2023-2024学年河南省商丘市睢阳区八年级上学期期末数学试题及答案

这是一份2023-2024学年河南省商丘市睢阳区八年级上学期期末数学试题及答案，共25页。
A．B．C．D．
2．（3分）若长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．2B．5C．10D．11
3．（3分）下列运算不正确的是（ ）
A．（﹣2024）0＝1B．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6
C．（﹣a2）•（﹣2a）3＝8a5D．（﹣a）6÷（﹣a3）＝a3
4．（3分）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ）
A．ASAB．SASC．AASD．SSS
5．（3分）根据表格中的信息，y可能为（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，六边形ABCDEF的每个内角相等，若∠1＝58°，则∠2的度数为（ ）
A．58°B．59°C．60°D．61°
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥BC于点E，若△ABC与△CDE的周长分别为13和3，则AB的长为（ ）
A．10B．16C．8D．5
8．（3分）若a2+ab＝16+m，b2+ab＝9﹣m，则a+b的值为（ ）
A．±5B．5C．±4D．4
9．（3分）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm2
10．（3分）如图，已知∠AOB＝120°，点D是∠AOB的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线OA和射线OB上，且∠EDF＝60°．下列结论：①△DEF是等边三角形；②四边形DEOF 的面积是一个定值；③当DE⊥OA时，△DEF的周长最小；④当DE∥OB时，DF也平行于OA．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二.填空题（共5小题）
11．（3分）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，将数0.000000007用科学记数法表示为 ．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝ ．
13．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为52°，则该三角形的底角的度数为 ．
14．（3分）已知关于x的方程的解为非负数，则a的取值范围是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E，点D在运动过程中，若△ADE是等腰三角形，则∠BDA的度数为 ．
三.解答题（共8题，共75分）
16．（12分）（1）计算：（﹣3a）2•a4+（﹣2a2）3；
（2）计算：；
（3）因式分解：a4﹣9a2b2；
（4）因式分解：（x﹣2y）2+8xy．
17．（12分）（1）；
（2）计算（a+2b）2﹣a（a+4b）；
（3）解方程；
（4）解方程．
18．（10分）先化简：（﹣）÷，然后解答下列问题：
（1）当x＝3时，求原代数式的值；
（2）原代数式的值能等于﹣1吗？为什么？
19．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知△AOC的顶点坐标分别是A（﹣2，2）、C（3，3）．
（1）作出△AOC关于x轴对称的△DOE，其中点A的对应点是D，点C的对应点是E，并直接写出D和E的坐标；
（2）利用尺规作图，在y轴确定点P，使 OP＝OA；
（3）求△AOC面积．
20．（8分）已知：如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC．
（1）求证：CD＝CE；
（2）连接DE，交AB于点F，猜想△BEF的形状，并给予证明．
21．（8分）育才文具店第一次用4000元购进某款书包，很快卖完，临近开学，又用3600元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个．
（1）求第一次每个书包的进价是多少元？
（2）若第二次进货后按80元/个的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，文具店决定对剩余的书包按同一标准一次性打折销售，但要求第二批书包的利润不少于960元，问最低可打几折？
22．（9分）利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子：
例1．分解因式：
x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4
＝（x+1）2﹣4
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
例2．求代数式x2﹣4x﹣6的最小值：
2x2﹣4x﹣6＝2（x2﹣2x）﹣6
＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6
＝2[（x﹣1）2﹣1]﹣6
＝2（x﹣1）2﹣8
又∵2（x﹣1）2≥0
∴当x＝1时，代数式2x2﹣4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
（1）分解因式：m2﹣6m﹣7；
（2）代数式﹣2x2﹣8x+5有最 值（大、小），当x＝ 时，最值是 ；
（3）当x、y为何值时，多项式2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值．
23．（10分）在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（m，0），与y轴交于B（0，n），且满足|n﹣6|+（m+n）2＝0．
（1）m＝ ，n＝ ．
（2）D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角三角形BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标．
（3）如图②，点E为y轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段OA上一动点，请直接写出OM+MN的最小值．
