2024-2025学年湖北省市级示范高中智学联盟高二上学期12月联考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年湖北省市级示范高中智学联盟高二上学期12月联考数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数5i−2的共轭复数是( )
A. 2−iB. −2−iC. −2+iD. 2+i
2.已知直线l经过A−2,1，B1,−2两点，则直线l的倾斜角为( )
A. π4B. π3C. 2π3D. 3π4
3.已知椭圆C1：x26+y22=1的两个焦点与椭圆C2：x2m2+y28=1(m>0)的两个焦点构成正方形的四个顶点，则m=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.“a=4”是“直线l1:a−2x+2y+1=0与直线l2:4x+ay−1=0平行”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.如图，在正四面体P−ABC中，过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H 点，点M 满足AM=13AH，则PM=( )
A. 14PA+14PB+14PCB. 23PA+19PB+19PC
C. −53PA+29PB+29PCD. 13PA+29PB+29PC
6.已知F1,F2是双曲线E:x2a2−y2b2=1a>b>0的左、右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A、B两点，若AB>2F1F23，则双曲线E的离心率的取值范围是( )
A. ( 3,3 2613)B. (3 2613,+∞)C. (1,3 2613)D. (1, 3)
7.已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=8，直线l:mx+y−m−3=0.若直线l被圆C截得的弦长的最大值为a，最小值为b，则a+b=( )
A. 4 2+2 3B. 2 2+4 3C. 2 2+2 3D. 2 2+ 3
8.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2．△PF1F2是面积为5的直角三角形，则双曲线的方程为( )
A. x254−y25=1B. x25−y254=1C. x22−y28=1D. x28−y22=1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆C1 :x−32+y2=1，圆C2:x2+y−a2=16，则下列结论正确的是( )
A. 若C1和C2外离，则a>2 3或a1时，曲线C可能为焦点在x轴上的椭圆
D. 当m=2时，曲线C为双曲线，其焦距为 2
11.已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为6的菱形，AA1⊥平面ABCD，AA1=3，∠DAB=π3，点P满足AP=λAB+μAD+tAA1，其中λ，μ，t∈0,1，则( )
A. 当P为底面A1B1C1D1的中心时，λ+μ+t=2
B. 当λ+μ+t=1时，AP长度的最小值为3 22
C. 当λ+μ+t=1时，AP长度的最大值为6
D. 当λ2+μ2+λμ=t=1时，A1P为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(0,−2),(0,2)，并且经过点( 3, 5)，则它的标准方程是___________．
13.已知向量a，b满足a=1,1, 2，|b|=2，且a+b= 3a−b.则a−b在a上的投影向量的坐标为_________．
14.已知等腰三角形腰上的中线长为 5，则该三角形面积的最大值为_____．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知▵ABC顶点A(4,0)、B(6,7)、C(0,3)．
(1)求边BC的垂直平分线l1的方程；
(2)若直线l2过点B，且l2的纵截距是横截距的2倍，求直线l2的方程．
16.(本小题12分)
大冶市甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢三局的学校获胜，比赛结束).约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后只进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为34，乙校获胜的概率为14；在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为25，乙校获胜的概率为35.设各局比赛相互之间没有影响且无平局．
(1)求恰好比赛三局，比赛结束的概率；
(2)求甲校以3：1获胜的概率．
17.(本小题12分)
