（复习课）人教A版高一数学寒假讲义第04讲 指数函数与对数函数+巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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1、类比幂函数的研究方法，学习指数函数和对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化差异进行比较。
2、通过解决简单的实际问题，体会如何根据变化差异，选择合适的函数类型构建数学模型，刻画现实问题的变化规律。
【考点目录】
考点一：指数运算
考点二：指数函数图像与性质
考点三：对数运算
考点四：对数函数图像与性质
考点五：指对幂比较大小
考点六：函数的零点与方程的根
考点七：二分法
考点八：选择恰当的数学模型解决实际应用问题
【基础知识】
知识点一、根式的概念和运算法则
1、次方根的定义：
若，则称为的次方根．
为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为．
为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为．
2、两个等式
（1）当且时，；
（2）
知识点二、分数指数幂的概念和运算法则
为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：

知识点三、有理数指数幂的运算
1、有理数指数幂的运算性质
（1） （2） （3）
当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用．
2、指数幂的一般运算步骤
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算．
知识点四、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：
①它是一个确定的实数；
②它是有理数指数幂无限逼近的结果．
（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
知识点五、实数指数幂的运算性质
①． ②． ③．
知识点六、指数函数的图象及性质：
知识点七、指数函数底数变化与图像分布规律
（1）
①，②，③，④，则：
又即：时，（底大幂大） 时，
（2）特殊函数
，，，的图像：
知识点八、对数概念
1、对数的概念
如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数．
知识点诠释：
对数式中各字母的取值范围是：且，，．
2、对数（且）具有下列性质：
（1）0和负数没有对数，即；
（2）1的对数为0，即；
（3）底的对数等于1，即．
3、两种特殊的对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为．
4、对数式与指数式的关系
由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．
由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．
知识点九、对数的运算法则
已知，（且，、）
（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；
推广：
（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；
（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
知识点十、对数公式
1、对数恒等式：
2、换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：
（1）
令，则有，，即，即，即：．
（2），令，则有，则有
即，即，即
当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：．
知识点十一、对数函数的图象与性质
知识点十二、底数对对数函数图象的影响
1、底数制约着图象的升降．如图
知识点诠释：
由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2、底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）
知识点十三、反函数
1、反函数的定义
设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．
由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．
2、反函数的性质
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．
知识点十四：函数的零点
1、函数的零点
（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.
知识点诠释：
①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；
③函数的零点就是方程的实数根．
归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
（2）二次函数的零点
二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.
（3）二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.
2、函数零点的判定
（1）利用函数零点存在性的判定定理
如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.
知识点十五：二分法
1、二分法
对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法．
2、用二分法求函数零点的一般步骤：
已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．
第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中．
第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为．
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令
第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ．
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令；
……
继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度．
【考点剖析】
考点一：指数运算
例1．（1）若求的值；
（2）计算：．
【解析】（1）
（2）原式
例2．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2).
【解析】（1），所以
（2），所以；
，所以
例3．计算：（1）
（2）解不等式：
【解析】（1）
（2）由，得，又因为是增函数，，解得.
所以解集为
考点二：指数函数图像与性质
例4．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数的定义域为，，
所以是偶函数，函数图象关于轴对称，排除A，B；
当时，，当时，，排除C．故选：D．
例5．函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，解得，所以当时，，所以函数过定点.
故选：B
例6．已知函数为奇函数，.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性；
(3)若恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）函数定义域为.因为函数为奇函数，
所以有，即.
又，则，
所以，.
（2）由（1）知，.任取，不妨设 ，
，
∵，∴，∴.
又，，∴，即，
∴函数是上的增函数.
（3）因为，函数为奇函数，
所以等价于，
∵是上的单调增函数，∴，即恒成立，
∴，解得.
