吉林大学附属实验学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份吉林大学附属实验学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知幂函数在区间上单调递增，则( )
A.-2B.1C.D.-1
3．已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
4．函数的图像大致为( )
A.
B.
C.
D.
5．对于实数a，b，c有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，，则，.其中真命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
6．已知是定义在R上的奇函数，当时，，若，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是( )
A.B.，或
C.D.，或
8．已知函数，若实数a，b满足，则的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若函数同时满足：(1)对于定义域内的任意x，有；(2)对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”给出下列四个函数是“理想函数”的是( )
A.B.
C.D.
10．已知函数，则( )
A.函数的定义域为R
B.函数的值域为
C.函数在上单调递增
D.函数在上单调递减
11．已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”下列说法正确的是( )
A.不是“可分集合”
B.是“可分集合”
C.四个元素的集合可能是“可分集合”
D.五个元素的集合不可能是“可分集合”
三、填空题
12．已知，定义运算，则的解集为___________.
13．若关于x的不等式在区间上恒成立，则a的取值范围为___________.
14．已知函数对任意的，有，设函数，且在区间上单调递增若，则实数a的取值范围为___________.
四、解答题
15．化简求值：
(1)；
(2)若，求，的值
16．已知集合，集合.
(1)当时，求，；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围
17．已知.
(1)若不等式的解集为，求实数a、b的值；
(2)若时，对于任意的实数，都有，求m的取值范围
18．已知定义域为R的函数是奇函数
(1)求实数a，b的值；
(2)判断的单调性并给出证明；
(3)若存在，使成立，求实数k的取值范围
19．某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tml药品，从注射时间起血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间x（单位：小时）的关系如下：当血药浓度不低于时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过.
(1)若注射药品，求药品的有效治疗时间；
(2)若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和已知病人第一次注射1ml药品，12小时之后又注射aml药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗，求a的最小值
参考答案
1．答案：C
解析：因为或，
所以.
故选：C
2．答案：B
解析：由题意有，
解得或，
①当时，，在区间上单调递减，不合题意；
②当时，，在区间上单调递增，符合题意
故选：B
3．答案：B
解析：命题“，”是假命题，
等价于“，”是真命题，
即判别式，
解得：或，
则实数a的取值范围为：.
故选：B.
4．答案：A
解析：因为的定义域为，
所以，
所以函数为偶函数
图像关于y轴对称，所以可排除CD；
又因为，排除B,所以A正确
故选：A
5．答案：C
解析：对于①，当时，，①错误；
对于②，由，得，不等式两边同时除以，得，②正确；
对于③，当时，，
且，因此成立，③正确；
对于④，，，
则，因此，，④正确，
所以真命题的个数是3.
故选：C
6．答案：B
解析：当时，是增函数，
又∵是定义在R上的奇函数，
∴的图像关于原点对称，
则当时，也是增函数，
∴是R上的增函数，
∴由得，解得：.
∴实数a的取值范围是.
故选：B.
7．答案：D
解析：因为正实数x，y满足，
所以，
所以
，
当且仅当
且，即时等号成立
因为不等式有解，
所以只需，
即即可，
所以或.
故选：D
8．答案：C
解析：一方面由题意有
，
另一方面若有成立，
结合以上两方面有，
且注意到
，
所以由复合函数单调性可得在R上严格单调递增，
若，则只能，
因此当且仅当；
又已知，
所以，
即，
由基本不等式得
，
当且仅当，
即时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：C.
9．答案：BD
解析：由(1)可知，为奇函数，
由(2)可知，在定义域内为单调递减函数，
对于A，定义域为R，
又，故为偶函数，故A错误；
对于B，定义域为R，
又，故为奇函数，
又在R上单调递减，满足要求，B正确；
对于C，分别在区间和上单调递减，
在定义域内不是单调递减，C错误；
对于D：，
，
所以是奇函数；
根据二次函数的单调性，
易知在和都是减函数，且在处连续，
所以在R上是减函数，所以是“理想函数”，D正确
故选：BD
10．答案：ABD
解析：令，则，
对于选项A：的定义域与的定义域相同，均为R，故A正确；
对于选项B：因为，的值域为，
所以函数的值域为，故B正确；
对于选项C、D：因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减，
所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，
所以C不正确，D正确
故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：对于A，去掉3后，不满足定义，
不是“可分集合”，A正确；
对于B，集合所有元素之和为49，
当去掉元素1时，剩下的元素之和为48，
集合与的元素和相等，符合题意；
当去掉元素3时，剩下的元素之和为46，
集合与的元素和相等，符合题意；
当去掉元素5时，剩下的元素之和为44，
集合与的元素和相等，符合题意；
当去掉元素7时，剩下的元素之和为42，
集合与的元素和相等，符合题意；
当去掉元素9时，剩下的元素之和为40，
集合与的元素和相等，符合题意；
当去掉元素11时，剩下的元素之和为38，
集合与的元素和相等，符合题意；
当去掉元素13时，剩下的元素之和为36，
集合与的元素和相等，符合题意；
因此集合是“可分集合”，B正确；
对于C，不妨设，去掉，
则，去掉，则，
于是，与矛盾，
因此,,,一定不是“可分集合”，C错误；
对于D，不妨设，
若去掉元素，将集合,,,分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，
则有，或者②，
若去掉元素，将集合,,,分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有③，或者④，
由①③或②④得，矛盾；
由①④或②③得，矛盾，
因此集合,,,,不是“可分集合”，D正确
故选：ABD.
12．答案：
解析：因为，
则，
解得.
所以的解集为,
故答案为：.
13．答案：
解析：由
得，
设，
则关于x的不等式在区间上恒成立，
即为在上恒成立，
令，
则在上为增函数，
所以，
所以，即，
故答案为：
14．答案：
解析：因为函数对任意的，
有，，
则
，
所以函数为偶函数，
又函数在区间上单调递增，
所以由，
得，
即，
则，解得，
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)，
解析：(1)
(2)，
，
，
又，
.
16．答案：(1)，
(2)
解析：(1)因为，所以，
即，即，
当时，.
所以，
所以或，
所以；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，
则A真包含于B，
∵，，
∴，
解得.
∴实数m的取值范围是.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为的解集为，，
所以方程的两根为0、3，
故，
解得，
经检验：当、时，不等式的解集为.
(2)当时，，
对于任意的实数，都有，
即对于任意的实数，都有，
令，
当时，恒成立；
当时，函数是增函数，即，解得；
当时，函数是减函数，即，解得，
综上所述，，m的取值范围为.
18．答案：(1)，
(2)函数在R上是减函数，证明见解析；
(3)
解析：(1)因为函数是定义在R上的奇函数，
所以，即，所以，
又因为，
所以，
将代入，整理得，
当时，有，
即恒成立，
又因为当时，有，
所以，所以.
经检验符合题意，所以，
(2)由(1)知：函数，
函数在R上是减函数
设任意，，且，
则
由，可得，
又，
则，
则，
则函数在R上是减函数
(3)因为存在，
使成立，
又因为函数是定义在R上的奇函数，
所以不等式可转化为，
又因为函数在R上是减函数，
所以，所以，
令，
由题意可知：问题等价转化为，
易知当，，所以.
19．答案：(1)10
(2)0.5
解析：(1)注射该药品，
其浓度为
当时，，解得；
当时，，解得.
所以一次注射该药品，则药物有效时间可达小时
(2)设从第一次注射起，经小时后，
其浓度
，
则，
因为
当时，
即时，等号成立
，当时，，
所以，
因为，
解得，所以.
当时，，
，所以不能保证持续有效，
答：要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，a的最小值为0.5.