广东省深圳市深圳高级中学2024-2025学年上学期九年级12月月考数学试卷

这是一份广东省深圳市深圳高级中学2024-2025学年上学期九年级12月月考数学试卷，共31页。试卷主要包含了小明在科普读物中了解到，如图，在△中，，按以下步骤作图，若，则的值为 　　等内容，欢迎下载使用。
1．图1是一个玻璃烧杯，图2是由玻璃烧杯抽象出的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为
A．B．
C．D．
2．广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据：
则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为 （结果精确到
A．0.93B．0.94C．0.95D．0.96
3．如图，矩形是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边的长为，边的长为，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为 ，下列方程正确的是
A．B．
C．D．
4．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是
A．B．C．D．
5．如图，在中，，，点、分别是、中点，若，则四边形的周长是
A．2B．C．4D．
6．小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则该玻璃透镜的折射率为
A．1.8B．1.6C．1.5D．1.4
7．如图，在△中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交于点，连接；②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，以的长为半径画弧，在△内与前一条弧相交于点；④连接并延长交于点．若点恰好为的中点，则的长为
A．B．C．D．
8．如图，在矩形中，，，为边上一动点，连接，过点作于点，与对角线交于点．若，则的长是
A．B．2C．D．
二．填空题（每题3分，共15分）
9．若，则的值为 ．
10．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
11．我们在制作视力表时发现，每个“”形图的长和宽相等（即每个“”形图近似于正方形），如图，小明在制作视力表时，测得，，他选择了一张面积为的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“”形图．那么能够刚好剪得第①个大“”形图的是面积为 的正方形卡纸．
12．如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．将向下平移个单位长度，，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，则 ．
13．如图，在中，，是边上一点且满足，，是边上一点且满足，连接交于点，则 ．
三．解答题（共61分）
14．（5分）解方程：．
15．（7分）早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“．虾饺，．干蒸烧卖，．艇仔粥，．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同）
（1）如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是 ；
（2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率．
16．（8分）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量学校旗杆高度
问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？
组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，例如自制直角三角形硬纸板，标杆，平面镜，甚至还可以利用无人机确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案：
根据上述材料，请你选择一个方案，求出学校旗杆的高度．
17．（8分）粤港澳大湾区花展期间，在某盆栽销售处发现，某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价元．
（1）降价后平均每天卖出 盆；（用含的代数式表示）
（2）供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？
18．（9分）如图，四边形中，对角线与相交于点，，，点在上．
（1）下列条件：①；②点与点关于直线对称；③为中点．
请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出证明过程．
（2）若四边形是菱形，且，，，求的长．
19．（12分）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】
（1）点 “美好点”（填“是”或“不是” ；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ；
【深入探究】
（2）若“美好点” ，在双曲线，且为常数）上，则 ；
【拓展延伸】
（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”．
①求关于的函数表达式，并求出自变量的取值范围；
②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象：
列表：下表是与的几组对应值，请将下表填写完整．
描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是 ；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分）
．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点；
．随着的增大而减小；
．随着的增大而增大；
．图象经过点．
④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？
20．（12分）【综合与实践】
在一次综合实践活动课上，郑老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“励志”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：将边沿解析到的位置；
第3步：延长交于点，则点为边的三等分点．
“励志”小组是这样操作的：
第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点；
第3步：过点折叠正方形纸片，使折痕．
【过程思考】（1）“励志”小组的证明过程中，①处的值为 ；②处的方程是 ；
（2）结合“励志”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论；
【拓展提升】（3）如图3，将矩形纸片对折，使点和点重合，展开铺平，折痕为，将△沿翻折得到△，过点折叠矩形纸片，使折痕，若点为边的三等分点，请求出的值．
（4）如图4，在菱形中，，，是上的一个三等分点，记点关于的对称点为，射线与菱形的边交于点，请直接写出的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．图1是一个玻璃烧杯，图2是由玻璃烧杯抽象出的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为
A．B．
C．D．
【解答】解：它的俯视图为两个同心圆．
故选：．
2．广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据：
则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为 （结果精确到
A．0.93B．0.94C．0.95D．0.96
【解答】解：由表格可得：随着实验种子数量的增加，其发芽的频率稳定在0.95左右，即估计它能发芽的概率为0.95，
故选：．
3．如图，矩形是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边的长为，边的长为，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为 ，下列方程正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：人行通道的宽度为 ，
每个展位的长为，宽为．
依题意得：，
即．
故选：．
4．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是
A．B．C．D．
【解答】解：由黄金分割比，根据题意可得，
，
，
故选：．
5．如图，在中，，，点、分别是、中点，若，则四边形的周长是
A．2B．C．4D．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
点、分别是、的中点，
，，
，
，
四边形平行四边形，
，
，
点是的中点，
，
平行四边形是菱形，
，
，
，
，
，
四边形的周长，
故选：．
6．小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则该玻璃透镜的折射率为
A．1.8B．1.6C．1.5D．1.4
【解答】解：折射光线沿垂直边的方向射出，
．
法线垂直于，
．
．
．
．
故选：．
7．如图，在△中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交于点，连接；②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，以的长为半径画弧，在△内与前一条弧相交于点；④连接并延长交于点．若点恰好为的中点，则的长为
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意可知，，，
在△与△中，
，
△△，
，
，
△△，
，
，点恰好为的中点，
，
，
故选：．