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四幅画分别是体育运动长鼓舞，武术，举重、摔跤抽象出来的简笔画，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误；
B、不是轴对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，故正确；
D、不是轴对称图形，故错误．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（3分）若长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．2B．5C．10D．11
【分析】根据三角形三边关系定理得出6﹣4＜a＜6+4，求出2＜a＜10，再逐个判断即可．
【解答】解：∵长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，
∴6﹣4＜a＜6+4，
∴2＜a＜10，
∴只有选项B符合题意，选项A、选项C、选项D都不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，能熟记三角形的三边关系定理是解此题的关键，注意：三角形的任意两边之和都大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
3．（3分）下列运算不正确的是（ ）
A．（﹣2024）0＝1B．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6
C．（﹣a2）•（﹣2a）3＝8a5D．（﹣a）6÷（﹣a3）＝a3
【分析】根据零指数幂、积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的乘法、同底数幂的除法计算判断即可．
【解答】解：A、（﹣2024）0＝1，正确，故此选项不符合题意；
B、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，正确，故此选项不符合题意；
C、（﹣a2）•（﹣2a）3＝﹣a2•（﹣8a3）＝8a5，正确，故此选项不符合题意；
D、（﹣a）6÷（﹣a3）＝a6÷（﹣a3）＝﹣a3，不正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了零指数幂、积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的乘法、同底数幂的除法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
4．（3分）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ）
A．ASAB．SASC．AASD．SSS
【分析】图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
【解答】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出，
所以，依据是ASA．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
5．（3分）根据表格中的信息，y可能为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据x＝﹣1时，分式无意义排除A，B选项；根据当x＝1时，y＝﹣1判断C，D选项即可．
【解答】解：当x＝﹣1时，x﹣1≠0，x+1＝0，故A，B选项不符合题意；
当x＝1时，＝＝﹣1，＝＝2，故C选项符合题意，D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母等于0时，分式无意义是解题的关键．
6．（3分）如图，六边形ABCDEF的每个内角相等，若∠1＝58°，则∠2的度数为（ ）
A．58°B．59°C．60°D．61°
【分析】先根据多边形内角和定理，再联系题目即可得到答案．
【解答】解：∵六边形ABCDEF的每个内角相等，
∴∠B＝∠C＝∠CDE＝120°，
∴∠CDA＝360°﹣58°﹣120°﹣120°＝62°，
∴∠2＝∠CDE﹣∠CDA＝58°，
故选：A．
【点评】本题考查了多边形内角和定理，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥BC于点E，若△ABC与△CDE的周长分别为13和3，则AB的长为（ ）
A．10B．16C．8D．5
【分析】先根据角平分线的性质定理证得AD＝DE，根据△ABC与△CDE的周长分别为13和3证得AB＝BE＝5．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，
∴AD＝DE，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴AB＝BE，
∵△ABC与△CDE的周长分别为13和3，
∴AB+BC+AC＝AB+AC+BE+EC＝13，DE+EC+DC＝AD+EC+DC＝AC+EC＝3，
∴AB+BE＝10，
∴AB＝BE＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握并熟练运用角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．（3分）若a2+ab＝16+m，b2+ab＝9﹣m，则a+b的值为（ ）
A．±5B．5C．±4D．4
【分析】根据a2+ab＝16+m，b2+ab＝9﹣m，可以得到（a+b）2＝25，然后即可得到a+b的值．
【解答】解：∵a2+ab＝16+m，b2+ab＝9﹣m，
∴（a2+ab）+（b2+ab）＝（16+m）+（9﹣m），
∴（a+b）2＝25，
∴a+b＝±5，
故选：A．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式解答．
9．（3分）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm2
【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC＝S△ABC，代入求出即可．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC＝S△ABC＝×9cm2＝4.5cm2，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
