2025届高中数学一轮复习练习：第九章限时跟踪检测(55)　抛物线(一)（含解析）

这是一份2025届高中数学一轮复习练习：第九章限时跟踪检测(55)　抛物线(一)（含解析），共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题与解答题等内容，欢迎下载使用。
1．(2024·山西临汾第一次适应性训练)已知抛物线C的焦点F关于其准线对称的点为(0，－9)，则C的方程为( )
A．x2＝6y B．x2＝12y
C．x2＝18y D．x2＝36y
2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq \f(5,4)x0，则x0＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
3．抛物线C：x2＝8y的焦点为F，在C上有一点P，|PF|＝8，PF的中点M到C的准线l的距离为( )
A．6 B．8
C．4 D．1
4．(2024·山东滨州模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为－eq \r(3)，则△PAF的面积为( )
A．2eq \r(3) B．4eq \r(3)
C．8 D．8eq \r(3)
5．(2024·湖北四地七校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，a))在抛物线C上，若|PF|＝4，则以线段PF为直径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－4x－4y＋2＝0
B．x2＋y2－2x－2y＋4＝0
C．x2＋y2－4x－4y＋4＝0
D．x2＋y2－2x－2y＋2＝0
6．(2024·湖南长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
7．已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，点P到y轴的距离为d，Q(－3,3)，则d＋|PQ|的最小值为( )
A．5 B．eq \r(30)＋1
C．eq \r(30)－1 D．4
8．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
9．(2024·山东日照模拟)如图，PQ为经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的任一弦，抛物线的准线为l，PM垂直l于M，QN垂直l于N，PQ绕l旋转一周所得旋转面的面积为S1，以MN为直径的球的面积为S2，则( )
A．S1>S2 B．S10)的焦点为F，焦点到准线的距离为2，Q为C上的一个动点，则( )
A．C的焦点坐标为(1,0)
B．若M(3,5)，则△QMF周长的最小值为11
C．若M(0,4)，则|QM|的最小值为2eq \r( ,3)
D．在x轴上不存在点E，使得∠QEF为钝角
三、填空题与解答题
12．已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上一点，则|AB|的最小值为________．
13．(2024·广东茂名模拟)以抛物线C：y2＝4x的焦点F为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|＝8，则|DE|＝________.
14．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上一点，横坐标为4，且位于x轴上方，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
高分推荐题
15．(2024·重庆巴蜀中学月考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作l的垂线，垂足为Q.若M(3,0)，N(－1，0)，PF与MQ相交于点T，且eq \(TN,\s\up6(→))＋eq \(TP,\s\up6(→))＝eq \(MT,\s\up6(→))，则△TMF的面积为________．
解析版
一、单项选择题
1．(2024·山西临汾第一次适应性训练)已知抛物线C的焦点F关于其准线对称的点为(0，－9)，则C的方程为( )
A．x2＝6y B．x2＝12y
C．x2＝18y D．x2＝36y
解析：由题可知，抛物线C开口向上，设C的方程为x2＝2py(p>0)，则抛物线C的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，准线方程为y＝－eq \f(p,2)，所以eq \f(\f(p,2)＋－9,2)＝－eq \f(p,2)，解得p＝6，所以C的方程为x2＝12y.故选B．
答案：B
2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq \f(5,4)x0，则x0＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：由题意知抛物线的准线方程为x＝－eq \f(1,4).因为|AF|＝eq \f(5,4)x0，所以根据抛物线的定义可得x0＋eq \f(1,4)＝|AF|＝eq \f(5,4)x0，解得x0＝1.故选A．
答案：A
3．抛物线C：x2＝8y的焦点为F，在C上有一点P，|PF|＝8，PF的中点M到C的准线l的距离为( )
A．6 B．8
C．4 D．1
解析：过P作PD⊥l于D(图略)，由抛物线的定义可知|PF|＝|PD|＝8，设抛物线的准线l与y轴交于点A，则|FA|＝4，故PF的中点M到C的准线l的距离为eq \f(1,2)(|FA|＋|PD|)＝6.故选A．
答案：A
4．(2024·山东滨州模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为－eq \r(3)，则△PAF的面积为( )
A．2eq \r(3) B．4eq \r(3)
C．8 D．8eq \r(3)
解析：由题意，抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，如图，设抛物线y2＝4x的准线与x轴的交点为D，则|DF|＝2.又直线AF的斜率为－eq \r(3)，所以∠AFD＝60°，因此|AF|＝2|DF|＝4，∠FAP＝60°.由抛物线的定义可得|PA|＝|PF|，所以△PAF是边长为4的等边三角形，所以△PAF的面积为eq \f(1,2)×4×4×sin 60°＝4eq \r(3).故选B．
答案：B
5．(2024·湖北四地七校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，a))在抛物线C上，若|PF|＝4，则以线段PF为直径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－4x－4y＋2＝0
B．x2＋y2－2x－2y＋4＝0
C．x2＋y2－4x－4y＋4＝0
D．x2＋y2－2x－2y＋2＝0
解析：因为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，a))在抛物线C上，所以a2＝2p×eq \f(a,2)，得a＝p，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，p))，又Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，所以PF⊥x轴，|PF|＝p＝4，则以线段PF为直径的圆的圆心坐标为(2,2)，半径为2，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，即x2＋y2－4x－4y＋4＝0.
