浙江省台金七校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省台金七校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．命题“至少有一个实数x,使得”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
2．学校开运动会,设是参加100米跑的同学},是参加200米跑的同学},是参加400米跑的同学}．学校规定,每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛．请你用集合的运算说明这项规定( )
A.B.
C.D.
3．设,且,则下列运算中正确的是( )
A.B.
C.D.
4．如图,①②③④中不属于函数,,的一个是( )
A.①B.②C.③D.④
5．对于集合A,B和全集U,“”是“”的什么条件( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
6．图(1)是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象
由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢建议,如图(2)(3)所示,这两种建议是( )
A.(2)：降低成本,票价不变;(3)：成本不变,提高票价.
B.(2)：提高成本,票价不变;(3)：成本不变,降低票价.
C.(2)：成本不变,提高票价;(3)：提高成本,票价不变.
D.(2)：降低成本,提高票价;(3)：降低成本,票价不变.
7．已知函数的定义域为R,是奇函数,为偶函数,（e为自然对数的底数,）,则在区间上的最小值为( )
A.2B.3C.D.
8．若集合时,,均有恒成立,则t的最大值为( )
A.1B.4C.16D.64
二、多项选择题
9．下列命题为真命题的是( )
A.若,则B.若,,则
C.若,则D.若,则
10．波恩哈德·黎曼（~）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献,开创了黎曼几何,并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数,该函数的定义域为,其解析式为：,下列关于黎曼函数的说法正确的是( )
A.B.,a,
C.的值域为D.为偶函数
11．若函数,当时,的最大值为M,最小值为m;则下列说法正确的是( )
A.的值与b无关B.的值与a无关
C.函数,至少有一个零点D.函数,至多有三个零点
三、填空题
12．已知集合,,若,则实数m的值为__________.
13．已知,若,,则的最小值为__________.
14．若函数,（,且）在区间上单调递增,则a的取值范围是____________
四、解答题
15．已知集合,,
(1)求,;
(2)若“”是“”的充分不必要条件,求m的取值范围.
16．设奇函数,（为自然对数的底数,）.
(1)求的定义域和b;
(2),求函数的值域.
17．设函数.
(1)若,求证：在内存在零点;
(2)若不等式的解集是,且时,恒成立,求a的取值范围.
18．函数满足：对任意实数x,y,有成立;函数,,,且当时, QUOTE .
(1)求并证明函数为奇函数;
(2)证明：函数在上单调递增;
(3)若关于x的不等式恒成立,求t的取值范围.
19．已知函数的定义域为D,若最多存在n个实数,,,,,使得,,则称函数为“n级E函数”.
(1)函数①,②是否为“n级E函数”,如果是,求出n的值,如果不是,请说明理由;
(2)若函数,求值;
(3)若函数,求,的取值范围.（用a表示）
参考答案
1．答案：D
解析：根据存在命题的否定可知,
至少有一个实数x,使得的否定是,,
故选：D.
2．答案：D
解析：学校规定,每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛,
故没有同学参加三项比赛,即.
故选：D.
3．答案：D
解析：对于选项A：,故A错误;
对于选项B：,故B错误;
对于选项C：例如,则,.故C错误;
对于选项D：,故D正确;
故选：D.
4．答案：B
解析：根据函数与关于y对称,可知①④正确,
函数为单调递增函数,故③正确.
所以②不是已知函数图象.
故选：B.
5．答案：A
解析：韦恩图所示：
由推出,
反之由推出,
所以“”是“”的充要条件,
故选：A.
6．答案：A
解析：(2)直线向上平移,当乘客量为0时,差额绝对值变小,又收入为0,说明降低成本,两直线平行,说明票价不变;
(3)：当乘客量为0时,差额未变,又收入为0,说明成本没变,直线的倾斜角变大,说明相同的乘客量时收入变大,即票价提高了.
故选：A
7．答案：B
解析：由题意可得：,可得,
因为,在上单调递减,可得在上单调递减,
所以在区间上的最小值为.
故选：B.
8．答案：B
解析：要使不等式恒成立,则恒成立,
当n取得最大值t,时,取得最大值,
即恒成立,因为函数和都是增函数,所以函数是增函数,
当时,,所以t的最大值为4.
故选：B.
9．答案：BD
解析：对于选项A：例如,,则,,,
即,故A错误;
对于选项B：因为,,则,
可得,所以,故B正确;
对于选项C：例如,,,则,,,
即,故C错误;
对于选项D：因为,
且,则,,
可得,即,故D正确;
故选：BD.
