贵州省遵义市2024-2025学年高二上学期12月考试数学试卷（Word版附解析）

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1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册至必修第四册，选择性必修第一册到2.3节.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 以下关于复数的四个命题中，错误的是（ ）
A.
B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限
C. 复数的共轭复数
D. 复数的虚部为
【答案】C
【解析】
【分析】先根据复数的除法计算出，然后逐项判断即可.
【详解】；
A：，故正确；
B：在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故正确；
C：因为，所以，故错误；
D：因为，所以虚部为，故正确；
故选：C.
2. 在平面直角坐标系内，已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系可得答案.
【详解】在平面直角坐标系内，已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为.
故选：D.
3. 命题“，，使得”的否定是（ ）
A. ，，使得B. ，，使得
C. ，，使得D. ，，使得
【答案】B
【解析】
【分析】修改量词，否定结论，可得结果.
【详解】修改量词否定结论可得： “，，使得”，
故选：B.
4. 如图，这是正四棱台被截去一个三棱锥后所留下的几何体，其中，，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正四棱台的性质，可求得正四棱台的高，从而可得正四棱台的体积.补全图中几何体可知截去的三棱锥的底面为三角形，高为正四棱台的高，从而可得截去的三棱锥的体积.两者做差即可得到题目中几何体的体积.
【详解】
因为，，根据正四棱台性质，其高为，
则该正四棱台的体积为.
又由图可知截去三棱锥底面积为，
所以三棱锥体积为，
即所求几何体体积为.
故选：A
5. 过点且以直线的方向向量为法向量的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意设所求直线为，由点在直线上求参数，即可得方程.
【详解】由题设，所求直线与垂直，可设所求直线为，
又在上，则，得，
所以，所求直线为.
故选：A
6. 经过点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据倾斜角的关系求解出直线的斜率，然后可得直线的点斜式方程，化为一般式方程即可.
【详解】设所求直线倾斜角为，直线的倾斜角为，
所以，
所以直线的方程为，即为，
故选：B.
7. 已知点为圆：上的动点，点为圆：上的动点，下列说法正确的有（ ）
A. 两个圆心所在直线的斜率为
B. 两圆恰有3条公切线
C. 两圆公共弦所在直线的方程为
D. 的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知写出圆的标准方程确定圆心和半径，圆心坐标求斜率判断A；由圆心距与半径和差关系判断圆的位置关系判断B、C；由两圆上点的距离最小为判断D.
【详解】由，则，半径为，
由，则，半径为，
所以，A错；
，即两圆外离，有4条公切线，B、C错；
，D对.
故选：D
8. 已知函数的定义域为，当时，，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件分析出的单调性，然后将不等式变形为，结合单调性可求不等式解集.
【详解】因为当时，，即，
所以在上单调递减，
因为，
所以，所以，解得，所以不等式解集为，
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的最小正周期为，则以下命题正确的有（ ）
A.
B. 函数的图象关于直线对称
C. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称
D. 若方程在0,π上有两个不等实数根，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】A：先根据辅助角公式化简，再根据周期公式可求；B：计算的值，根据是否为最值作出判断；C：将解析式中的替换为可得结果；D：作出的图象，根据对称性求得的值，则的值可知.
【详解】A：，因为，所以，故正确；
B：因为，即为最小值，所以的图象关于直线对称，故正确；
C：的图象向右平移个单位长度可得，
显然为偶函数，所以图象关于轴对称，故正确；
D：，作出的图象如下图所示，
令，所以，
当时，，当时，，
由图象可知，的交点关于直线对称，
所以，所以，所以，故错误；
故选：ABC.
10. 已知、、是三条不同的直线，、是两个不同的平面，下列选项正确的有（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，，则
D. 若与不垂直，则垂直于内无数条直线
【答案】AD
【解析】
【分析】利用线面平行的性质定理可判断A选项；根据线面垂直的判定定理可判断B选项；根据已知条件判断线线位置关系，可判断C选项；根据空间线面位置关系可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，，，由线面平行的性质定理可得，A对；
对于B选项，因为，，，，由于、不一定相交，则与不一定垂直，B错；
对于C选项，，，，则、的位置关系不确定，C错；
对于D选项，若与不垂直，则平面内与在内的射影垂直的直线，
垂直于直线，这样的直线有无数条，D对.
故选：AD.
11. 定义域为的函数对任意的非零实数，都满足.当时，.下列结论正确的是（ ）
A. B. 满足
C. D. 在上单调递增
【答案】BC
【解析】
【分析】A根据充分必要性说明；B利用题设条件证，即可判断；C令、即可判断；D先说明奇偶性，再利用单调性定义及题设条件证明的单调性，即说明上单调性.
【详解】由，易知定义域为，满足且时，必要性成立，
但满足题设要求的函数不一定是，A错；
由，则，B对；
令，则，
令，则，C对，
令，则，定义域为，即为偶函数，
令，则，
由，则，即在上递增，故上递减，D错；
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，，若，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】应用向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数值.
【详解】由题设，又，
所以，则
故答案为：
13. 如图，在四面体中， ，，点，分别在，上，且，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由空间向量加减数乘的几何意义得，再应用空间向量数量积的运算律求的模长.
【详解】由，
所以
，
所以.
故答案为：
14. 如图，在三棱锥中， ，，，为的中点，过作平面，则平面截三棱锥外接球所得截面面积的最小值为___.