例7．已知函数．
(1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由已知可得的定义域为，任取，且，则，
因为，，，所以，即，
所以在上是单调递增函数．
（2），令，则当时，，
所以．令，，则只需．当，
即时，在上单调递增，
所以，解得，与矛盾，舍去；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得；当即时，在上单调递减，所以，解得，与矛盾，舍去．
综上，实数的取值范围是．
例8．设函数．
(1)若函数的图象关于原点对称，求函数的零点；
(2)若函数在，的最大值为，求实数的值．
【解析】（1） 的图象关于原点对称，为奇函数，
，，
即，．所以，所以，
令，则，，
又，，解得，即，所以函数的零点为．
（2）因为，，令，则，，，
对称轴，当，即时，，；
②当，即时，，（舍；
综上：实数的值为．
考点三：对数运算
例9．已知，，用，表示_____．
【答案】
【解析】由题意，，故答案为：．
例10．的值为______.
【答案】11
【解析】原式．故答案为：11．
例11．计算______.
【答案】7
【解析】.故答案为：7.
例12．方程的解为___________．
【答案】
【解析】由得，且，，
即，所以，解得或，
检验：当，，不满足真数大于0，故舍去，
当，，所以方程的解为：．
故答案为：
考点四：对数函数图像与性质
例13．下列命题中：
①与互为反函数，其图像关于对称;
②已知函数，则;
③当，且时，函数必过定点；
④已知，且，则实数.
上述命题中的所有正确命题的序号是___________.
【答案】①③
【解析】对于①，因为与互为反函数，其图像关于对称；所以当时，与互为反函数，其图像关于对称，故命题①正确；
对于②，因为，所以令，得，故命题②错误；
对于③，因为，所以令，即，则，故过定点，故命题③正确；
对于④，因为，所以，所以，
故由得，即，即，所以，故命题④错误.
故答案为：①③.
例14．已知是在定义域上的单调函数，且对任意都满足：，则满足不等式的的取值范围是________.
【答案】
【解析】由题意得为正常数，令，则，
且，解得，原不等式为，可得，解得，
故答案为：
例15．已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则________．
【答案】2
【解析】因为已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，
所以与互为反函数，所以.所以.
故答案为：2
例16．已知函数.
(1)求该函数的定义域；
(2)求该函数的单调区间及值域.
【解析】（1）由得：，的定义域为.
（2）令，在上单调递增；在上单调递减；
又在上单调递减，
的单调递增区间为；单调递减区间为，
，，的值域为.
例17．已知，函数
(1)若函数过点，求此时函数的解析式；
(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【解析】（1）因为函数过点，即，解得，
故；
（2）因为是复合函数，设，，
，在区间单调递增，单调递增，
故函数在区间上单调递增，，
由题意对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，即对任意恒成立，
设，，只需即可，
因为的对称轴为，图像是开口向下的抛物线，
故在单调递减，故，故.
考点五：指对幂比较大小
例18．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，，故.
故选：B
例19．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在同一直角坐标系中画出的图象如下：
所以．故选：A．
例20．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，所以.故选：D.
例21．在，，，四个数中，最大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，，，
所以四个数中最大的是，故选：A.
考点六：函数的零点与方程的根
例22．函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由在上递减，所以在上递减，
又，，所以零点所在区间为.故选：B
例23．设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】函数是定义在上的奇函数，当时，，
当时，，所以，即当时，
又对任意，都有，则关于对称，且，
，即函数的周期为，
又由函数且在上恰有个不同的零点，
得函数与的图像在上有个不同的交点，
又，当时，由图可得，解得；
当时，由图可得，解得．
综上可得.故选：C．
例24．已知函数关于x的方程有4个根，，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以函数图象如下所示：
由图象可知，其中，其中，，，则，得..令，，
又在上单调减，，即. 故选：B.
例25．已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数，的图象如图：关于的方程有8个不等的实数根，必须有两个不相等的实数根且两根位于之间，由函数图象可知，．令，方程化为：，，，开口向下，对称轴为：，
可知：的最大值为：，的最小值为：2．．故选：．
例26．已知，
(1)若函数满足，求实数的值；
(2)（i）在（1）的条件下，判断函数在上是否有零点，并说明理由：
（ii）若函数在R上有零点，求的取值范围.
