和|BF1|的等差中项，则△ABF1的周长为________．
13．(2024·河北六校联考)已知F1，F2分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝eq \f(2b2,a)，P为双曲线C右支上一点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则双曲线的离心率为________，λ的值为________．
14．(2024·河北邢台六校联考)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
高分推荐题
15．(2024·河南开封模拟)3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为eq \r( ,5)的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的．已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6 cm，下底直径为9 cm，高为9 cm，则喉部(最细处)的直径为________cm.
解析版
一、单项选择题
1．已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r( ,2),2)x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( )
A．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1
B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1或eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1
C．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1
D．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1或eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1
解析：设双曲线方程为eq \f(x2,2m)－eq \f(y2,m)＝1(m≠0)，
∵2a＝4，∴a2＝4，
当m>0时，2m＝4，m＝2；
当m0，b>0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为eq \r(3)x±y＝0，则该双曲线的实轴长为( )
A．2 B．1
C．eq \r(3) D．2eq \r(3)
解析：由题意知，渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，则eq \f(b,a)＝eq \r(3)，又焦点为F(2,0)，即c＝2，所以c2＝a2＋b2＝4a2＝4，则a2＝1，即a＝1或－1(舍去)，所以实轴长为2a＝2.故选A．
答案：A
3．设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,24a2)＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则tan∠PF2F1＝( )
A．eq \f(4,3) B．eq \f(7,4)
C．2 D．eq \f(12,5)
解析：易知c2＝25a2，则c＝5a，|F1F2|＝2c＝10a.因为P为C右支上的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a.因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，则(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝100a2，解得|PF2|＝6a(负值舍去)，所以|PF1|＝8a，所以tan∠PF2F1＝eq \f(|PF1|,|PF2|)＝eq \f(8a,6a)＝eq \f(4,3).故选A．
答案：A
4．(2024·广东惠州调研)“m>2”是“方程eq \f(x2,2－m)＋eq \f(y2,m＋1)＝1表示双曲线”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为方程eq \f(x2,2－m)＋eq \f(y2,m＋1)＝1表示双曲线，所以(2－m)(m＋1)2”是“方程eq \f(x2,2－m)＋eq \f(y2,m＋1)＝1表示双曲线”的充分不必要条件．故选B．
答案：B
5．(2024·河南洛阳联考)设F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，过F1引圆x2＋y2＝9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|＝ ( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：连接PF2，OT，则有|MO|＝eq \f(1,2)|PF2|＝eq \f(1,2)(|PF1|－2a)＝eq \f(1,2)(|PF1|－6)＝eq \f(1,2)|PF1|－3，|MT|＝eq \f(1,2)|PF1|－|F1T|＝eq \f(1,2)|PF1|－eq \r(c2－a2)＝eq \f(1,2)|PF1|－4，于是有|MO|－|MT|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)|PF1|－3))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)|PF1|－4))＝1.故选D．
答案：D
6．(2024·湖南岳阳模拟)设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，若双曲线及其渐近线上各存在一点Q，P，使得四边形OPFQ为矩形，则其离心率为 ( )
A．eq \r(3) B．2
C．eq \r(5) D．eq \r(6)
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，
∴直线OP的方程为y＝eq \f(b,a)x.
直线OQ的方程为y＝－eq \f(a,b)x，
则QF的方程为y＝eq \f(b,a)(x－c)．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(b,a)x－c，,y＝－\f(a,b)x，))解得Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,c)，－\f(ab,c))).
