2025届高中数学一轮复习练习：第九章限时跟踪检测(56)　抛物线(二)（含解析）

这是一份2025届高中数学一轮复习练习：第九章限时跟踪检测(56)　抛物线(二)（含解析），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题与解答题等内容，欢迎下载使用。
1．(2024·辽宁大连模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|＝4，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．(2024·浙江杭州模拟)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为( )
A．eq \f(1,14) B．eq \f(3,2)
C．1 D．2
3．(2024·广西玉林陆川中学模拟)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，M为抛物线上一点，若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
4．(2024·湖南雅礼中学、河南实验中学联考)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，与抛物线的准线交于点M，且eq \(FM,\s\up6(→))＝3eq \(FP,\s\up6(→))，则|eq \(FP,\s\up6(→))|＝( )
A．eq \f(3,2) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(4,3) D．eq \f(3,4)
5．若抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) B．(0,0)
C．(1,2) D．(1,4)
6．(2024·山东百师联盟测试)若点M为抛物线y＝eq \f(1,4)x2上任意一点，点N为圆x2＋y2－2y＋eq \f(3,4)＝0上任意一点，设函数f(x)＝lga(x＋2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则|MP|＋|MN|的最小值为( )
A．2 B．eq \f(5,2)
C．3 D．eq \f(7,2)
7．(2024·江西南昌模拟)已知抛物线C：y2＝4x的准线为l，点M是抛物线上一点，若圆M过点A(3，0)且与直线l相切，则圆M与y轴相交所得的弦长是( )
A．2eq \r( ,2) B．2eq \r( ,3)
C．4 D．2eq \r( ,5)
8．(2024·山东济宁模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C．若eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \r( ,2)eq \(BF,\s\up6(→))，则线段BC的中点到准线的距离为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
9．(2024·山东泰安模拟)已知以F为焦点的抛物线y2＝－2x上的两点A，B(点A的横坐标大于点B的横坐标)，满足eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝λeq \(FA,\s\up6(→))(O为坐标原点)，弦AB的中点M的横坐标为－eq \f(5,6)，则实数λ＝( )
A．eq \f(3,2) B．eq \f(4,3)
C．3 D．4
二、多项选择题
10．(2024·河北名校联考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过焦点的直线l与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列说法一定正确的是( )
A．|AB|≥8
B．x1x2＝4，y1y2＝－16
C．以AF为直径的圆与直线x＝－2相切
D．若点P(－2,0)，则有kAP＋kBP＝0
11．(2024·山东聊城模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过F的直线l交抛物线C于两点A，B，则( )
A．C的准线方程为x＝－2
B．若|AF|＝4，则|OA|＝eq \r( ,21)
C．若|AF|·|BF|＝4p2，则l的斜率为±eq \f(\r( ,3),3)
D．过点A作准线的垂线，垂足为H，若x轴平分∠HFB，则|AF|＝4
三、填空题与解答题
12．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且被抛物线截得的弦长为2的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程________，此时该弦中点到y轴的距离为________．
13．(2024·湖南长沙一中等名校联考)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过第一象限内的抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设C(2p，0)，直线AF与BC相交于点D．若|CF|＝|AF|，且△ACD的面积为eq \f(3\r(2),2)，则直线AC的斜率k＝________，抛物线的方程为________．
14．(2024·安徽皖南八校联考)过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程．
高分推荐题
15．(多选)(2024·江苏苏州模拟)已知点A(－1，0)，B(1,0)，G(0,1)，抛物线C：y2＝4x.过点G的直线l与C交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，直线AP，AQ分别与C交于另一点E，F，则下列说法中正确的是( )
A．y1＋y2＝y1y2
B．直线EF的斜率为eq \f(1,2)
C．若△POE的面积为eq \f(5\r( ,3),6)(O为坐标原点)，则eq \(OE,\s\up6(→))与eq \(OP,\s\up6(→))的夹角为eq \f(π,6)
D．若M为抛物线C上位于x轴上方的一点，|AM|＝t|MB|，则当t取最大值时，△ABM的面积为2
解析版
一、单项选择题
1．(2024·辽宁大连模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|＝4，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线定义得x1＋x2＋p＝4①，因为AB的中点到y轴的距离是1，所以eq \f(x1＋x2,2)＝1②，由①②可知p＝2，故选B．
答案：B
2．(2024·浙江杭州模拟)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为( )
A．eq \f(1,14) B．eq \f(3,2)
C．1 D．2
解析：设抛物线的焦点为F(0,1)，AB的中点为M，准线方程为y＝－1，则点M到准线的距离d＝eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)≥eq \f(1,2)|AB|＝3，即点M到准线的距离的最小值为3，所以点M到x轴的最短距离为2.故选D．
答案：D
3．(2024·广西玉林陆川中学模拟)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，M为抛物线上一点，若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：由题意知△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆的面积为9π，∴圆的半径为3.又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝eq \f(p,2)，∴eq \f(p,2)＋eq \f(p,4)＝3，∴p＝4，故选B．
答案：B
4．(2024·湖南雅礼中学、河南实验中学联考)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，与抛物线的准线交于点M，且eq \(FM,\s\up6(→))＝3eq \(FP,\s\up6(→))，则|eq \(FP,\s\up6(→))|＝( )
A．eq \f(3,2) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(4,3) D．eq \f(3,4)
解析：如图，不妨设Q点在第一象限，过P作PN垂直于抛物线的准线，垂足为N.