10．答案：ABD
解析：通过题目信息可知对于有理数和无理数具有不同的取值,且当x为无理数时,：
对于A选项,代入验证易知其正确;
对于B选项,不妨设,根据的性质可得的最小值为0,
当时,,当时,,
当时,若a和b中有无理数,则,
若a和b均为有理数,不妨设,其中,,,均为正整数,
则,,
若与互质,则,
若与有大于1的公约数k,则,
综上可得,B选项正确;
对于C选项,计算可知的函数值只能是有理数,C选项错误;
对于D选项,的定义域为,,,
对于任意的,当x为无理数时,和均为无理数,,
当x为有理数时,可令,其中p和q是互质的正整数且,
则,,
综上可知对于任意的都有,是偶函数,D正确.
故选：ABD.
11．答案：ACD
解析：对于选项AB：假设,,,
则,
显然,可知的值与b无关,与a有关,故A正确,B错误;
对于选项CD：令,可得,
构建,,则,
可知为奇函数,
若,在单调递增,其图象如图所示：
可知 QUOTE y=gx y=gx与恒有1个交点,即恒有1个零点;
若,在单调递减,在上单调递增,其图象如图所示：
可知与可能有1、2或3个交点,即可能有1、2或3个零点;
综上所述：函数,至少有一个零点,至多有三个零点,故CD正确;
故选：ACD.
12．答案：2
解析：由,知B是A的子集,所以或或.
由集合中元素的互异性,知,所以,故,.
从而,而,故.
经验证满足条件.
故答案为：2.
13．答案：
解析：因为,
若,,可知,
则,可得,
则,
当且仅当,即,时,等号成立,
所以的最小值为.
故答案为：.
14．答案：
解析：可看作由函数与函数复合而成,
当时,因为为增函数,所以在上单调递增即可,
由对勾函数的单调性,只需,解得,
当时,因为为减函数,所以在上单调递减即可,
由对勾函数的单调性,只需,解得,
综上,a的取值范围为,
故答案为：
15．答案：(1),
(2)
解析：(1)由已知得,,
,,
;
(2)因为“”是“”的充分不必要条件,
所以,
若,即时,,符合题意;
若,即时,,
所以,所以;
若,即时,,
所以,所以
综上,.
16．答案：(1),定义域为
(2)
解析：(1)因为,
令,可得,可知的定义域为;
因为是奇函数,则,解得,
可得,则,
即,可知是奇函数.
综上所述：
(2)由(1)可知,
令,则,
因为在上单调递减,
当时,;当时,;可知,即
且在定义域内为增函数,则,所以的值域为.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)由,
即,,
,
,
当时,,由零点存在性定理知在上存在零点;
当时,则,是零点,此时存在零点;
综上在内存在零点.
(2)依题意得,且,是方程的两根,
由韦达定理得,,,
所以,
依题意,得在R上恒成立,
因为,,所以只需,
令,,
令,则,在上单调递增,
所以时,,
.
18．答案：(1),证明见解析
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)因为,
令,则,得f1=0;
令,则,得;
证明：,令,
依题意得,即f-x=-fx,
所以是奇函数.
(2)由得,即,
,,,则,则
可得,
即,所以函数在上单调递增.
(3)因为,,且函数为奇函数,
则,可知是偶函数,
且,
因为,可得,
因为偶函数,且,可得,
又因为函数在上单调递增,可得,
因为,则,可知,
当时,,
当且仅当,即时,等号成立;
当时,,
当且仅当,即时,等号成立;
综上所述：.
可得,解得,且,
所以t的取值范围为.
19．答案：(1)为“n级E函数”,且;不为“n级E函数”,理由见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
解析：(1)①函数为偶函数,图象关于y轴对称,且在上递增,在上递减,
所以为“n级E函数”,且;
②在上递减,且此时;
在上递减,且此时;所以不为“n级E函数”.
(2),的图象关于直线轴对称,
当时,,;
当时,,.
(3),易得,
①当,时,,即,
所以,令,
当时,在递增,在递增,
所以;
当时,在递增,在递增,在递减,
所以;
当时,在递减,在递增,在递增,
在递减,
所以;
②当,时,,即,
所以,令,
对称轴是,
在上递减,所以,
因为：;
故：当时,的取值范围为,
当时,的取值范围为,
当时,的取值范围为.