10．（3分）如图，已知∠AOB＝120°，点D是∠AOB的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线OA和射线OB上，且∠EDF＝60°．下列结论：①△DEF是等边三角形；②四边形DEOF 的面积是一个定值；③当DE⊥OA时，△DEF的周长最小；④当DE∥OB时，DF也平行于OA．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】过点D作DM⊥OB于点M，DN⊥OA于点N，如图所示：根据角平分线的性质得到DM＝DN，求得∠MDN＝60°，根据全等三角形的判定和性质得到DE＝DF，根据等边三角形的判定定理得到△DEF是等边三角形；故①正确；根据全等三角形 到现在得到△DEM＝S△DFN，求得S△DEM+S四边形DEON＝S四边形DEON+S△DFN，即S四边形DEOF＝S四边形DMON，推出四边形DEOF的面积是一个定值，故②正确；根据垂线段最短，得到DE的值最小，当DE最小时，△DEF的周长最小，于是得到当DE⊥OA时，DE最小，△DEF的周长最小，故③正确，根据平行线的性质得到∠D＝∠DFB＝60°，求得∠DFB≠∠AOB，得到DF一定与OA不平行，故④错误．
【解答】解：过点D作DM⊥OB于点M，DN⊥OA于点N，如图所示：
∵点D是∠AOB的平分线上的一点，
∴DM＝DN，
∵∠AOB＝120°，∠DNO＝∠DMO＝90°，
∴∠MDN＝60°，
∵∠EDF＝60°，
∴∠EDN＝∠FDM，
∴△DEN≌△DFM（ASA），
∴DE＝DF，
∴△DEF是等边三角形；故①正确；
∵S△DEM＝S△DFN，
∴S△DEM+S四边形DEON＝S四边形DEON+S△DFN，
即S四边形DEOF＝S四边形DMON，
∵点D是∠AOB的平分线上的一个定点，
∴四边形DMON的面积是一个定值，
∴四边形DEOF的面积是一个定值，故②正确；
∵DE⊥OA，
∴点E与N重合，
∵垂线段最短，
∴DE的值最小，
当DE最小时，△DEF的周长最小，
∴当DE⊥OA时，DE最小，△DEF的周长最小，故③正确，
∵DE∥OB，∠D＝∠DFB＝60°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠DFB≠∠AOB，
∴DF一定与OA不平行，故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，等边三角形 的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地最小辅助线是解题的关键．
二.填空题（共5小题）
11．（3分）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，将数0.000000007用科学记数法表示为 7×10﹣9 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．
故答案为：7×10﹣9．
【点评】此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝ 70° ．
【分析】根据折叠的性质和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED，
∵∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°，
∴∠CED＝65°，
∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
故答案为：70°．
【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据折叠的性质得出∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED．
13．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为52°，则该三角形的底角的度数为 19°或71° ．
【分析】分两种情况讨论：①若∠A＜90°；②若∠A＞90°；先求出顶角∠BAC，再利用三角形内角和定理即可求出底角的度数．
【解答】解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠ABD＝52°，
∴∠A＝90°﹣52°＝38°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣38°）＝71°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB＝90°﹣52°＝38°，
∴∠BAC＝180°﹣38°＝142°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣142°）＝19°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为19°或71°．
故答案为：19°或71°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义；注意分类讨论方法的运用，避免漏解．
14．（3分）已知关于x的方程的解为非负数，则a的取值范围是 a≥﹣4且a≠﹣1 ．
【分析】先根据解分式方程的一般方法解分式方程，求出x，再根据关于x的方程的解为非负数，每个分式的分母不为0，列出关于a的不等式组，解答即可．
【解答】解：，
，
方程两边同时乘x﹣3得：
x+3a＝4（x﹣3），
x+3a＝4x﹣12，
4x﹣x＝3a+12，
3x＝3a+12，
x＝a+4，
∵关于x的方程的解为非负数，x﹣3≠0，
∴，
由①得：a≥﹣4，
由②得：a≠﹣1
∴a的取值范围是：a≥﹣4且a≠﹣1，
故答案为：a≥﹣4且a≠﹣1．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E，点D在运动过程中，若△ADE是等腰三角形，则∠BDA的度数为 108°或72° ．