由抛物线的定义可知，|PF|＝|PN|.
又因为eq \(FM,\s\up6(→))＝3eq \(FP,\s\up6(→))，所以eq \(PM,\s\up6(→))＝2eq \(FP,\s\up6(→))，
所以|PM|＝2|PF|＝2|PN|，
在Rt△PNM中，cs∠MPN＝eq \f(|PN|,|PM|)＝eq \f(1,2)，由抛物线焦点弦的性质，知|eq \(FP,\s\up6(→))|＝eq \f(p,1＋cs∠MPN)＝eq \f(2,1＋\f(1,2))＝eq \f(4,3).故选C．
答案：C
5．若抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) B．(0,0)
C．(1,2) D．(1,4)
解析：设与直线y＝4x－5平行的直线为y＝4x＋m(m≠－5)，由平面几何的性质可知，抛物线y＝4x2上到直线y＝4x－5的距离最短的点即为直线y＝4x＋m与抛物线相切的点．而对y＝4x2求导得y′＝8x，又直线y＝4x＋m的斜率为4，所以8x＝4，得x＝eq \f(1,2)，此时y＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝1，即切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).故选A．
答案：A
6．(2024·山东百师联盟测试)若点M为抛物线y＝eq \f(1,4)x2上任意一点，点N为圆x2＋y2－2y＋eq \f(3,4)＝0上任意一点，设函数f(x)＝lga(x＋2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则|MP|＋|MN|的最小值为( )
A．2 B．eq \f(5,2)
C．3 D．eq \f(7,2)
解析：函数f(x)的图象恒过定点P(－1,2)，抛物线的方程为x2＝4y，焦点为F(0,1)，准线l的方程为y＝－1，圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝eq \f(1,4)，其圆心为F(0,1)，半径r＝eq \f(1,2).过点M作MQ⊥l于点Q，由抛物线定义可知|MQ|＝|MF|，则|MP|＋|MN|≥|MP|＋|MF|－r＝|MP|＋|MQ|－eq \f(1,2)≥|PQ|－eq \f(1,2)≥2＋1－eq \f(1,2)＝eq \f(5,2)(当P，M，Q三点共线时取等号)，所以|MP|＋|MN|的最小值为eq \f(5,2).故选B．
答案：B
7．(2024·江西南昌模拟)已知抛物线C：y2＝4x的准线为l，点M是抛物线上一点，若圆M过点A(3，0)且与直线l相切，则圆M与y轴相交所得的弦长是( )
A．2eq \r( ,2) B．2eq \r( ,3)
C．4 D．2eq \r( ,5)
解析：由题意得，C：y2＝4x，则准线l为x＝－1，设M(x0，y0)，因为圆M与直线l相切，所以圆的半径为r＝x0＋1，则圆的标准方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0＋1)2，又圆M过点A(3,0)，所以(3－x0)2＋(0－y0)2＝(x0＋1)2①.又yeq \\al(2,0)＝4x0②，由①②，解得x0＝2，则r＝3.设圆M与y轴交于点B，C，则|BC|＝2eq \r( ,r2－x\\al(2,0))＝2eq \r( ,32－22)＝2eq \r( ,5).故选D．
答案：D
8．(2024·山东济宁模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C．若eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \r( ,2)eq \(BF,\s\up6(→))，则线段BC的中点到准线的距离为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：由抛物线的方程可得焦点F(1，0)，准线的方程为x＝－1，
由eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \r( ,2)eq \(BF,\s\up6(→))，可得eq \f(|AB|,|BF|)＝eq \r( ,2).
