（预习课）人教A版高一数学寒假讲义第10讲 复数的概念+巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

这是一份（预习课）人教A版高一数学寒假讲义第10讲 复数的概念+巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版），文件包含预习课人教A版高一数学寒假讲义第10讲复数的概念+巩固练习+随堂检测教师版docx、预习课人教A版高一数学寒假讲义第10讲复数的概念+巩固练习+随堂检测教师版pdf、预习课人教A版高一数学寒假讲义第10讲复数的概念+巩固练习+随堂检测原卷版docx、预习课人教A版高一数学寒假讲义第10讲复数的概念+巩固练习+随堂检测原卷版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。
1、了解从实数系到复数系的扩充过程和方法．
2、研究复数的表示、运算及其几何意义．
【考点目录】
考点一：复数的基本概念
考点二：复数相等
考点三：复数的几何意义
考点四：复数的模
考点五：复数的轨迹与最值问题
【基础知识】
知识点一：复数的基本概念
1、虚数单位
数叫做虚数单位，它的平方等于，即．
知识点诠释：
①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；
②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．
2、复数的概念
形如（）的数叫复数，记作：（）；
其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示．
知识点诠释：
复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据．
3、复数的分类
对于复数（）
若b=0，则a+bi为实数，若b≠0，则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数．
分类如下：
（）
用集合表示如下图：
4、复数集与其它数集之间的关系
（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集．）
5、共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
通常记复数的共轭复数为．
知识点二：复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即：
如果，那么
特别地：．
知识点诠释：
（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样．
根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）．
（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小．
知识点三：复数的几何意义
1、复平面、实轴、虚轴：
如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．
知识点诠释：
实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2、复数集与复平面内点的对应关系
按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是复数的一种几何意义．
3、复数集与复平面中的向量的对应关系
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数．
设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定．
复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即
复数平面向量
这是复数的另一种几何意义．
4、复数的模
设（），则向量的长度叫做复数的模，记作．
即．
知识点诠释：
①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等．
【考点剖析】
考点一：复数的基本概念
例1．若（）为实数，（）是纯虚数，则复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，，，，所以．故选：C．
例2．已知复数（i是虚数单位）
（1）复数z是实数，求实数m的值；
（2）复数z是虚数，求实数m的取值范围；
（3）复数z是纯虚数，求实数m的值.
【解析】
（1）复数z是实数，则，解得或；
（2）复数z是虚数，则，解得且且；
（3）复数是纯虚数，则，解得.
考点二：复数相等
例3．当x､y为何实数时，复数等于2？
【解析】根据题意可知，实部等于2，虚部等于0，
即，解方程得 ，， ，
所以或或或.
故答案为：或或或.
例4．已知复数，若，则___________.
【答案】
【解析】解：因为
所以，解得所以，故答案为：
考点三：复数的几何意义
例5．复数z满足，则对应复平面内的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】不妨设复数，则有：
则有：故有：解得：故选：B
例6．设是复数的共轭复数.在复平面内，复数与对应的点关于轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：设，则，，
依题意得，解得，∴，.故选：B.
考点四：复数的模
例7．已知复数，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】由题意，.故选：D.
例8．已知复数z的模为10，虚部为6，则复数z为______．
【答案】
【解析】设，则﹒故答案为：
考点五：复数的轨迹与最值问题
例9．若复数满足，则的最大值是______.
【答案】3
【解析】设，则，根据复数几何意义知，表示在复平面内，到的距离，则最大值为，故答案为：3
例10．设复数满足，则=__________.
【答案】0
【解析】设复数，
由，可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，
由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，
由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，
又由，解得，所以.故答案为：.
【真题演练】
1．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，而为实数，故，故选：B.
2．（2021·浙江·高考真题）已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】C
【解析】，利用复数相等的充分必要条件可得：.
故选：C.
3．（2007·北京·高考真题（文））当时，复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】由题设知：复数对应点为，由，则，故点在第四象限.
故选：D
4．（2007·全国·高考真题（文））在复平面内，与复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】复数的共轭复数为，对应得点为，位于第二项限.
故选：B
5．（2007·北京·高考真题（理））已知，且．若，则的最大值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【解析】设，，故，，则，
，
，当时，有最大值为4.故选：C
6．（2007·全国·高考真题（理））复平面内，若复数满足，则所对应的点的集合构成的图形是（ ）
A．圆B．直线C．椭圆D．双曲线.