答案：C
6．(2024·湖南长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：依题意得，△OFM的外接圆半径为6，△OFM的外接圆圆心应位于线段OF的垂直平分线x＝eq \f(p,4)上，圆心到准线x＝－eq \f(p,2)的距离等于6，即有eq \f(p,4)＋eq \f(p,2)＝6，解得p＝8.故选D．
答案：D
7．已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，点P到y轴的距离为d，Q(－3,3)，则d＋|PQ|的最小值为( )
A．5 B．eq \r(30)＋1
C．eq \r(30)－1 D．4
解析：∵抛物线的准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)，∴P到直线x＝－1的距离等于|PF|，∴P到y轴的距离d＝|PF|－1，∴d＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－1.又点Q在抛物线外部，∴当F，P，Q三点共线时，|PF|＋|PQ|取得最小值|QF|.∵Q(－3，3)，F(1，0)，∴|QF|＝5，
∴d＋|PQ|的最小值为5－1＝4.故选D．
答案：D
8．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意可知，点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，又F为△ABC的重心，故eq \f(xA＋xB＋xC,3)＝eq \f(1,2)，即xA＋xB＋xC＝eq \f(3,2).又由抛物线的定义可知|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＝xA＋xB＋xC＋eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)＋eq \f(3,2)＝3.故选C．
答案：C
9．(2024·山东日照模拟)如图，PQ为经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的任一弦，抛物线的准线为l，PM垂直l于M，QN垂直l于N，PQ绕l旋转一周所得旋转面的面积为S1，以MN为直径的球的面积为S2，则( )
A．S1>S2 B．S10)的焦点为F，焦点到准线的距离为2，Q为C上的一个动点，则( )
A．C的焦点坐标为(1,0)
B．若M(3,5)，则△QMF周长的最小值为11
C．若M(0,4)，则|QM|的最小值为2eq \r( ,3)
D．在x轴上不存在点E，使得∠QEF为钝角
解析：选项A，抛物线C：x2＝2py(p>0)，焦点到准线的距离为p＝2，则C：x2＝4y，焦点F(0,1)，故A错误．
选项B，∵M(3,5)，F(0,1)，∴|MF|＝eq \r( ,32＋42)＝5.设点Q到准线y＝－1的距离为d，点M到准线y＝－1的距离为d′＝5－(－1)＝6，则△QMF的周长为|MF|＋|FQ|＋|QM|＝5＋d＋|QM|≥5＋d′＝5＋6＝11，当且仅当QM⊥x轴时等号成立，故B正确．
选项C，设Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(x\\al(2,0),4)))，M(0,4)，
则|QM|＝eq \r( ,x\\al(2,0)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),4)－4))2)
＝eq \f(1,4)eq \r( ,x\\al(4,0)－16x\\al(2,0)＋256)
＝eq \f(1,4)eq \r( ,x\\al(2,0)－82＋192)，
当xeq \\al(2,0)＝8时，|QM|取得最小值2eq \r( ,3)，故C正确．
选项D，设E(t,0)，∵Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(x\\al(2,0),4)))，F(0,1)，
∴eq \(EF,\s\up6(→))＝(－t,1)，eq \(EQ,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－t，\f(x\\al(2,0),4)))，
∴eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(EQ,\s\up6(→))＝(－t,1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－t，\f(x\\al(2,0),4)))＝－tx0＋t2＋eq \f(x\\al(2,0),4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(x0,2)))2≥0，
∴cs∠QEF＝eq \f(\(EF,\s\up6(→))·\(EQ,\s\up6(→)),|\(EF,\s\up6(→))||\(EQ,\s\up6(→))|)≥0，则∠QEF不可能为钝角，故D正确．故选BCD．
答案：BCD
三、填空题与解答题
12．已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上一点，则|AB|的最小值为________．
解析：设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以|AB|＝eq \r( ,x－22＋y2)＝eq \r( ,x－22＋x)＝eq \r( ,x2－3x＋4)＝eq \r( ,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋\f(7,4)).所以当x＝eq \f(3,2)时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝eq \f(\r( ,7),2).
