专题二 函数与导数——高考数学二轮复习专题进阶训练

这是一份专题二 函数与导数——高考数学二轮复习专题进阶训练，共21页。试卷主要包含了函数的定义域为，函数的零点为，函数的导函数的图象如图所示，则，已知函数，则_________等内容，欢迎下载使用。
基础题
1.函数的定义域为( )
A.B.
C.D.
2.函数的零点为( )
A.1B.1或C.eD.e或
3.已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
4.生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉率f（单位：次）与体重W（单位：kg）的次方成反比.若A，B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为，脉率为210次，B的脉率是70次，则B的体重为( )
A.B.C.D.
5.已知函数，若的图象在点处的切线方程为，则( )
A.0B.3C.D.6
6.（多选）已知函数若的最小值为，则实数a的值可以是( )
A.-1B.1C.0D.2
7.（多选）函数的导函数的图象如图所示，则( )
A.为函数的零点B.为函数的极小值点
C.函数在上单调递减D.是函数的最小值
8.已知函数，则_________.
9.已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数a的值为_________.
10.已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则__________.
中等题
11.已知函数，a，b，c均不相等，且，则abc的取值范围是( )
A.B.C.D.
12.“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳.弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为，然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于，石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”，石片的弹跳次数为( )（参考数据：，，）
A.6B.7C.8D.9
13.函数的部分图象可能为( )
A.B.C.D.
14.若，，，则( )
A.B.C.D.
15.已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
16.（多选）已知函数，则下列说法正确的是( )
A.函数的图象关于点对称
B.
C.函数在定义域上单调递增
D.若实数a，b满足，则
17.（多选）已知函数，则( )
A.是的极大值点
B.有且只有1个零点
C.存在正实数k，使得对于任意均成立
D.若，，则
18.已知常数，函数的图象经过点，，若，则___________.
19.若函数和的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系.若函数和不具有C关系，则实数a的取值范围是___________.
20.已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若函数在上有两个不同零点，求实数m的取值范围.
拓展题
21.已知是定义在R上的奇函数，，，且，有，则关于x的不等式的解集为( )
A.B.C.D.
22.已知函数，若，且，则的最小值为( )
A.-3B.C.D.
23.设函数是定义在R上的奇函数，对任意，都有，且当时，.若函数（其中）恰有3个零点，则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
24.已知关于x的不等式在上恒成立，则正数m的最大值为( )
A.B.C.eD.1
25.已知若关于x的方程有5个不同的实根，则实数k的取值范围为( )
A.B.
C.D.
26.（多选）定义在R上的函数满足，函数的图象关于点对称，则( )
A.8是的一个周期B.
C.的图象关于点对称D.
27.（多选）已知函数有两个零点，（），则( )
A.a的取值范围为B.
C.D.
28.已知不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是___________.
29.设函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则函数在上所有零点之和为___________.
30.已知函数的图象在点处的切线方程为.
（1）求a，b；
（2）函数的图象与x轴负半轴的交点为P，且在点P处的切线方程为，函数，，求的最小值；
（3）关于x的方程有两个实数根，，且，证明：.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意知解得且.
2.答案：A
解析：的定义域为.令，得或，解得或（舍去）.
3.答案：C
解析：因为函数在定义域上是增函数，所以解得，所以实数a的取值范围为.故选C.
4.答案：D
解析：根据题意设.当时，，则，所以当时，，所以.
5.答案：D
解析：因为，所以，所以，又，所以.
6.答案：AC
解析：当时，，则在上单调递减，所以.当时，，则在上单调递增，则，所以，得.故选AC.
7.答案：BC
解析：由的图象，可知在和上单调递增，在和上单调递减，所以为的极小值点，所以B，C正确；是的零点，但不一定是的零点，所以A错误；是函数的极小值，但不一定是最小值，所以D错误.
8.答案：1
解析：因为，所以.
9.答案：3
解析：函数的导函数为，在处的切线的斜率为，直线的斜率为.因为切线与直线垂直，所以，解得.
10.答案：4
解析：因为是函数的一个零点，所以，于是，即.又函数是奇函数，则，所以.
11.答案：C
解析：作出函数的图象，如图所示.
不妨设，则，所以，得.由得，所以，故选C.
12.答案：C
解析：设这次“打水漂”石片的弹跳次数为x，由题意得且，即且.当时，得.因为，所以，又，所以.
13.答案：A
解析：因为，所以是奇函数，排除D；因为，所以在上必有零点，排除C；因为当时，，所以排除B.故选A.
14.答案：D
解析：由题意可知a，b，c三个数都在0和1之间，又，（即为中间数区分不开），而在和1之间，不妨试以为中间数区分a，b.因为，，所以.
15.答案：A
解析：函数的定义域为，，因为是函数的唯一极值点，所以关于x的方程在时无根或无变号根（即在根两侧，函数的值的符号相同），即关于x的方程在时无根或无变号根.令，则，当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，若关于x的方程在时无根或无变号根，则，故选A.
16.答案：ABD
解析：，故，即的图象关于点对称，故，故A，B正确；的定义域为R，由于单调递减，且，而单调递增，所以为减函数，C错误；由，及为减函数，得，故，D正确.
17.答案：BD
解析：的定义域为，，令，得.当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以是函数的极小值点，选项A错误.