【答案】B
【解析】设，则，，
因为，所以，整理可得：，
所以所对应的点的集合构成的图形是直线，故选：B.
7．（2007·全国·高考真题（理））已知，，则z等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则，
所以，解得，，即.故选：D
8．（2007·北京·高考真题（理））当时，复数在平面上对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】，，点在第四象限．
9．（2007·海南·高考真题（文））i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________（用a＋bi的形式表示，a，b∈R）．
【答案】4－4i
【解析】是周期为4的运算，，，，…，
代入原式得.故答案为：
10．（2007·全国·高考真题（文））已知实数m满足，求m及x的值．
【解析】实数m满足，则，
∴，解得，.
【过关检测】
一、单选题
1．已知纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为（ ）
A．1B．3C．1或3D．0
【答案】B
【解析】因为为纯虚数，
故，则，解得.
故选：B
2．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】在复平面所对应的点为，位于第二象限.故选：B.
3．已知i为虚数单位，复数，则z的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，故其共轭复数为，故选：B.
4．设，复数，若为纯虚数，则（ ）
A．3或B．3C．或D．
【答案】B
【解析】因为复数为纯虚数，所以，解得.故选：B
5．设是虚数单位，若复数，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．9
【答案】A
【解析】因为，所以=，
当时，.故选：A.
6．若，，则复数等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，则，
根据复数相等的充要条件得，解得，故．故选：B．
7．已知复数z满足，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则，整理得：,
所以，消去得,
因为方程有解，所以，解得：.故选：D.
8．已知复数
①在复平面内对应点的坐标为(1，－1)；
②复数的虚部为；
③复数的共轭复数为；
④；
⑤复数是方程在复数范围内的一个根.
以上5个结论中正确的命题个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】因为，所以在复平面内对应点的坐标为(1，－1)，所以①正确；
复数的虚部为，所以②错误；复数的共轭复数为，所以③错误；
，所以④正确；方程在复数范围内的根为，
所以复数是方程在复数范围内的一个根，所以⑤正确；所以正确的命题个数为3个，
故选：C.
二、多选题
9．下列关于的说法中正确的有（ ）
A．表示点与点之间的距离B．表示点与点之间的距离
C．表示点到原点的距离D．表示坐标为的向量的模
【答案】ACD
【解析】由复数的几何意义知复数、分别对应复平面内的点与点，
所以表示点与点之间的距离，故A正确；
，可表示为点到原点的距离，故C正确；
，故B错误；
与向量一一对应，则可表示坐标为的向量的模，故D正确.故选：ACD.
10．下列说法中正确的有（ ）
A．若，则是纯虚数
B．若是纯虚数，则实数
C．若，则为实数
D．若，且，则
【答案】CD
【解析】对于A中，当，可得的不是纯虚数，故A错误；
对于B中，当，可得，此时不是纯虚数，所以B错误；
对于C中，当时，可得，所以为实数，所以C正确；
对于D中，由，且，所以，所以D正确．
故选：CD
11．若，且，则等于（ ）
A．4B．C．2D．0
【答案】AD
【解析】因为，且，
所以，解得或，所以或0．故选：AD
12．设复数，（R），对应的向量分别为（为坐标原点），则（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．若，则的最大值为
【答案】AD
【解析】对A，；
对B，对应的坐标为，对应的坐标为，因为，故，即，故B错误；
对C，若，则，即，因为，故，即，故，故C错误；
对D，若，即，其几何意义为到的距离小于等于，又的几何意义为到的距离，故的最大值为
故D正确；故选：AD
三、填空题
13．复数z的虚部为，在复平面内复数z对应的向量的模为2，则复数_______________.
【答案】或
【解析】设，则有，解得或，所以或，
故答案为：或.
14．若复数（）在复平面上对应的点位于第二象限，则m的取值范围是_______.
【答案】
【解析】复数（）在复平面上对应的点位于第二象限.
可得 解得.故答案为：
15．若，且，则的最大值是_______．
【答案】
【解析】，则复平面上表示复数的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，表示到点的距离，∵，所以=的最大值为．
故答案为：．
16．若复数满足（为虚数单位），则的最大值是___________.