∵Q在双曲线上，∴eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,c)))2,a2)－eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(ab,c)))2,b2)＝1，∴c2＝3a2，
∴e＝eq \r(3).故选A．
答案：A
7．(2024·河北唐山模拟)已知F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为双曲线C上一点，直线AF⊥x轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若|AB|＝|AF|，则C的离心率e＝( )
A．eq \f(4\r( ,15),15) B．eq \f(2\r( ,3),3)
C．eq \f(\r( ,5),2) D．2
解析：由题意得F(c,0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，由双曲线的对称性，不妨设A，B均为第一象限的点，当x＝c时，eq \f(c2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，得y＝±eq \f(b2,a)，所以|AF|＝eq \f(b2,a)，当x＝c时，y＝eq \f(bc,a)，所以|BF|＝eq \f(bc,a)，因为|AB|＝|AF|，所以|BF|＝2|AF|，所以eq \f(bc,a)＝eq \f(2b2,a)，得c＝2b，所以a＝eq \r( ,c2－b2)＝eq \r( ,3)b，所以双曲线C的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2b,\r( ,3)b)＝eq \f(2\r( ,3),3).故选B．
答案：B
8．(2024·湖南长沙明德中学月考)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为双曲线上一点，若cs∠F1MF2＝eq \f(1,4)，|MF1|＝2|MF2|，则此双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(3)x B．y＝±eq \f(\r(3),3)x
C．y＝±x D．y＝±2x
解析：由题意，得|MF1|－|MF2|＝2a，又|MF1|＝2|MF2|，
∴|MF1|＝4a，|MF2|＝2a，
∴cs∠F1MF2＝eq \f(16a2＋4a2－4c2,2×4a×2a)＝eq \f(1,4)，化简得c2＝4a2，即a2＋b2＝4a2，∴b2＝3a2，
又a>0，b>0，∴eq \f(b,a)＝eq \r(3)，∴此双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x.故选A．
答案：A
9．(2024·山东潍坊模拟)如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)上支的一部分．已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为36，F到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为( )
A．eq \f(5,3) B．eq \f(5,4)
C．eq \f(4,3) D．eq \f(4,5)
解析：由题意知，点F(0，c)到渐近线y＝eq \f(a,b)x，即ax－by＝0的距离d＝eq \f(|－bc|,\r(a2＋b2))＝b＝12.又由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋c＝36，,a2＋122＝c2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝16，,c＝20，))所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(20,16)＝eq \f(5,4).
答案：B
二、多项选择题
10．(2024·河北唐山模拟)已知F1，F2为双曲线C：eq \f(y2,3)－x2＝1的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则( )
A．|PF1|－|PF2|＝2eq \r( ,3)
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r( ,3),3)x
C．双曲线C的离心率为eq \f(2\r( ,3),3)
D．|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|≥2eq \r( ,3)
解析：双曲线C：eq \f(y2,3)－x2＝1的焦点在y轴上，a＝eq \r( ,3)，b＝1，c＝eq \r( ,a2＋b2)＝2.
对于A选项，||PF1|－|PF2||＝2a＝2eq \r( ,3)，而P点在哪支上并不确定，故A错误；
对于B选项，焦点在y轴上的双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x＝±eq \r( ,3)x，故B错误；
对于C选项，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r( ,3))＝eq \f(2\r( ,3),3)，故C正确；
对于D选项，设P(x，y)(x∈R)，
则|PO|＝eq \r( ,x2＋y2)＝eq \r( ,x2＋3x2＋3)＝eq \r( ,3＋4x2)≥eq \r( ,3)(当且仅当x＝0时取等号)，
因为O为F1F2的中点，所以|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|＝|2eq \(PO,\s\up6(→))|＝2|eq \(PO,\s\up6(→))|≥2eq \r( ,3)，故D正确．
答案：CD
11．双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点在圆O：x2＋y2＝13上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于点M，N，点E(0，a)满足eq \(EO,\s\up6(→))＋eq \(EM,\s\up6(→))＋eq \(EN,\s\up6(→))＝0(其中O为坐标原点)，则下列结论正确的是( )
A．双曲线C的一条渐近线方程为3x－2y＝0
B．双曲线C的离心率为eq \f(\r( ,13),2)
C．|eq \(OE,\s\up6(→))|＝1
D．△OMN的面积为6
解析：如图，双曲线C的焦距为2c＝2eq \r( ,13)，得c＝eq \r( ,13)，设MN与y轴交于点P，则由圆和渐近线的对称性知P是MN的中点．设点M(m，n)，m>0，n>0，则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋n2＝13，,\f(m,a)＝\f(n,b)，,c＝\r( ,13)，))
可得m＝a，n＝b.故M(a，b)，N(－a，b)，则P(0，b)．
由题意可知|OM|＝c＝eq \r( ,13).
由eq \(EO,\s\up6(→))＋eq \(EM,\s\up6(→))＋eq \(EN,\s\up6(→))＝0，
知点E为△OMN的重心，
可得|OE|＝eq \f(2,3)|OP|，
即a＝eq \f(2,3)b，eq \f(b2,a2)＝eq \f(c2－a2,a2)＝eq \f(9,4)，
所以a＝2，b＝3，e＝eq \f(\r( ,13),2)，M(2,3)，N(－2，3)，P(0,3)．
所以双曲线C的渐近线方程为3x±2y＝0，|eq \(OE,\s\up6(→))|＝2，M的坐标为(2,3)，S△OMN＝eq \f(1,2)×(2＋2)×3＝6.