令，则的定义域为，在上恒成立，所以函数在上单调递减，又，，所以函数有且只有1个零点，且，选项B正确.
在上恒成立，即在上恒成立.令，，则.令，，则，当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以在上恒成立，即在上单调递减.当时，，又，所以不存在k，使在上恒成立，选项C错误.
解法一：由以上分析知，函数在上单调递减，在上单调递增.不妨设，则，.要证，只需证，因为，，在上单调递增，所以只需证.因为，所以只需证.
令，，则，所以在上单调递减，所以当时，，即成立，所以成立，选项D正确.
解法二：因为，，所以，即，由对数平均不等式（，，），得，即，因为，，，所以，选项D正确.综上，选BD.
18.答案：4
解析：由条件可知，得，得①；，得，得②.得，，，又，.
19.答案：
解析：若函数和不具有C关系，则与的图象关于x轴对称的函数图象与的图象没有交点，即方程无解.令，所以，所以变为.当时，问题转化为方程无解，所以函数的图象与的图象没有交点.的图象如图，结合图象可知.当时，无论a取何值，都无解.综上，实数a的取值范围是.
20.答案：（1）见解析
（2）且
解析：（1）
当时，由得或；由得.
当时，.
当时，由得或；由得.
综上，当时，在上单调递减，在，上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增.
（2）当时，，.
，
令，则，
在上单调递增，，
①当时，即时，，
在上单调递增，又，
函数只有一个零点，不符合题意，舍去.
②当时，即时，，
又，
故存在唯一零点，
使得，，即.
在上单调递减，在上单调递增，又.
当时，，此时，，，
函数只有一个零点，不符合题意，舍去.
当时，，此时，，要使有两个零点，需满足，
即，
对，
设，，
则，令，得，由得，由得，
在上单调递增，在上单调递减，，
，恒成立.
实数m的取值范围为且.
21.答案：C
解析：令，因为是定义在R上的奇函数，所以，所以函数是定义在R上的偶函数.因为，且，有，所以在上单调递增，所以当时，，当时，有，所以，即，所以在上单调递增，又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递减.因为，所以等价于，所以，解得.故选C.
22.答案：B
解析：由题可得作出的图象如图.
由，且，得，，即，得.，又，则，所以，故当，即时，取最小值，为.
23.答案：B
解析：因为，所以函数的图象关于直线对称，所以，即.又函数是定义在R上的奇函数，所以，则，故函数是以4为周期的周期函数.又，即，所以函数的图象关于点对称.令，则，恰有3个零点等价于与的图象有3个交点.
如图所示，画出与的大致图象，由图可得解得.
24.答案：C
解析：依题意得，（，），即（，），令，则，，故函数在上单调递增，故（，），两边同时取对数可得（，），则（，）.令，，则，故当时，，当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减，所以，故，则，故选C.
25.答案：A
解析：当时，，，令，得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，且，，当时，.当时，，，令，得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，且，当时，.作出在R上的图象，如图所示.
令，则关于x的方程有5个不同的实根，可转化为有两个不同的实根，，且.不妨设，则令，则解得.
26.答案：CD
解析：对于A，由题设条件得，令，则有，则的图象关于直线对称.因为，所以，即，则的图象关于点对称.因为，所以，又，所以，所以，所以，所以8为的一个周期，即.则，A不正确.
对于B，的图象关于点对称，且关于直线对称，
令，符合题意，而，所以B不正确.
对于C，因为的图象关于点对称，则有，即，则的图象关于点对称，C正确.
对于D，因为的图象关于点对称，且定义域为R，所以，所以，又，则.D正确.故选CD.
27.答案：BCD
解析：因为函数有两个零点，所以直线与曲线有两个交点.设，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，且当时，，当时，，所以当时，函数有两个零点，所以选项A错误.由上述分析知，，所以，所以选项B正确.令，则，
因为，当且仅当时取等号，所以当时，，所以在上单调递增，所以，即，又，所以，因为，，在上单调递减，所以，即，所以选项C正确.，（）是函数的两个零点，，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则.令，当时，，因为时，，所以，所以在上单调递增，所以，即，所以，因为，，在上单调递减，所以，即，所以选项D正确.综上，选BCD.
28.答案：
解析：由得.令，则.，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以，所以，即.故m的取值范围是.
29.答案：7
解析：由，得图象的对称轴为直线，因为函数是定义在实数集R上的偶函数，所以，即是周期为2的周期函数.易知的图象关于直线对称.当时，，分别作出与的图象如图，数形结合可知，两函数图象在上一共有7个交点，且除点外，两两关于直线对称，所以在上所有零点之和为.
30.答案：（1），
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）将代入切线方程中，得，
所以，得或.
因为，
所以.
若，则（舍去），
所以，则.
（2）由（1）可知，，，所以，
令，得或，
故函数的图象与x轴负半轴的交点.
由函数的图象在点处的切线方程为，得.
因为，
所以，
所以，.
若，则.
若，则，，
所以，.
若，则，，，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
（3）如图，，设的根为，则，
易知单调递减，由（2）知恒成立.
因为，所以.
设函数的图象在点处的切线方程为，则，
令，则，
当时，，当时，令，则，故函数在上单调递增，
又，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即.
设的根为，则，
又函数单调递增，所以，故，
又，所以.