【答案】
【解析】设，，则，
即，两边平方得：，
整理得：，两边平方得：，
将代入中，可得：，所以，
则故答案为：
四、解答题
17．当实数为何值时，复数在复平面内的对应点满足下列条件：
(1)位于第四象限；
(2)位于实轴负半轴上（不含原点）；
(3)在上半平面（含实轴）．
【解析】（1）要使点位于第四象限，则有∴∴；
（2）要使点位于实轴负半轴上（不含原点），则有∴∴；
（3）要使点在上半平面（含实轴），则有，解得或．
18．在复平面内A，B，C的对应的复数分别为．
(1)求；
(2)判定的形状．
【解析】（1）根据复数的几何意义，得，，，
所以，同理：，．
（2）由（1）得，故，所以为直角三角形.
19．已知复数（）.试求实数分别为什么值时，分别为：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.
【解析】（1）因为（）为实数，
所以，解得，所以，当时，为实数.
（2）因为（）为虚数，
所以，解得且.所以，当时，为虚数.
（3）因为（）为纯虚数，
所以，，解得.所以，当时，为纯虚数.
20．已知复数z=m（m+2）+（m2+m-2）i．
(1)若z是纯虚数，求实数m的值；
(2)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．
【解析】（1）若复数是纯虚数，则，解得或且，，所以.
（2）复数z在复平面内对应的点位于第四象限，则，解得，故的取值范围为.
21．已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为．
(1)确定点的集合构成图形的形状；
(2)求的最大值和最小值．
【解析】（1）设复数在复平面内的对应点为，则，
故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示．
（2）设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示，
，则的最大值即的最大值是；
的最小值即的最小值是．
22．（1）已知复数z满足，求．
（2）已知，对任意的，均有成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）解法1：设，则，代入方程得，
所以，解得，所以．
解法2：原式可化为，于是，即，所以，
代入，得．
（2）因为，且，
所以，即恒成立．
当，即时，恒成立；当时，，解得．
综上，实数a的取值范围是．
复数的概念 随堂检测
1．复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以的虚部为2.故选：D
2．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】在复平面所对应的点为，位于第二象限.故选：B.
3．已知复数满足，则共轭复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
【答案】A
【解析】由得，其在复平面内对应的点为，在第四象限，故选：A.
4．在复平面内，复数对应的点位于第四象限，且，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】由复数的模的定义及，得，解得．又在复平面内，复数z所对应的点位于第四象限，∴，∴，故选：D．
5．若z是复数，且，则的最大值是（ ）
A．12B．8C．6D．3
【答案】A
【解析】由已知得表示复平面内z对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，而表示的是复平面内对应的点到复数对应的点（6，－8）之间的距离，其最大值为，故选：A.
6．复数，在复平面内对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】令，则，恒成立；
令，则，恒成立；对应的点为，对应的点位于第四象限.故选：D.
7．（多选）下列四种说法中正确的有（ ）
A．复数是纯虚数
B．复数中，实部为1，虚部为
C．复数的共轭复数为，则的一个充要条件是
D．（为虚数单位）
【答案】CD
【解析】对于A：复数的实部为2，故不是纯虚数，故A错误；
对于B：复数中，实部为1，虚部为-2，故B错误；
对于C：设，则，若，则虚部为，此时，充分性成立，
若，则，则，此时，必要性成立，
所以的一个充要条件是，故C正确；
对于D：因为，所以，故D正确.故选：CD
8．已知复数，若是纯虚数，则实数______．
【答案】1
【解析】因为复数，且是纯虚数，所以，解得，故答案为：1
9．在复平面内，复数对应的点为A，对应的点为B，则向量的坐标是___________.
【答案】
【解析】因为复数对应的点为A，对应的点为B，所以,.
所以.故答案为：
10．已知，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】设，则有，即，则在复平面中的点在以为圆心，为半径的圆周上，，，表示与点的距离，如图所示：
由图可知，，即的最大值为7.
故答案为：7
11．当实数m取何值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件．
(1)位于虚轴上；
(2)位于第二象限；
(3)位于直线上．
【答案】(1)或.(2).(3)或.
【解析】（1）因为表示复数的点在虚轴上，故，故或.
（2）因为表示复数的点位于第二象限，故，故.
（3）因为表示复数的点位于位于直线上，
故即故或.