（预习课）人教A版高一数学寒假讲义第08讲 平面向量基本定理及坐标表示+巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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1、掌握平面向量基本定理．
2、学会用平面向量的坐标表示，体会其几何意义．
【考点目录】
考点一：平面向量基本定理
考点二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
考点三：平面向量的坐标运算
考点四：平面向量平行的坐标表示
考点五：平面向量数量积的坐标表示及运算
考点六：平面向量数量积的综合应用
【基础知识】
知识点一：平面向量基本定理
1、平面向量基本定理
如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合．
①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的．
这说明如果且，那么．
③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础．
知识点诠释：
平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量．
2、如何使用平面向量基本定理
平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．
（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．
（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、 ，平面上的任何一个向量都可以用、 唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、 的代数运算．
知识点二：平面向量的坐标表示
1、正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
知识点诠释：
如果基底的两个基向量e1、e2互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．
2、平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．
知识点诠释：
（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中．
（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同．
（3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．
知识点三：平面向量的坐标运算
1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
2、如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：
（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示
1、平面向量平行（共线）的坐标表示
设非零向量，则∥，即，或．
知识点诠释：
若，则∥不能表示成因为分母有可能为0．
2、三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
，，
若则A，B，C三点共线．
知识点五：向量数量积的坐标表示
1、已知两个非零向量，，
2、设，则或
3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）．
知识点六：向量在几何中的应用
（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件
（2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件
（3）求夹角问题，利用
（4）求线段的长度，可以利用或
【考点剖析】
考点一：平面向量基本定理
例1．如图，在平行四边形OADB中，设向量，，点M、N是对角线AB上的两点，且，试用、表示与．
【解析】
∵平行四边形OADB，设向量，，点M、N是对角线AB上的两点，且，
∴，
.
例2．如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.
【解析】因为三点共线，所以存在实数，使得
，
又三点共线，所以存在实数，使得,
由于不共线，所以,解得.故.
因为三点共线，所以存在实数，使得,
消去,得＋＝1.
例3．如图，在中，且，，交于点．
(1)若，求的值；
(2)若，，，求．
【解析】(1)∵ ，又，∴ ，
由 C，F，D三点共线，设，
∴ ，又，∴ ，
∴ ，，∴ ，，
(2)由(1) ，∴ ，
又，∴，
又，，，∴ ，
考点二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
例4．在平行四边形中，，，分别为边，，的中点，，，三点共线.若，则实数的值为______.
【答案】
【解析】，，，分别为边，，的中点，
,
，，三点共线，，解得：.故答案为：.
例5．已知两个非零向量与不共线，如果，，求证：A，B，D三点共线．
【解析】∵，
∴根据共线向量基本定理得，与共线．又与有公共点B，
∴A，B，D三点共线，得证．
考点三：平面向量的坐标运算
例6．已知四边形ABCD的三个顶点为A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为（ ）
A． B． C．(3，2) D．(1，3)
【答案】A
【解析】设顶点的坐标为，，且，
故选：．
例7．设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)．
（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
【解析】（1）如图，由向量的线性运算可知,
所以点P的坐标是.
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，或，
若，如图(1)，那么
，
即点P的坐标是.
同理，如果，如图(2)，那么点P的坐标是.
考点四：平面向量平行的坐标表示
例8． 平面内给定三个向量
(1)若求实数k；
(2)设满足且求.
【解析】(1)
(2)又且
例9．如图，在平面直角坐标系中，，，
（1）求点的坐标；
（2）求证：四边形为等腰梯形．
【解析】解：（1）设，则，，
，，；
（2）证明：连接,
，，，且，
又，，,四边形为等腰梯形.
考点五：平面向量数量积的坐标表示及运算
例10．已知，，求：
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】（1）因为，，所以.
（2）因为，，所以，
所以.
（3）因为，，所以，所以.
例11．已知，，，．
（1）求证：；
（2）求在上的投影向量．
【解析】（1）已知，，，，，
.
（2），，，
，，在上的投影为
上的单位向量为
在上的投影向量为.
例12．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，用向量的方法证明：．
【解析】解：如图所示，建立平面直角坐标系：设正方形的边长为2，则
，
，即
考点六：平面向量数量积的综合应用
例13． 平面内有向量，，，点M为直线OP上的一个动点。
（1）求当取最小值时，求的坐标；
（2）当点M满足（1）的条件和结论时，求cs∠AMB的值。
【解析】 （1）如图，设。则，
∵点M在直线OP上，∴向量与共线。
又，，即.∴。
又，，∴。同理。
于是，
由二次函数的知识，可知当时，有最小值-8，此时。
（2）当，即时，有，，，，
，∴。
例14．已知是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】是边长为2的正方形，则以点A为原点，直线AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：
则，设点，，
于是得：，
当时，取得最小值，所以的最小值是.故选：B
例15．如图，点 C 是半径为 6 的扇形圆弧 AB 上的一点， 18，若  x  y ，则 3x+2y 的最大值为____________.
【答案】
【解析】由，则，，建立如图所示坐标系，则，，
设，，
由知，，
化简得：，，
则
，其中，则当时，最大值为.故答案为：.
【真题演练】
1．（2022·全国·高考真题（文））已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】因为，所以.故选：D
2．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【解析】,,即,解得,故选：C
3．（2020·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】C
【解析】由题意函数图象的对称轴是，设，因为，
所以，解得或，所以或，故选：C．
4．（2007·山东·高考真题（理））设向量，若表示向量的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题可知：，即.
故选：D.
5．（2007·福建·高考真题（理））已知，点C在内，且.设，则等于（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以,又因为点C在内，且，
建立如图所示的坐标系：
则,,又因为，所以，
所以，所以.故选：B.
