2024-2025学年四川省成都市高三上学期12月联考数学模拟检测试题

这是一份2024-2025学年四川省成都市高三上学期12月联考数学模拟检测试题，共6页。
注意事项：
1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
3．考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知：．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A B. 8C. 9D. 16
4. 已知，则（ ）
A. 3B. C. D.
5. 已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6. 记的内角的对边分别为，已知，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆左、右焦点分别为，点都在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（ ）
A. 这两个球体的半径之和的最大值为
B. 这两个球体的半径之和的最大值为
C. 这两个球体的表面积之和的最大值为
D. 这两个球体的表面积之和的最大值为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 随机事件A，满足，则下列说法正确的是（ ）
A B.
C. D.
10. 表示不超过的最大整数，例如：，已知函数，下列结论正确的有（ ）
A. 若，则
B.
C. 函数的图象不关于原点对称
D. 设方程解集为，集合，若，则
11. 已知，直线为原点，点在上，直线与交于点在直线上，且，点的轨迹为史留斯蚌线，记为曲线，其中是的渐近线，如图所示．设是上一点，则（ ）

A.
B. 存在异于原点的点，使得关于点的对称点仍在上
C. 若在第二象限，则最大值为
D. 若在第一象限，则直线的斜率大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中的系数为______．
13. 已知，且，则的最小值是_________.
14. 设A是非空数集，若对任意，都有，则称A具有性质P.给出以下命题：
①若A具有性质P，则A可以是有限集；
②若具有性质P，且，则具有性质P；
③若具有性质P，则具有性质P；
④若A具有性质P，且，则不具有性质P.
其中所有真命题的序号是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，由下列四个条件中选出三个：
①最大值为2； ②最小正周期为；
③； ④．
（1）求函数的解析式及单调递减区间；
（2）设．当时，的值域为，求的取值范围．
16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的正弦值；
（3）记的中点为，若在线段上，且直线与平面所成的角的正弦值为，求线段的长．
17. 已知椭圆的焦点在轴上，长轴长与短轴长的比为，焦距为.为椭圆上任意一点，过点作圆的两条切线、，分别为切点，直线分别与、轴交于、两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求面积的最小值；
（3）过点的两条直线，分别与椭圆相交于不同于点的，两点，若与的斜率之和为−2，直线是否经过定点？若过定点，求出定点坐标，若不过定点请说明理由.
18. 若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合．
（1）若是12项0-1数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和；
（2）从集合中任意取出两个数列，记．
①求随机变量的分布列，并证明：；
②若用某软件产生项数列，记事件“第一次产生数字1”，“第二次产生数字1”，且．若，比较与的大小．
19. 莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用所有大于1的正整数n都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，，例如：，对应，．现对任意，定义莫比乌斯函数．
（1）求；
（2）已知，记（为的质因数个数，为质数，）的所有因数从小到大依次为．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求的值（用表示）．