江苏省连云港市东海县白塔高级中学2024-2025学年高一上学期12月质量检测数学试题

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15．（1）（2）
【分析】利用指数与对数的运算法则计算即可.
【详解】（1）原式.
（2）原式.
16．(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）依题意可得，解得即可；
（2）由（1）知，再结合二次函数的性质计算可得；
（3）因式分解可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【详解】（1）由题意可得，或，
又因为在单调增，，，
所以.
（2）由（1）知，函数在区间上是增函数，
，，即的取值范围为.
（3）不等式转化为，则.
当时，解得或，即不等式的解集为或，
当时，解得或，即不等式的解集为或，
当时，解得，即不等式的解集为.
综上可得当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为.
17．(1)
(2)当产量为11千件时，该企业在生产销售该款玩具中所获得的利润最大
【分析】（1）根据利润公式，写成分段函数的解析式；
（2）根据（1）的结果，结合函数的单调性与基本不等式可求函数的最大值.
【详解】（1）由题意，当时，，
当时，，
综上：，
（2）当时，，
当时，，
当时，，
因为，所以，
，
当且仅当即时，等号成立，
综上当时，y取最大值120，
所以当产量为11千件时，该企业在生产销售该款玩具中所获得的利润最大.
18．(1)，
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）结合奇函数的性质可知代入即可求解，
（2）结合函数单调性的定义，结合指数函数的单调性即可判断，
（3）结合（2）的单调性和奇偶性将问题转化为对任意实数恒成立，分离参数，利用对勾函数的单调性求解最值即可求解.
【详解】（1）由于是上的奇函数，
，即，所以，，
又，所以，解得，
经检验符合题意.
（2）在上单调递增，证明如下：
由于，可得，
设
则，
由于，故因此
，
故在上单调递增，
（3）由于为奇函数，故由可得，
又在上单调递增，因此对任意实数恒成立，
故，
由于对勾函数在单调递减，故当取最小值，
因此，故
19．(1)不是，理由见解析；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）根据 的值域以及“2阶自伴函数”的定义，举反例即可证明不是“2阶自伴函数”；
（2）根据 的值域，确定a，b之间的关系，运用基本不等式即可；
（3）根据根据 的值域确定 的值域，再根据二次函数的性质即可确定a的取值范围.
【详解】（1）对于，有 ，如果 ，使得 ，
则必有 ，令 ，则 ，
不是“2阶自伴函数”；
（2）对 ，使得 ，即 ， ，
，当 时成立，即 ，代入 得 ，满足题意，
所以 的最小值为 ；
（3）依题意，对于 ，存在唯一的 ，使得 ， ， ，
二次函数 的对称轴 ，开口向上，
当 时， 在区间 上单调递增， 只要 即可，
即 ，解得： ；
当 时， 在区间 上单调递减， 只要 即可，
即 ，解得： ；
当 时， 在区间单减，在 上单增，最小值是 ，
，即 ，解得 ，
当 时， 在区间单减，在 上单增，最小值是
或者 ，即 ，解得 ；
所以a的取值范围是 .
【点睛】本题首先要理解“m阶自伴函数”或“m阶伴随函数的意义”，然后根据每一小问函数的类型设计出解决问题的思路，
对于第三问，存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当 时，要考虑对称轴在 区间时，二次函数的图像的形状，以此来建立不等式求出a的范围.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
C
D
B
A
B
CD
ACD
题号
11









答案
ACD