6．（2022·全国·高考真题（文））已知向量．若，则______________．
【答案】
【解析】由题意知：，解得.故答案为：.
7．（2021·全国·高考真题（理））已知向量，若，则__________．
【答案】
【解析】因为，所以由可得，
，解得．故答案为：．
8．（2019·江苏·高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
【答案】.
【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得即故.
9．（2007·江西·高考真题（文））已知向量，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】∵，∴，
则当时，取最大值．故答案为：．
10．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ________；________.
【答案】 0 3
【解析】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则，，，.
故答案为：0；3.
【过关检测】
一、单选题
1．已知向量，，若，则的值是（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【解析】由已知可得，，，
因为，所以，解得，.故选：C.
2．已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】C
【解析】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则的方向与的角平分线一致，由，可得，即，所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过的内心.故选：C.
3．向量，且向量与向量方向相同，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为向量与向量方向相同，则存在实数，使得即
所以，因为，所以所以因为，所以故选:B.
二、多选题
4．设向量，平面内任一向量都可唯一表示为（），则实数的可能取值是（ ）
A．2B．3C．1D．0
【答案】ABD
【解析】根据平面向量的分解定理，两个向量可作为一组基底必须它们不平行，
与不平行，有解之.故选：ABD.
5．如图，在等腰直角中，斜边，且，点P是线段AD上任一点，则的可能取值是（ ）
A．-1B．0C．4D．5
【答案】BC
【解析】依题意，，因，则，又点P是线段AD上任一点，则令，，而，
因此，
而，则，即，选项A，D不满足，B，C满足.
故选：BC
三、填空题
6．已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为___________．
【答案】且.
【解析】由得，，.由已知得，，所以，即，且不共线.则，.又不共线，则.所以，的取值范围为且.故答案为：且.
7．是边长为4的正三角形，以为圆心，2为半径作圆，点为圆上一动点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】以为坐标原点建立如图所示坐标系，
则，，设，所以，，
所以，因为，所以，故答案为：
四、解答题
8．如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量，
(1)用，表示
(2)建立适当的坐标系，使得点C的坐标为，求点M的坐标.
【解析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，BD，AC相交于点O
所以，
因为M为BO中点，
（2）如图，以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，由，，，可求得点C的坐标为，
所以，，，根据中点坐标公式，可求得点M的坐标为
9．（1）已知点，点是直线上一点，且，求点的坐标；
（2）已知与的夹角为，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
【解析】（1）设点的坐标，由，得，
因为点是直线上一点，且，所以或，
即，
解得或，所以点的坐标为或；
（2）因为与的夹角为，所以，
，
因为与的夹角为锐角，所以，即，
解得，又当与共线时有，解得，所以，
综上，实数的取值范围是．
11．如图，在四边形中，，，，且
(1)用表示；
(2)点在线段上，且，求与的夹角的余弦值.
【解析】（1）方法一：由得：；由得：为中点；由得：；
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，，，，
设，则，解得：，.
方法二：由得：，则.
（2）方法一：由（1）知：，由得：，则，
，又，.
方法二：由得：，由且得：，
由得：；
，
，
又，
，
.
12.已知半圆圆心为O点，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)若，求与夹角的大小；
(3)试求点P的坐标，使取得最小值，并求此最小值．
【解析】（1）因为半圆的直径，由题易知：又，.
又，，则，，即.
（2）由（1）知，，，所以.
设与夹角为，则，又因为，所以，即与的夹角为.
（3）设，由（1）知，，，，
所以，又因为，所以当时，有最小值为，此时点的坐标为.
平面向量基本定理及坐标表示 随堂检测
1.若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】C
【解析】对于A，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，A不选；
对于B，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，B不选；
对于C，假设存在实数，使，则，解得，即与共线，选C；
对于D，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，D不选；故选：C
2.在中，已知为上的一点，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以,
所以.故选：C.
3.在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴，又
∴.故选：B.
4.已知向量，.若不超过5，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，因为不超过5，所以，解得：，故选：C.
5.如图，中，，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得：，
，，，
三点共线，，即.故选：B.
6．（多选）已知，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．的最小值为5D．若向量与向量的夹角为钝角，则
【答案】AD
【解析】对于A，若，则，解得：，A正确；
对于B，若，则，解得：，B错误；
对于C，因为，所以，则当时，，，C错误；
对于D，若向量与向量的夹角为钝角，则，解得，由上可知，此时两向量不共线，D正确.故选：AD.
7．（多选）已知向量=（2，1），，则（ ）
A．若，则B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角余弦值为D．
【答案】ABC
【解析】对于A选项，若，则，所以，A正确；
对于B选项，设向量在向量上的投影向量为，则，即，解得，故向量在向量上的投影向量为，B选项正确；
对于C选项，，，C选项正确；
对于D选项，，，所以与不共线，D选项错误.
故选：ABC.
8．已知为坐标原点，且，若三点共线，则实数_____．
【答案】
【解析】因为三点共线，所以，，，
所以，解得：.故答案为：
9.如图，是边长为4的正方形，若，且F为的中点，则______．
【答案】5
【解析】以为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，.
则，，所以.故答案为：5.
10．已知平面向量，，.
(1)若，求；
(2)若与的夹角为锐角，求x的取值范围.
【解析】（1）由题意得：，解得：或，
当时，，所以；
当时，，所以；
（2）因为与的夹角为锐角，所以，且与不同向共线，
即，解得：，且，
综上：x的取值范围是.
11．如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
(1)若，求的值；
(2)设，，，，求的值；
【解析】（1）因，所以，
又因为的中点，所以，所以，
又，所以；
（2）因，，，，所以，，
又因，所以，
又因，，三点共线，所以，即.
运 算
坐标语言
加法与减法
记，
，
实数与向量的乘积
记，则=（，）