由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线的位置关系如图所示，作BE垂直准线于点E，准线交x轴于点N，则|BF|＝|BE|，
故eq \f(|AB|,|BF|)＝eq \f(|AB|,|BE|)＝eq \r( ,2)，故cs∠ABE＝eq \f(|BE|,|AB|)＝eq \f(\r( ,2),2)，即∠ABE＝eq \f(π,4)，
而BE∥x轴，故∠AFN＝eq \f(π,4)，所以直线AB的倾斜角为eq \f(π,4)，
所以直线AB的方程为y＝x－1.
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,y2＝4x，))整理可得x2－6x＋1＝0，
可得x1＋x2＝6，
所以BC的中点的横坐标为3，
则线段BC的中点到准线的距离为3＋1＝4.
答案：B
9．(2024·山东泰安模拟)已知以F为焦点的抛物线y2＝－2x上的两点A，B(点A的横坐标大于点B的横坐标)，满足eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝λeq \(FA,\s\up6(→))(O为坐标原点)，弦AB的中点M的横坐标为－eq \f(5,6)，则实数λ＝( )
A．eq \f(3,2) B．eq \f(4,3)
C．3 D．4
解析：由题意可得抛物线y2＝－2x的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)).弦AB的中点M的横坐标为－eq \f(5,6)，由已知条件可知直线AB的斜率k存在．∵eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＝λeq \(FA,\s\up6(→))，∴直线AB过点F.设直线AB的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>x2)，则联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝－2x，,y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，))消去y得k2x2＋(k2＋2)x＋eq \f(k2,4)＝0，∴x1x2＝eq \f(1,4).又弦AB的中点M的横坐标为－eq \f(5,6)，∴x1＋x2＝－eq \f(5,3)，∴x1＝－eq \f(1,6)，x2＝－eq \f(3,2)，∴点A到准线的距离为eq \f(1,2)－x1＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＝eq \f(2,3)，点B到准线的距离为eq \f(1,2)－x2＝eq \f(1,2)＋eq \f(3,2)＝2，∴eq \f(|FA|,|FB|)＝eq \f(1,3)，∴eq \f(|FA|,|AB|)＝eq \f(1,4)，又eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝λeq \(FA,\s\up6(→))，故λ＝4.
答案：D
二、多项选择题
10．(2024·河北名校联考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过焦点的直线l与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列说法一定正确的是( )
A．|AB|≥8
B．x1x2＝4，y1y2＝－16
C．以AF为直径的圆与直线x＝－2相切
D．若点P(－2,0)，则有kAP＋kBP＝0
解析：因为焦点弦中通径最短为2p＝8，所以|AB|≥8，A正确；根据焦点弦的有关性质，得x1x2＝eq \f(p2,4)＝4，y1y2＝－p2＝－16，所以B正确；以AF为直径的圆与y轴相切，以焦点弦AB为直径的圆与直线x＝－2相切，所以C错误；设直线AB：x＝my＋2，代入抛物线C：y2＝8x整理，得y2－8my－16＝0，所以y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，所以kAP＋kBP＝eq \f(y1,x1＋2)＋eq \f(y2,x2＋2)＝eq \f(y1x2＋2＋y2x1＋2,x1＋2x2＋2)＝
eq \f(y1my2＋4＋y2my1＋4,x1＋2x2＋2)＝
eq \f(2my1y2＋4y1＋y2,x1＋2x2＋2)＝eq \f(－32m＋32m,x1＋2x2＋2)＝0，D正确．故选ABD．
答案：ABD
11．(2024·山东聊城模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过F的直线l交抛物线C于两点A，B，则( )
A．C的准线方程为x＝－2
B．若|AF|＝4，则|OA|＝eq \r( ,21)
C．若|AF|·|BF|＝4p2，则l的斜率为±eq \f(\r( ,3),3)
D．过点A作准线的垂线，垂足为H，若x轴平分∠HFB，则|AF|＝4
解析：因为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，准线为x＝－1，故A错误；
若|AF|＝4，则xA＝3，所以yeq \\al(2,A)＝4xA＝12，所以|OA|＝eq \r(x\\al(2,A)＋y\\al(2,A))＝eq \r(21)，故B正确；
可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线AB的方程为x＝my＋1，与抛物线y2＝4x联立，
消去x，可得y2－4my－4＝0，
可得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
由抛物线的定义可得
|AF|·|BF|＝(x1＋1)(x2＋1)
＝(my1＋2)(my2＋2)＝16，
即m2y1y2＋2m(y1＋y2)＋4＝16，
即－4m2＋8m2＋4＝16，
解得m＝±eq \r(3)，则直线AB的斜率为±eq \f(\r(3),3)，故C正确；
对于D，若x轴平分∠HFB，则∠OFH＝∠OFB，又AH∥x轴，
所以∠AHF＝∠OFH＝∠OFB＝∠FAH，又AF＝AH，
所以HF＝AF＝AH，
所以eq \f(xA＋xH,2)＝xF，即xA＝3，所以|AF|＝xA＋1＝4，故D正确．
故选BCD．
答案：BCD
三、填空题与解答题
12．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且被抛物线截得的弦长为2的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程________，此时该弦中点到y轴的距离为________．
解析：抛物线的焦点弦中通径最短，其长度为2p，∴2p0)的准线方程为y＝－eq \f(p,2)，焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2))).