【解析】（1）因为，所以.
而，所以，解得：.
（2）（i）由（1）可得：.
因为在上为减函数，所以在上为减函数，
所以在上为增函数，所以在上为增函数.
又，所以在上有唯一的零点0.
（ii）.函数在R上有零点，即方程有根.
因为在R上为减函数，，所以.
由此可得：若函数在R上有零点，则的取值范围为.
考点七：二分法
例27．（多选题）若函数的图象是连续的，且函数的唯一零点同在区间，，，内，则与符号不同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】由二分法的步骤可知，
①零点在内，则有，不妨设，，取中点2；
②零点在内，则有，则，，取中点1；
③零点在内，则有，则，，取中点；
④零点在内，则有，则，，则取中点；
⑤零点在内，则有，则，，
所以与符号不同的是，，，故选：ABD.
考点八：选择恰当的数学模型解决实际应用问题
例28．果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示.
(1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型；
(2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？
【解析】(1)①若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得
解得
此时，当时，，当时，，与表格中的和相差较大，
所以不适合作为与的函数模型.
②若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得
解得
此时，当时，，当时，，刚好与表格中的和相符合，
所以更适合作为与的函数模型.
(2)由题可知，该果园最多120000棵该吕种果树，所以确定的取值范围为，
令，则
经计算，当时，取最大值（万元），
即，时（每亩约38棵），利润最大.
【真题演练】
1．（2022·天津·高考真题）化简的值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
【答案】B
【解析】原式，故选：B
2．（2022·浙江·高考真题）已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
【答案】C
【解析】因为，，即，所以．故选：C.
3．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；故选：C．
4．（2021·天津·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【解析】，，.故选：C.
5．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍.对于C，在为减函数，不合题意，舍.对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.
6．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
【答案】C
【解析】由，当时，，则.故选：C.
7．（2022·全国·高考真题（文））若是奇函数，则_____，______．
【答案】 ； ．
【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，，解得，
由得，，，故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
，
函数为奇函数
，
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，
再由可得，．即，在定义域内满足，
符合题意．故答案为：；．
【过关检测】
一、单选题
1．要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C．动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5730年（14C的半衰期），它的残余量只有原来的一半，经过科学测定，若14C的原始含量为1，则经过x年后的残留量为y=0.999879x.用放射性碳法，测得我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子中14C的残余量占原来的87.9%，试推算古莲子的生活年代约（ ）（lg0.879≈-0.0560，lg0.999879≈-5.2553×10-5，结果保留整数）
A．1033年前B．1044年前C．1055年前D．1066年前
【答案】D
【解析】由题设可知，原始含量为1的14C经过x年后的残余量是y=0.999879x.
由y=87.9%=0.879可知0.879=0.999879x，两边取常用对数，得xlg0.999879=lg0.879，
所以，故古莲子约是1066年前的产物.故选：D.
2．已知正数，满足，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，则∴
对A：，A正确；
对B：由题意可得：，同理可得：
∵
∴，则，B错误；
对C：∵∴，C正确；
对D：∴，D正确；
故选：B.
3．若函数为定义在上的奇函数，且在为增函数，又，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为函数为定义在上的奇函数，且在为增函数，
则该函数在上也为增函数，且，由可得.
当时，则，解得；当时，则，解得.
综上所述，不等式的解集为.故选：A.
二、多选题
4.已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．在区间上先增后减
B．
C．若方程在上有6个不等实根，则
D．若方程恰有3个实根，则
【答案】ABD
【解析】当时，，.
当时，，，
当时，.由此画出在区间上的图象如下图所示，
A.由图可知，在区间上先增后减，A选项正确.
B.，，
所以，B选项正确.