8．如图，在矩形中，，，为边上一动点，连接，过点作于点，与对角线交于点．若，则的长是
A．B．2C．D．
【解答】解：如图，延长，交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
二．填空题（共5小题）
9．若，则的值为 ．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
10．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
△，
解得，
故答案为：．
11．我们在制作视力表时发现，每个“”形图的长和宽相等（即每个“”形图近似于正方形），如图，小明在制作视力表时，测得，，他选择了一张面积为的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“”形图．那么能够刚好剪得第①个大“”形图的是面积为 16 的正方形卡纸．
【解答】解：每个“”形图近似于正方形，
，
△△，
，，
，
第②个小“”形图是的正方形卡纸，
第①个大“”形图的，
故答案为：16．
12．如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．将向下平移个单位长度，，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，则 72 ．
【解答】解：如图，作，垂足为，
，轴，且，点的坐标为，
由勾股定理得：，，
，，
点向下平移个单位后，坐标变为，点坐标变为，
平移后点、在反比例函数图象上，
，
解得：，
平移后点坐标为，
．
13．如图，在中，，是边上一点且满足，，是边上一点且满足，连接交于点，则 ．
【解答】解：过点作于点，过点作于点，延长交的延长线于点，如图，
在和中，
，
，
，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
，
设，则，
，．
，，
，
，
．
．
，
，
，
，
．
，
，
．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
14．解方程：．
【解答】解：原方程可化为，
解得，．
15．早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“．虾饺，．干蒸烧卖，．艇仔粥，．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同）
（1）如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是 ；
（2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率．
【解答】解：（1）共有四种茶点，
如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是：，
故答案为：；
（2）画树状图如图所示：
由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果有2种，
（张帆选到“虾饺”和“艇仔粥” ．
16．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量学校旗杆高度
问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？
组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，例如自制直角三角形硬纸板，标杆，平面镜，甚至还可以利用无人机确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案：
根据上述材料，请你选择一个方案，求出学校旗杆的高度．
【解答】解：方案一：由题意得四边形是矩形，
， ．
，，
△△．
，即，
解得，
答：学校旗杆的高度为；
方案二：如图2，过点作，交于点，交于点．
由题意得四边形与四边形都是矩形，
，， ．
，
△△，
，即，
解得．
答：学校旗杆的高度为．
17．粤港澳大湾区花展期间，在某盆栽销售处发现，某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价元．
（1）降价后平均每天卖出 盆；（用含的代数式表示）
（2）供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？
【解答】解：（1）根据题意，得每天卖出盆．
故答案为：；
（2）根据题意，得，
整理得：，
解得：，，
又要让购买者得到实惠，
．
答：每盆应降价15元．
18．如图，四边形中，对角线与相交于点，，，点在上．
（1）下列条件：①；②点与点关于直线对称；③为中点．
请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出证明过程．
（2）若四边形是菱形，且，，，求的长．
【解答】（1）解：选择①；
证明：在△和△中，
，
△△，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
△是等腰三角形，为中点，
，即，
平行四边形是菱形；
选择②点与点关于直线对称，
证明：，，
为线段的垂直平分线，
，，
点与点关于直线对称，
，
，
四边形是菱形；
（2）四边形是菱形，，，
，，，，
在△中，，
，
，即，
，
在△中，，
．
19．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】
（1）点 不是 “美好点”（填“是”或“不是” ；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ；
【深入探究】
（2）若“美好点” ，在双曲线，且为常数）上，则 ；
【拓展延伸】
（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”．
①求关于的函数表达式，并求出自变量的取值范围；
②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象：
列表：下表是与的几组对应值，请将下表填写完整．
描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是 ；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分）
．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点；
．随着的增大而减小；
．随着的增大而增大；
．图象经过点．
④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？
【解答】解：（1），
点不是“美好点”．
点是第一象限内的一个“美好点”，
．
．
故答案为：不是，4．
（2），是“美好点”，
，．
．
将代入双曲线上，
．
故答案为：18．
（3）①点是第一象限内的“美好点”，
．
．
第一象限内的点的横坐标为正，
．．
关于的函数表达式为：．
②列表如下：
作图如下，
③由图象可得：
、图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，故正确，符合题意；
、由图象可知随着的增大而减小，故正确，符合题意；
、随着的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意；
、当时，，所以图象经过点，故该选项说法错误，不符合题意；
故选：．
④，
．
对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为．
⑤该图象可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，
故答案为：．
20．综合与实践
在一次综合实践活动课上，郑老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“励志”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：将边沿解析到的位置；
第3步：延长交于点，则点为边的三等分点．
“励志”小组是这样操作的：
第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点；
第3步：过点折叠正方形纸片，使折痕．
【过程思考】
（1）“励志”小组的证明过程中，①处的值为 ；②处的方程是 ；
（2）结合“励志”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论；
【拓展提升】
（3）如图3，将矩形纸片对折，使点和点重合，展开铺平，折痕为，将△沿翻折得到△，过点折叠矩形纸片，使折痕，若点为边的三等分点，请求出的值．
（4）如图4，在菱形中，，，是上的一个三等分点，记点关于的对称点为，射线与菱形的边交于点，请直接写出的长．
【解答】解：（1）由题意可得，①处的值为3，②处的方程是，
故答案为：3，；
（2）点是边的三等分点，证明如下：
由第1步的操作可知、分别是、的中点，
是正方形，
，，
，，
△△，
，
，
，
△△
，
点为边的三等分点；
（3）由折叠得，，
点为边的三等分点，
，
设，则，，，
由折叠性质得，△△，
，，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
由勾股定理得，，
设，则，
，
，
又，
，
又，
△△，
，
即，
，
，
；
（4）连接交于点，如图所示，
四边形是菱形，
，，，
，
分两种情况：①当时，如图所示，连接、，与交点，则，，
由对称性可知，，，
，
△△，
，
设，则，，
在△中，，
，
解得（不合，舍去），，
，
，，
△△，
，
，
，
；
②当时，连接，，则，，
由对称性可知，，，，，
过点作于点，如图所示，则，
，，
△△，
，
设，则，
在△和△中，
，
，△△，
，，
，
在△中，，
，
解得（不合，舍去），（不合题意，舍去），
，
；
综上，的长为或．实验种子数量颗
100
200
500
1000
2000
5000
发芽种子数量颗
93
188
473
954
1906
4748
种子发芽的频率（精确到
0.930
0.940
0.946
0.954
0.953
0.950
方案一
方案二
测量工具
自制直角三角形硬纸板，皮尺
标杆，皮尺
测量示意图及说明