答案：eq \f(\r( ,7),2)
13．(2024·广东茂名模拟)以抛物线C：y2＝4x的焦点F为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|＝8，则|DE|＝________.
解析：由抛物线方程知eq \f(p,2)＝1，
∴F(1,0)．
不妨设点A在第一象限，如图所示，由|AB|＝8，y2＝4x得A(4,4)，
∴圆的半径为r＝eq \r( ,32＋42)＝5，
∴|DE|＝2eq \r( ,r2－p2)＝2eq \r( ,25－4)＝2eq \r( ,21).
答案：2eq \r( ,21)
14．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上一点，横坐标为4，且位于x轴上方，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－eq \f(p,2)，
于是4＋eq \f(p,2)＝5，∴p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由(1)知，点A的坐标是(4,4)．
由题意，得B(0,4)，M(0,2)，
又∵F(1,0)，∴kFA＝eq \f(4,3).
∵MN⊥FA，∴kMN＝－eq \f(3,4)，
∴直线FA的方程为
y＝eq \f(4,3)(x－1)①，
直线MN的方程为
y＝－eq \f(3,4)x＋2②，
由①②联立，得x＝eq \f(8,5)，y＝eq \f(4,5)，
∴点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(4,5))).
高分推荐题
15．(2024·重庆巴蜀中学月考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作l的垂线，垂足为Q.若M(3,0)，N(－1，0)，PF与MQ相交于点T，且eq \(TN,\s\up6(→))＋eq \(TP,\s\up6(→))＝eq \(MT,\s\up6(→))，则△TMF的面积为________．
解析：由eq \(TN,\s\up6(→))＋eq \(TP,\s\up6(→))＝eq \(MT,\s\up6(→))得，eq \(TM,\s\up6(→))＋eq \(TN,\s\up6(→))＝－eq \(TP,\s\up6(→)).
又因为F(1,0)，M(3,0)，N(－1,0)，所以F为MN的中点，
所以eq \(TM,\s\up6(→))＋eq \(TN,\s\up6(→))＝2eq \(TF,\s\up6(→))，
所以2eq \(TF,\s\up6(→))＝－eq \(TP,\s\up6(→))，
所以T为PF的三等分点，且|TP|＝2|TF|.
又因为PQ∥MF，
所以△TMF∽△TQP，且eq \f(|MF|,|QP|)＝eq \f(|TF|,|TP|)＝eq \f(1,2)，
所以|QP|＝2|MF|＝4.
由抛物线的对称性，不妨设P(x0，y0)，且在第一象限，如图所示，
|QP|＝x0＋eq \f(p,2)＝x0＋1＝4，所以x0＝3.
因为点P(x0，y0)在抛物线上，
所以y0＝2eq \r( ,3)，
所以根据相似关系可得yT＝eq \f(1,3)y0＝eq \f(2\r( ,3),3)，
所以S△TMF＝eq \f(1,2)|MF|·yT＝eq \f(2\r( ,3),3).
答案：eq \f(2\r( ,3),3)