C.的图象与有个交点，不妨设，
结合二次函数的对称性可知，
，所以，C选项错误.
D. 方程恰有3个实根，即图象与直线有个公共点，直线恒过点，
由消去并化简得，
，解得或（舍去）.
此时直线与的图象有个公共点，如图所示.
由消去并化简得，
，解得或（舍去），
此时直线与的图象有个公共点；
直线过点，斜率为，直线，
结合图象可知，要使图象与直线有个公共点，则需.
综上所述，，故D选项正确.故选：ABD
5.设函数，若，则的取值可能是（ ）
A．0B．3C．D．2
【答案】AB
【解析】若，则解得，满足题意；
若，则解得，满足题意；故选:AB.
6.已知函数，则（ ）
A．的值域为
B．在上单调递增
C．对任意恒成立
D．函数有6个零点
【答案】BCD
【解析】当时，，利用二次函数的性质可作出该图像；
当时，，可知在上的图像是在上的图像，每间隔的周期，横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，由此作出的图象如图所示，
对于AB，由图像易得的值域为，在上单调递增，故A错误，B正确；
对于C，当时，，则，得或，故或，即当时，恒成立；
当时，恒成立；综上：对任意恒成立，故C正确；
对于D，的零点个数等于的图象与图象的交点个数，
的图象如图所示，因为，
所以的图象与的图象有6个交点，故D正确.故选：BCD.
三、填空题
7.设常数，函数，若函数在时有零点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】令，则，
因为，所以，则，所以，
所以实数的取值范围是.故答案为：.
8.已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】不妨设，由图可得，设，则，且，，，所以，，即，，且，即，
，而，设，根据对勾函数的性质，时，为单调递增函数，故，所以的取值范围是
故答案为：
四、解答题
9.已知，．
(1)若函数过点，求此时函数的解析式；
(2)若函数只有一个零点，求实数的范围；
【解析】（1）过点，则，解得，故.
（2）由（其中），
因为函数只有一个零点，即只有一个根，
即在上只有一个解，即在上只有一个解，
①当时，方程，解得，符合题意；
②当时，设函数
当时，此时，令，恒成立，设两根为，，
，故两根必然是一正一负，所以，函数与轴的正半轴，只有一个交点，符合题意；
当时，要使得函数与轴的正半轴只有一个交点，则满足，解得 ，
综上可得，实数的取值范围是.
10.已知函数，且是偶函数.
(1)求的值；
(2)若，函数，讨论零点的个数.
【解析】（1）由题意得的定义域为，所以，
得，得，
经检验，时，
，
即符合题意.
（2）由题意得，
令函数，任取，则，
因为，所以，得，则，
所以，即，所以在上单调递增，
又是增函数，所以在上单调递增，
又为偶函数，则在上单调递减，.
令，则，设函数，
令，则或.
当，即时，没有零点，即没有零点.
当，即时，有1个零点，即有1个零点.
当即时，有1个零点，即有2个零点.
当，即时，有2个零点，即有3个零点.
当，即时，有2个零点，即有4个零点.
11.已知函数，，其中．
(1)若在上的最大值为，求实数a的值；
(2)设函数，若对任意，总存在唯一的，使得成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1），在上单调递增，在上单调递减；
①当时，当时，，解得：；
②当时，当时，，无解；
③当时，当时，，解得：；
综上所述，或．
（2）①若，由，，，，
故不可能成立．
②若，当时，，故在上单调递减，
故；
若2，由时，，
∴在上单调递增，从而，
要使成立，只需成立即可，
由于函数在上单调递增，且，∴．
若，由时，，
∴在上单调递增，在上单调递减；从而，
要使成立，只需，且成立即可，即成立即可，
由得：，，故当时，恒成立．
综上所述：．
1.，使得函数在上的值域与函数在上的值域的交集不空，即.
2. ，使得函数在上的值域是函数在上的值域的子集，即.