在Rt▵ABC中，∠C=90∘，BC=6，AC=12，D,E分别是AC,AB上的点，满足DE//BC且D 点是AC边靠近C点的三等分点，将▵ADE沿DE折起到▵A1DE的位置，使A1C⊥CD，M是A1D的中点，如图所示：
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)求CM与平面A1CE所成角的余弦值．
18.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，已知圆C经过原点和点A(1,−1)，并且圆心在x轴上，圆C与x轴正半轴的交点为P．
(1)求圆C的标准方程；
(2)设P1P2为圆C的动弦，且P1P2不经过点P，记k1､k2分别为弦P1P､P2P的斜率．
(i)若k1⋅k2=−1，求▵PP1P2面积的最大值；
(ii)若k1⋅k2=4，请判断动弦P1P2是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由．
19.(本小题12分)
法国著名数学家加斯帕尔⋅蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心， a2+b2(a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长)为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(−1, 63)，且短轴的一个端点与焦点的连线与y轴所成角的正弦值等于 63．
(1)求椭圆C的蒙日圆的方程；
(2)若斜率为2的直线l与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求▵OMN的面积(O为坐标原点)；
(3)设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求ΔPAB面积的最小值．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.C
5.B
6.C
7.A
8.A
9.BD
10.ABC
11.ACD
12.y210+x26=1
13.(12,12, 22)
14.103
15.解：(1)由于kBC=7−36−0=23，
所以l1的斜率为k=−32，BC中点M的坐标为M(3,5)，
则由点斜式可得，直线l1的方程为y−5=−32x−3，即3x+2y−19=0；
(2)当横、纵截距均为0时，l2的斜率为76，所以l2的方程为y=76x，符合题意；
当横、纵截距均不为0时，设l2的方程为xa+y2a=1，
又l2因为过点B(6,7)，所以6a+72a=1，解得a=192，
所以直线l2的方程为2x+y−19=0，
综上，直线l2的方程为y=76x或2x+y−19=0.

16.解：(1)恰好比赛三局，比赛结束的情况如下：
甲校连胜3局，概率为P1=34×34×25=940;
乙校连胜3局，概率为P1=14×14×35=380，
故恰好比赛三局，比赛结束的概率P=P1+P2=940+380=2180；
(2)甲校以3:1获胜的情况如下：
①前两局男生排球比赛中甲校全胜，第三局比赛甲校负，第四局比赛甲校胜，
概率为P1=(34)2×35×25=27200;
②前两局甲校1胜1负，第三局比赛甲校胜，第四局比赛甲校胜，
概率为P2=2×34×14×25×25=350，
故甲校以3:1获胜的概率P=P1+P2=27200+350=39200．
17.(1)证明：因为在Rt▵ABC中，∠C=90°，DE/​/BC，
所以DE⊥AD,DE⊥CD，
因为折叠前后对应角相等，所以DE⊥A1D，
所以DE⊥平面A1CD，DE⊥A1C，
又A1C⊥CD，CD∩DE=D，CD、DE⊂平面BCDE，
所以A1C⊥平面BCDE；
(2)解：因为DE经过▵ABC的重心，故DE=23BC=4，
由(1)知A1C⊥平面BCDE，以CD为x轴，CB为y轴，CA1为z轴，
建立空间直角坐标系，由几何关系可知，CD=4,AD=8,A1C=4 3，

故C(0,0,0),D(4,0,0),E(4,4,0),B(0,6,0),A1(0,0,4 3),M(2,0,2 3)，
CM=(2,0,2 3)，A1C=(0,0,−4 3),A1E=(4,4,−4 3)，
设平面A1CE的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅A1C=0n⋅A1E=0，即−4 3z=04x+4y−4 3z=0，令y=−1，则n=(1,−1,0)，
设CM与平面A1CE所成角的大小为θ，
则sinθ=|cs|=|CM⋅n||CM|⋅|n|=24⋅ 2= 24，csθ= 144，
故CM与平面A1CE所成角的余弦值为 144．

18.解：(1)设圆C的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，
由已知可得：a2+b2=r2;(1−a)2+(−1−b)2=r2;b=0.