答案：ABD
三、填空题与解答题
12．(2024·河北模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，实轴长为4，过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，若|AB|是|AF1|和|BF1|的等差中项，则△ABF1的周长为________．
解析：由|AB|是|AF1|和|BF1|的等差中项得|AF1|＋|BF1|＝2|AB|，根据双曲线的定义知|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，两式相加得|AF1|＋|BF1|－|AB|＝4a，即|AF1|＋|BF1|＝8a，|AB|＝4a，故△ABF1的周长为12a，因为2a＝4，所以△ABF1的周长为24.
答案：24
13．(2024·河北六校联考)已知F1，F2分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝eq \f(2b2,a)，P为双曲线C右支上一点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则双曲线的离心率为________，λ的值为________．
解析：由F1，F2分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝eq \f(2b2,a)，可得2c＝eq \f(2b2,a)＝eq \f(2c2－2a2,a)，化简得e2－e－1＝0.∵e>1，∴e＝eq \f(1＋\r( ,5),2).设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，S△IPF1＝eq \f(1,2)|PF1|·r，S△IPF2＝eq \f(1,2)|PF2|·r，S△IF1F2＝eq \f(1,2)·2c·r＝cr，由S△IPF1＝S△IPF1＋λS△IF1F2，得eq \f(1,2)|PF1|·r＝eq \f(1,2)|PF2|·r＋λcr，故λ＝eq \f(|PF1|－|PF2|,2c)＝eq \f(a,c)＝eq \f(1,\f(1＋\r( ,5),2))＝eq \f(\r( ,5)－1,2).
答案：eq \f(\r( ,5)＋1,2) eq \f(\r( ,5)－1,2)
14．(2024·河北邢台六校联考)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
(1)解：设双曲线的半焦距为c，
则F(c,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，±\f(b2,a)))，
因为|AF|＝|BF|，故eq \f(b2,a)＝a＋c，
故c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0，
又e>0，故e＝2.
(2)证明：设B(x0，y0)，其中x0>a，y0>0.
因为e＝2，故c＝2a，b＝eq \r( ,3)a，
故双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r( ,3)x，
所以∠BAF∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，∠BFA∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3))).
当∠BFA＝eq \f(π,2)时，由题意易得∠BAF＝eq \f(π,4)，
此时∠BFA＝2∠BAF.
当∠BFA≠eq \f(π,2)时，
因为tan∠BFA＝－eq \f(y0,x0－c)＝－eq \f(y0,x0－2a)，
tan∠BAF＝eq \f(y0,x0＋a)，
所以tan2∠BAF＝eq \f(\f(2y0,x0＋a),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y0,x0＋a)))2)
＝eq \f(2y0x0＋a,x0＋a2－y\\al(2,0))
＝eq \f(2y0x0＋a,x0＋a2－b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),a2)－1)))
＝eq \f(2y0x0＋a,x0＋a2－3a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),a2)－1)))
＝eq \f(2y0x0＋a,x0＋a2－3x\\al(2,0)－a2)
＝eq \f(2y0,x0＋a－3x0－a)
＝－eq \f(y0,x0－2a)＝tan∠BFA，
因为2∠BAF∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，故∠BFA＝2∠BAF.
综上，∠BFA＝2∠BAF.
高分推荐题
15．(2024·河南开封模拟)3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为eq \r( ,5)的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的．已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6 cm，下底直径为9 cm，高为9 cm，则喉部(最细处)的直径为________cm.
解析：塔筒轴截面如图，以最细处的直径所在的直线为x轴，其垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由已知得，e＝eq \f(c,a)＝eq \r( ,5)，且c2＝a2＋b2，
所以4a2＝b2，所以双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,4a2)＝1(a>0)．
塔筒上底直径为6 cm，下底直径为9 cm，高为9 cm，设双曲线过点(3，m)，则双曲线也过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，m－9)).代入双曲线方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,a2)－\f(m2,4a2)＝1，,\f(\f(81,4),a2)－\f(m－92,4a2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,a＝2\r( ,2)，))
所以喉部(最细处)的直径为2a＝4eq \r( ,2)(cm)．
答案：4eq \r( ,2)