福建省福州市山海联盟2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份福建省福州市山海联盟2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知命题,,那么命题p的否定为( )
A.,B.,C.,D.,
2．“”是“”的( )条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
3．设全集,,,则图中阴影部分表示的集合为( )
A.B.C.D.
4．已知幂函数图象过点,则等于( )
A.12B.19C.24D.36
5．已知关于x的不等式的解集为,则关于x的不等式的解集为( )
A.B.C.D.
6．已知函数在上是单调函数,则k的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．若,,且,则的最小值为( )
A.20B.12C.16D.25
8．不等式的解集为,则实数a的取值范围是( )
A.B.
C.或D.
二、多项选择题
9．下列各组函数是同一个函数的是( )
A.与
B.与.
C.与
D.与
10．对于实数a、b、c,下列命题为假命题的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
11．下列结论正确的有( )
A.当时,
B.当时,的最小值是2
C.当时,的最小值为4
D.当时,
三、填空题
12．已知函数,若,则______.
13．已知幂函数是偶函数,且在上是减函数,则______.
14．设为偶函数,且在区间上单调递减,,则的解集为______.
四、解答题
15．已知全集,集合,.
（1）若,求,;
（2）若,求a的取值范围.
16．已知为定义在R上的奇函数,且当时,.
（1）求函数的解析式;
（2）求函数在区间上的最小值.
17．在园林博览会上,某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购,并决定大量投放市场,已知该种设备年固定研发成本为50万元,每生产一台需另投入90元,设该公司一年内生产该设备x（）万台且全部售完,每万台的销售收入（万元）与年产量x（万台）满足如下关系式:
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（）（万台）的函数解析式;（利润=销售收入-成本）
（2）当年产量为多少万台时,该公司获得的年利润最大?并求最大利润.
18．已知函数是定义在上的奇函数,且.
（1）求函数的解析式;
（2）判断函数在上的单调性,并用定义证明;
（3）解不等式.
19．高一某学生阅读课外书籍时,发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A,B,定义且,将称为“A与B的笛卡尔积”
(1)若,,求和；
(2)证明：“”的充要条件是“”；
(3)若集合H是有限集,将集合H的元素个数记为.记,,满足,对x,y恒成立,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：因为命题,,
所以命题p的否定为:,.
故选:D
2．答案：B
解析：即,所以解得,
充分性：不一定有,如,此时,故充分性不满足；
必要性：,则必有,故满足必要性.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3．答案：A
解析：由图可知阴影部分表示的集合为,
因为,
所以或,
所以,
所以图中阴影部分表示的集合为.
故选:A.
4．答案：D
解析：设幂函数,
因为幂函数图象过点,可得,解得,即,
所以.
故选:D.
5．答案：D
解析：根据题意,方程的两根为2和3,
则,
则为,其解集为.
故选:D.
6．答案：C
解析：函数的对称轴为
若函数在上是单调递增函数,则
若函数在上是单调递减函数,
解得或
故k的取值范围是
故选:C.
7．答案：D
解析：因为,所以,
所以,
当且仅当,即时取等号,
所以的最小值为25.
故选:D.
8．答案：A
解析：因为关于x的不等式的解集为,
所以关于x的不等式的解集为R.
当,即时,,显然满足题意;
当,则,解得;
综上,,即实数a的取值范围是.
故选:A.
9．答案：ABC
解析：对于选项A:的定义域为R,的定义域为R,
定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数,故A正确;
对于选项B:的定义域为,
的定义域为,
定义域相同对应关系相同,是同一个函数,故B正确;
对于选项C:的定义域,的定义域,
定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数,故C正确;
对于选项D:的定义域为R,的定义域为R,
定义域相同对应关系不同,不是同一个函数,故D错误.
故选:ABC.
10．答案：ABD
解析：对于A选项,取,,则,,A选项中的命题为假命题;
对于B选项,取,则,B选项中的命题为假命题;
对于C选项,因为,
则,
因为,但由于,
则,则,
所以,,则,C选项中的命题为真命题;
对于D选项,取,,则,,D选项中的命题为假命题.
故选:ABD.
11．答案：AD
解析：对于A,当时,,当且仅当时取等号,故A正确;
对于B,,当且仅当且时取等号,又,故B错误;
对于C,,
但时,,不符合基本不等式的要求,故C错误;
对于D,当时,,,当且仅当时取等号,故D正确;
故选：AD.
12．答案：4
解析：当时,,所以,
当时,,所以,不合题意舍,
所以.
故答案为:4.
13．答案：
解析：因为幂函数是偶函数,
所以且为偶数,
所以或,
又因为幂函数在上是减函数,
所以,即,所以.
故答案为:.
14．答案：
解析：由题意偶函数在区间上单调递减,,
所以在区间上单调递增,,
因为,所以或,
即或,
解得或,所以的解集为.
故答案为:.
15．答案：（1）,或
（2）
解析：（1）当时,,则或,
因为,所以;
（2）当时,成立,此时,解得,
当时,由,得,解得,
综上,.
16．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）函数是定义在R上的奇函数,
,且,
,
设,则,
,
,
所以.
（2）依题意,,
当时,,
有,所以:
①当时,,
②当时,.
17．答案：（1）,
（2）生产21万台时,年利润最,最大利润为1130万元.
解析：（1）由题意知,年利润关于年产量x的函数解析式为:
,
（2）由（1）知,当时,,
由基本不等式,可得,
当且仅当时,即时,等号成立,
所以,
所以,当年生产21万台时,年利润取得最大值,最大利润为1130万元.
18．答案：（1）,.
（2）函数在上为减函数;证明见解析
（3）.
解析：（1）函数是定义在上的奇函数,,
解得:,
,而,解得,
,.
（2）函数在上为减函数;证明如下:
任意,且,
则,
因为,所以,,
所以,即,所以函数在上为减函数.
（3）由题意,不等式可化为,
所以,解得,所以该不等式的解集为.
19．答案：(1),
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)因为,,且,
所以,；
(2)若,设,
由定义可知：且,
所以“”是“”的充分条件；
若,对任意,均有,
即对任意,,均有,,
由任意性可知,,则,
所以“”是“”的必要条件；
综上所述：“”是“”的充要条件.
(3)依题意,,,,
所以,当且仅当时取等号,
所以,
又,对x,y恒成立,
所以,即a的取值范围为.