说明：线段表示学校旗杆，小亮的眼睛到地面的距离，点与点在同一水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且，，，，，，都在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上，，，三点在同一直线上

说明：线段表示学校旗杆，小明的眼睛到地面的距离，标杆竖立位置点与点，在同一水平直线上，，，之间的距离都可以直接测得，且，，，，，都在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．
测量数据
，之间的距离
，之间的距离
的长度
，之间的距离
的长度
标杆的长度
3
4
5
6
7
8
证明过程如下：连接，
正方形沿折叠
，，
又，△△
．设（个单位），，
是的中点，
① ，
在△中，可列方程：② ，
解得：，即是边的三等分点．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
A
D
C
A
C
实验种子数量颗
100
200
500
1000
2000
5000
发芽种子数量颗
93
188
473
954
1906
4748
种子发芽的频率（精确到
0.930
0.940
0.946
0.954
0.953
0.950
方案一
方案二
测量工具
自制直角三角形硬纸板，皮尺
标杆，皮尺
测量示意图及说明

说明：线段表示学校旗杆，小亮的眼睛到地面的距离，点与点在同一水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且，，，，，，都在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上，，，三点在同一直线上

说明：线段表示学校旗杆，小明的眼睛到地面的距离，标杆竖立位置点与点，在同一水平直线上，，，之间的距离都可以直接测得，且，，，，，都在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．
测量数据
，之间的距离
，之间的距离
的长度
，之间的距离
的长度
标杆的长度
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
6
4
3
证明过程如下：连接，
正方形沿折叠
，，
又，△△
．设（个单位），，
是的中点，
① 3 ，
在△中，可列方程：② ，
解得：，即是边的三等分点．