【答案】
【解析】
【分析】先求得三棱锥外接球半径，进而求得平面截三棱锥外接球所得截面面积的最小值.
【详解】取中点F，连接.
由，，可得,,
又，则，
又，，则，
又面，则面，
又F为外心，则三棱锥外接球球心O在直线上，
延长交球O于，连接，
则，设球O半径为R，则，
解之得，，则，
又为中点，则，
，
则平面截三棱锥外接球所得截面面积的最小时
即为以为直径的圆的面积，该圆面积为

故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直，若直线与直线关于点对称，求直线的方程.
【答案】
【解析】
【分析】先求出交点坐标，根据垂直关系求出直线的方程，然后采用相关点法求解出直线的方程.
【详解】因为，所以，所以交点是，
设直线的方程为，代入，则，所以，
因为直线与直线关于点对称，设直线上任意一点的坐标为，
关于的对称点为，且在直线上，
所以，即，
所以直线的方程为.
16. 2021年9月24日，中国轻工业联合会、中国乐器协会授予正安县“吉他之都”称号.遵义市某中学的同学们利用暑假到正安参加社会实践活动，对县城20至50岁的市民是否会弹吉他进行调查.若会弹吉他，则称为“吉他达人”，否则称为“非吉他达人”.同学们随机抽取2800人进行调查，统计后发现“吉他达人”有1000人，进一步对“吉他达人”各年龄段人数进行统计后，得到了各年龄段“吉他达人”人数的频率分布直方图：
（1）根据直方图估计“吉他达人”年龄的平均数；
（2）若从年龄在的“吉他达人”中采用分层抽样法抽取5人参加“吉他音乐节”表演，再从这5人中随机选取2人作为领队，求2位领队来自同一组的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由平均数的计算公式即可求解；
（2）结合组合数，由古典概型计算公式即可求解.
【小问1详解】
由题意可得：
平均数为
【小问2详解】
由的频率为可得两组人数比为，
故5人中，来自的人数分别为2和3，
所以从这5人中随机选取2人作为领队，求2位领队来自同一组的概率为,
故2位领队来自同一组的概率为.
17. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足.
（1）求；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通过正弦定理进行边化角，再结合两角和差的正弦公式公式以及辅助角公式可求解出的值；
（2）先通过余弦定理结合基本不等式求解出的最大值，然后根据面积公式可求面积的最大值.
【小问1详解】
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以.
【小问2详解】
因为，所以，
所以，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为.
18. 已知，是圆的一条直径的两个端点，为圆上任意一点，直线分别与轴、轴交于，两点.角的终边与单位圆交于点.
（1）求圆在点处的切线方程；
（2）求面积的最大值；
（3）求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
分析】（1）根据题设有圆、，则，进而可得切线斜率，应用点斜式写出切线方程；
（2）要使面积的最大，只需圆上点到直线距离最大，结合点线距离公式、三角形面积公式求最大面积；
（3）若是的中点，则，且，再由，，应用向量数量积的运算律求目标式的范围.
【小问1详解】
由题设，且圆的半径为1，则圆，
又，即，显然在圆上，则，
所以圆在点处的切线的斜率为，所求切线为，
整理得.
【小问2详解】

由题设，，则，
到的距离，则到最大距离为，
所以面积的最大值为；
【小问3详解】
设是的中点，则，且，故，
由，，且，
所以，，
所以，
对于，当同向共线时最大，反向共线时最小，
所以，
综上，.
19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，.
（1）证明：平面平面.
（2）若，求点到平面的距离.
（3）求满足题设条件的所有几何体中，与平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的性质有，根据线面、面面垂直的判定定理证结论；
（2）构建合适空间直角坐标系，应用向量法求点面距离；
（3）同（2）构建空间直角坐标系，令且，及是与面所成角的平面角，确定的坐标，结合求最大值即可.
【小问1详解】
由平面，平面，则，又，
由都在面内，则面，面，
所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）易知，又，过作于，
由面面，面面，面，
所以面，过作，易知，
故可构建如下图示空间直角坐标系，又，，，
则，
所以，
若是面的一个法向量，则，
令，则，
所以点到平面的距离.
【小问3详解】
同（2）构建空间直角坐标系，易知是与面所成角的平面角，
显然在以为直径的圆上，令，
显然，可得或，
当时，，，则，
所以，此时最大值为；
当时，，，则，
所以，此时最大值为；
综上，与平面所成角的正弦值的最大值为.