指数函数与对数函数 随堂检测
1.函数的零点所在的一个区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为在上单调递增，所以函数至多有一个零点，
因为，，所以，
所以的零点所在的一个区间为，故选：B
2.函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数，定义域为，，所以函数为偶函数，图像关于y轴对称，排除BC.当时，，，则有，排除D.故选 ：A
3.函数f（x）＝lga（x2－4x－5）（a>1）的单调递增区间是（ ）
A．（－∞，－2） B．（－∞，－1） C．（2，＋∞） D．（5，＋∞）
【答案】D
【解析】根据题意，由x2－4x－5>0，得x5，设u＝x2－4x－5＝（x－2）2－9，
易知u＝x2－4x－5的单调递增区间为（2，＋∞），而，则在定义域上是增函数，所以 f（x）＝lga（x2－4x－5）的单调递增区间是（5，＋∞），故选：D.
4.已知函数 （，且），若对于任意恒成立，则函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于函数，开口向上，对称轴为，所以当时，，所以，，要使对于任意恒成立，则需在递减，所以，则在上递减.由于在上递减，在上递增，根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间是.故选：D
5.（多选）已知aln(1-b)
【答案】BD
【解析】A项：∵ ，则 ，∴，∴，故A项错误；B项：构造 ，则在R上单调递减，
又∵ ，∴，即：，故B项正确；
C项：构造 ，则在R上单调递增，
又∵ ，∴，即： ，故C项错误；
D项：构造 ，则在 上单调递增，
又∵ ，∴ ，∴，即： ，故D项正确.故选：BD.
6.下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是___________.（写出所有符合条件的序号）
【答案】（1）（3）
【解析】用二分法只能求“变号零点”， （1），（3）中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求.故答案为：（1）（3）
7.函数在上是严格减函数，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】根据对数函数定义可知且， 令，所以在上是减函数，根据复合函数单调性可知，在上是增函数，即，且满足真数恒大于零，即只需即可，所以，.故答案为：
8.设，若函数在上的最大值是，则在上的最小值是______.
【答案】
【解析】，令，则
因为，所以，所以当时函数有最大值，故，解得，
当时，函数有最小值.故答案为：
9.计算下列各式的值：
(1)； (2)．
【解析】（1）原式.
（2）原式.
10.（1）已知，试用表示；
（2）已知，且，求实数的值．
【解析】（1）；
（2）由，则，，故，
则，解得.
11.已知.
(1)求证函数是奇函数：
(2)判断函数的单调性并用定义法证明.
【解析】（1）函数的定义域为，
，所以，函数是奇函数：
（2），函数为上的增函数，证明如下：
任取，且，，
，，，即，
因此，函数为上的增函数.
12.已知函数且点在函数的图像上.

(1)求，并在如图直角坐标系中画出函数的图像；
(2)求不等式的解集；
(3)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【解析】（1） 点在函数的图像上，，

，函数的图像如图所示：
（2）不等式等价于或，解得或，
不等式的解集为
（3）方程有两个不相等的实数根，函数的图像与函数的图像有两个不同的交点．结合图像可得，故实数m的取值范围为 .
13.某商人计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别是，，已知投资额为0时，收益为0.
(1)求a，b的值;
(2)若该商人投入万元经营这两种商品，试建立该商人所获收益的函数模型；
(3)如果该商人准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收益的最大值.
【解析】（1）由题可知：
（2）由（1）可知：，，设投入商品投入万元，投入商品万元，
则收益为：
（3）由题可知：，令，则
所以，所以当，即时，（万元）
所以投入A商品4万元，B商品1万元，最大收益12万元.时图象
时图象
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
④在定义域上是单调增函数
⑤时，
时，
⑤时，
时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
图象
性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，
当时，
当时，，
当时，
判别式
方程的根
函数的零点
两个不相等的实根
两个零点
两个相等的实根
一个二重零点
无实根
无零点
1
4
9
16
1