辽宁省丹东市五校协作体2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题

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一、选择题
1．A 2．B 3．A 4．D
5．C 6．D 7．B 8．C
二、选择题
9． BCD 10． BD 11．BCD
三、填空题
12. 13． 14. 63
四、解答题
15．解：（1）由及正弦定理得:
故
所以 3分
因为所以
因为所以 5分
（2）由（1）可知，由余弦定理得
又所以由基本不等式得：即
所以，当且仅当时，等号成立. 7分
又即又
9分
所以所以即的周长取值范围是
13 分
16．解：
（1）记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，此时X的所有可能取值为
0，2，3，可得，,
＝1﹣﹣=，则X的分布列为：
故；4分
（2）记ξ为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
此时P（ξ＝0）＝，
P（ξ＝2）=，
P（ξ＝3）=，
所以；7分
记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，
此时，
所以；10分
记为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，
此时，
，
所以,12分
若满足唯独选择方案Ⅰ最好，此时，解得．故p的取值范围为 15分
17．解：
(1)当时，则，
可得, 2分
即切点坐标为，切线的斜率为 , 4分
所以切线方程为 即 5分
(2)由题意可知：的定义域为,且
若则，令，解得可知在内单调递减，在内单调递增； 7分
若，令，解得或
= 1 \* GB3 ①当，即时
令，解得或，可知在内单调递减，在，内单调递增；
= 2 \* GB3 ②当，即时，则可知在内单调递增；
= 3 \* GB3 ③当，即时，令解得或；可知在内单调递减，在，内单调递增； 13分
综上所述：若的单调递减区间为，单调递增区间为；
若，的单调递减区间为，单调递增区间为，；
若，的单调递增区间为，无单调递增区间；
若，的单调递减区间为，单调递增区间为，. 15分
18．(1)证明：⊥底面,且底面,
⊥,
, 且,平面,⊥,
⊥平面,
又平面,⊥,
=,且为的中点，⊥,
又,且,平面,
⊥平面,平面,⊥; 6分
（2）根据题意可知，以点为原点，以过点且平行于B的直线为轴，,所在的直线分别为轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示
,可得，D,则 ,, 8分
因为G在线段PB上，设 其中,
则,因为,
可得所以，所以,可得, 12分
设平面的法向量为则，
令, 可得, 所以
设平面的法向量为则
令, 可得, 所以,设平面与平面的夹角为，可得，
故平面与平面的夹角的余弦值为 17分
19．解：
(1) {}是等差数列,设
令
则{}是等差数列，{}是等比数列，所以数列{}是“优分解”的. 4分
(2)因为数列{}是“优分解”的，设,
其中,
则
当时，;
当时，是首项为，公比为的等比数列. 8分
(3)一方面，数列{}是“优分解”的，设
其中，由(2)知
因为，所以
是首项为2，公比为 (≠1)的等比数列. 12分
另一方面，因为{}是“优分解”的，设,
其中,
是首项为2，公比为 (≠1)的等比数列，
且
化简得
即数列是首项，公比为的等比数列. 15分
又，
又解得,
综上所述， 17分
X
0
2
3
P