∵当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，
∴1＋eq \f(p,2)＝2，解得p＝2.
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)∵点M(－2，y0)在抛物线C上，
∴y0＝eq \f(－22,4)＝1.又∵F(0,1)，
∴设直线l的方程为y＝kx＋1.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))消去y并整理得x2－4kx－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，eq \(MA,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1－1)，eq \(MB,\s\up6(→))＝(x2＋2，y2－1)．
∵MA⊥MB，∴eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝0，
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
又y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，
∴可得x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋k2x1x2＝0，
∴－4＋8k＋4－4k2＝0，
解得k＝2或k＝0.
当k＝0时，l过点M(舍去)，∴k＝2，
∴直线l的方程为y＝2x＋1.
高分推荐题
15．(多选)(2024·江苏苏州模拟)已知点A(－1，0)，B(1,0)，G(0,1)，抛物线C：y2＝4x.过点G的直线l与C交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，直线AP，AQ分别与C交于另一点E，F，则下列说法中正确的是( )
A．y1＋y2＝y1y2
B．直线EF的斜率为eq \f(1,2)
C．若△POE的面积为eq \f(5\r( ,3),6)(O为坐标原点)，则eq \(OE,\s\up6(→))与eq \(OP,\s\up6(→))的夹角为eq \f(π,6)
D．若M为抛物线C上位于x轴上方的一点，|AM|＝t|MB|，则当t取最大值时，△ABM的面积为2
解析：对于A，易知x1＝eq \f(y\\al(2,1),4)，x2＝eq \f(y\\al(2,2),4)，
所以直线PQ的方程为4x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0.
因为直线PQ过点G(0,1)，所以y1＋y2＝y1y2，
故A正确．
对于B，设Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,3),4)，y3))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,4),4)，y4))，
所以直线PE的方程为4x－(y1＋y3)y＋y1y3＝0，
因为直线PE过点A(－1,0)，所以y1y3＝4，同理可得y2y4＝4，
所以kEF＝eq \f(y4－y3,\f(y\\al(2,4),4)－\f(y\\al(2,3),4))＝eq \f(4,y4＋y3)＝eq \f(4,\f(4,y2)＋\f(4,y1))＝eq \f(y1y2,y1＋y2)＝1，
故B错误．
对于C，eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(y\\al(2,1),4)·eq \f(y\\al(2,3),4)＋y1y3＝5，
设∠POE＝α，则|eq \(OP,\s\up6(→))|·|eq \(OE,\s\up6(→))|cs α＝5.
因为S△POE＝eq \f(1,2)|eq \(OP,\s\up6(→))|·|eq \(OE,\s\up6(→))|sin α＝eq \f(5\r( ,3),6)，
所以tan α＝eq \f(\r( ,3),3)，所以eq \(OE,\s\up6(→))与eq \(OP,\s\up6(→))的夹角为eq \f(π,6)，故C正确．
对于D，易知B为抛物线的焦点，过M作MD垂直抛物线C的准线x＝－1于点D，图略．
由抛物线的定义知，eq \f(|AM|,|MB|)＝eq \f(|AM|,|MD|)＝eq \f(1,sin∠MAD)，
即t＝eq \f(1,sin∠MAD)，
又0