1_重庆市渝南田家炳中学校2023-2024学年高二上学期半期考试数学试题（原卷及解析版）

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时间：120分钟总分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设，，且，则等于（）
A. B. C. D.
2. 经过点，倾斜角为的直线方程为（）
A. B.
C. D.
3. 如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（）
AB.
C. D.
4. 若圆的圆心到直线的距离为，则实数a的值为（）
A. 0或2B. 0或C. 0或D. 或2
5. 已知圆过点，，且圆心在轴上，则圆的方程是（）
A. B. C. D.
6. 已知双曲线，则下列选项中正确的是（）
A.
B. 若的顶点坐标为，则
C. 的焦点坐标为
D. 若，则的渐近线方程为
7. 已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 0
8. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，过的平面与平面平行，以平面截该正方体得到的截面为底面，为顶点的棱锥记为棱锥，则棱锥的外接球的表面积为（）
AB.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9. 关于空间向量，以下说法正确的是（）
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面
C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D. 若，则是钝角
10. 已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（）
A. 直线过定点B. 若，则的面积为
C. 的最小值为D. 的面积的最大值为2
11. 已知双曲线与椭圆的一个交点为，分别是的左、右顶点，分别是的左、右顶点，则（）
A. 直线与直线的斜率之积为1B. 若，则
C. 若，则D. 若的面积为，则
12. 过抛物线C：上一点作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M、N，则（）
A. C准线方程是
B. 过C的焦点的最短弦长为12
C. 直线过定点
D. 当点A到直线的距离最大时，直线的方程为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．
13. 已知点，在直线上，则直线的倾斜角的大小为______.
14. 设直线的方向向量分别为，若，则实数m等于___________.
15. 若圆上存在点P，且点P关于y轴的对称点Q在圆上，则r的取值范围是___________.
16. 某休闲广场呈椭圆形，在该椭圆的两个焦点及中心处分别安装有三盏景观灯A，B，C，其中灯B位于灯A的正东400m处.小王沿着该休闲广场的边沿散步，在散步的过程中，他与灯B的最短距离为50m.当小王行走到点M处时，他与灯A，B的距离之比为，则此时他与灯C的距离为______m.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知直线l经过点，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点.
（1）若点O到直线l的距离为4，求直线l的方程；
（2）若面积为24，求直线l的方程．
18. 如图，在正方体中，E、F分别是，CD中点，
（1）求证：平面ADE；
（2）求异面直线EF，CB1所成的角
19. 已知为圆：上任意一点，且点
（1）求的最大值和最小值；
（2）过作圆的切线，求切线方程．
20. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，求的面积．
21. 如图，四棱柱中，，，平面平面，.
（1）求证：平面；
（2）若为线段的中点，直线与平面所成角为45°，求平面与平面的夹角的余弦值.
22. 已知双曲线经过点，一条渐近线方程为，直线交双曲线于两点.
（1）求双曲线的方程.
（2）若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.