解得：a=1，b=0，r=1，
所以圆C的标准方程为(x−1)2+y2=1；
(2) (i)由(1)知P(2,0)，因为k1·k2=−1，所以P1P⊥P2P，
从而直线P1P2经过圆心，△PP1P2是直角三角形，且|P1P2|=2，
设|P1P|=a，|P2P|=b，则a2+b2=4，
又4=a2+b2≥2ab，所以ab≤2，当且仅当a= b= 2时取等号，
所以(S△PP1P2)max=12ab=1；
(ii)由已知得：直线P1P2的斜率必存在，
设直线P1P2的方程为y=kx+m，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，
由y=kx+m,(x−1)2+y2=1.，消去y得：(k2+1)x2+2(km−1)x+m2=0，
Δ>0，x1+x2=−2(km−1)k2+1，x1x2=m2k2+1，(※)
又k1⋅k2=y1x1−2⋅y2x2−2=(kx1+m)(kx2+m)(x1−2)(x2−2)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2x1x2−2(x1+x2)+4=4，
即(4−k2)x1x2−(km+8)(x1+x2)+16−m2=0，
代入(※)得：3m2+14km+16k2=0，
即(m+2k)(3m+8k)=0，解得：m=−2k，或m=−83k，
当m=−2k时，此时直线P1P2的方程为y=k(x−2)，过定点P(2,0)(舍去)，
当m=−83k时，此时直线P1P2的方程为y=k(x−83)，过定点(83,0)，
故当k1⋅k2=4，动弦P1P2过定点(83,0)．

19.解：(1)由已知可得，ca= 63 ①，
由椭圆过点(−1, 63)，得(−1)2a2+( 63)2b2=1 ②
由 ① ②解得a= 3，b=1，
于是 a2+b2=2，所以椭圆C的蒙日圆的方程为x2+y2=4．
(2)由(1)知，椭圆C的方程为x23+y2=1，设直线l的方程为y=2x+m，
由y=2x+mx23+y2=1消去y并整理得，13x2+12mx+3(m2−1)=0，
由Δ=144m2−42(3m2−3)=0，得m2=13，即|m|= 13，
则坐标原点O到直线l:2x−y+m=0的距离d=|m| 5= 13 5，|MN|=2 22−(135)2=2 355，
所以ΔOMN的面积S△OMN=12|MN|⋅d= 915．
(3)由(1)知，椭圆C的方程为x2+3y2=3，椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=4，
设P(x0,y0)，则x02+y02=4，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x12+3y12=3，x22+3y22=3，
当切线PA的斜率存在时，设PA的方程为y=k(x−x1)+y1，
由y=kx−(kx1−y1)x2+3y2=3消去y得(3k2+1)x2−6k(kx1−y1)x+3(kx1−y1)2−3=0，
Δ1=36k2(k1x1−y1)2−12(3k2+1)[(kx1−y1)2−1]=0，整理得3k2+1−(kx1−y1)2=0，
即k2(3−x12)+2kx1y1+1−y12=0，则3k2y12+2kx1y1+13x12=0，解得k=−x13y1，
于是y=−x13y1(x−x1)+y1，即x1x+3y1y=3，
当切线PA的斜率不存在时，A(± 3,0)，PA的方程为x=− 3或x= 3，满足上式，
因此切线PA的方程为x1x+3y1y=3，同理切线PB的方程为x2x+3y2y=3，
将P(x0,y0)代入切线PA，PB的方程，有x1x0+3y1y0=3，x2x0+3y2y0=3，
从而直线AB的方程为x0x+3y0y=3，当y0≠0时，
由x0x+3y0y=3x2+3y2=3消去y并整理得：(x02+3y02)x2−6x0x+9(1−y02)=0，
显然x02+3y02≠0，Δ2=(−6x0)2−4(x02+3y02)×9(1−y02)=36y02(1+2y02)>0，
x1+x2=6x0x02+3y02，x1x2=9(1−y02)x02+3y02，
则|AB|= 1+(−x03y0)2⋅|x1−x2|= 8y02+49y02⋅ (x1+x2)2−4x1x2=2(1+2y02)2+y02，
又点P(x0,y0)到直线AB的距离ℎ=|x02+3y02−3| x02+9y02=|1+2y02| 4+8y02= 1+2y022，
于是ΔPAB的面积S△PAB=12|AB|⋅ℎ=(1+2y02) 1+2y022(2+y02)，
设t= 1+2y02(0f(1)=14，
当y0=0，即x0=±2时，由对称性不妨令x0=2，直线AB:x=32，
由x=32x2+3y2=3，解得|y|=12，|AB|=1，ℎ=2−32=12，S△PAB=12|AB|⋅ℎ=14，
所以ΔPAB面积的最小值为14．