【分析】分为三种情况：①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝36°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA＝DE时，求出∠DAE＝∠DEA＝72°，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA＝ED时，求出∠DAC，求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠ADB．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝36°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝36°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣36°）＝72°，
∵∠BAC＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
∴∠BAD＝108°﹣72°＝36°；
∴∠BDA＝180°﹣36°﹣36°＝108°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝36°，
∴∠BAD＝108°﹣36°＝72°，
∴∠BDA＝180°﹣72°﹣36°＝72°；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是108°或72°．
故答案为：108°或72°．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．
三.解答题（共8题，共75分）
16．（12分）（1）计算：（﹣3a）2•a4+（﹣2a2）3；
（2）计算：；
（3）因式分解：a4﹣9a2b2；
（4）因式分解：（x﹣2y）2+8xy．
【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可；
（2）根据负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方法则计算即可；
（3）利用平方差公式分解因式即可；
（4）利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）（﹣3a）2•a4+（﹣2a2）3
＝9a2•a4+（﹣8a6）
＝9a6﹣8a6
＝a6；
（2）
＝
＝；
（3）a4﹣9a2b2＝（a2+3ab）（a2﹣3ab）；
（4）（x﹣2y）2+8xy
＝x2﹣4xy+4y2+8xy
＝x2+4xy+4y2
＝（x+2y）2．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握这些运算法则及公式是解题的关键．
17．（12分）（1）；
（2）计算（a+2b）2﹣a（a+4b）；
（3）解方程；
（4）解方程．
【分析】（1）根据分式加减法的计算方法进行计算即可；
（2）根据完全平方公式、多项式乘多项式的计算方法进行计算即可；
（3）根据分式方程的解法，依次进行去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1以及检验等过程进行计算即可；
（4）根据分式方程的解法，依次进行去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1以及检验等过程进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣
＝﹣
＝；
（2）原式＝a2+4ab+4b2﹣a2﹣4ab
＝4b2；
（3）两边都乘以x﹣3，得
1＝2（x﹣3）﹣x，
去括号，得
1＝2x﹣6﹣x，
移项，得
2x﹣x＝1＝6，
合并同类项，得
x＝7，
经检验，x＝7是原方程的解，
所以原方程的解为x＝7；
（4）两边都乘以（x+2）（x﹣2），得
x（x+2）﹣1＝x2﹣4，
去括号，得
x2+2x﹣1＝x2﹣4，
移项，得
x2+2x﹣x2＝﹣4+1，
合并同类项，得
2x＝﹣3，
两边都除以2，得
x＝﹣，
经检验，x＝﹣是原方程的解，
所以x＝﹣是原方程的解．
【点评】本题考查多项式乘多项式，分式的加减法，解分式方程，掌握完全平方公式的结构特征，多项式乘多项式的计算方法，分式加减法的计算方法以及分式方程的解法是正确解答的关键．
18．（10分）先化简：（﹣）÷，然后解答下列问题：
（1）当x＝3时，求原代数式的值；
（2）原代数式的值能等于﹣1吗？为什么？
【分析】（1）这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意把各分子、分母先因式分解，约分后再做减法运算；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，然后约分化为最简形式，再将x＝3代入计算即可；
（2）如果＝﹣1，求出x＝0，此时除式＝0，原式无意义，从而得出原代数式的值不能等于﹣1．
【解答】解：（1）（﹣）÷
＝[﹣]•
＝（﹣）•
＝•
＝．
当x＝3时，原式＝＝2；
（2）如果＝﹣1，那么x+1＝﹣（x﹣1），
解得：x＝0，
当x＝0时，除式＝0，原式无意义，
故原代数式的值不能等于﹣1．
【点评】本题考查了分式的化简求值．解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．
19．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知△AOC的顶点坐标分别是A（﹣2，2）、C（3，3）．
（1）作出△AOC关于x轴对称的△DOE，其中点A的对应点是D，点C的对应点是E，并直接写出D和E的坐标；
（2）利用尺规作图，在y轴确定点P，使 OP＝OA；
（3）求△AOC面积．
【分析】（1）分别作出A，C的对应点D，E即可；
（2）利用勾股定理求出OA即可解决问题；
（3）运用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图1，△ODE即为所求作，D（﹣2，﹣2），E（3，﹣3）．
（2）∵A（﹣2，2），
∴OA＝＝2，
∵OA＝OP＝2，点P在y轴上，
∴P（0，2）或（0，﹣2）；
（3）S△AOC＝3×5﹣＝6．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（8分）已知：如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC．
（1）求证：CD＝CE；
（2）连接DE，交AB于点F，猜想△BEF的形状，并给予证明．
【分析】（1）连接CE，由平行线的性质，结合条件可证明△ADC≌△BCE，可证明CD＝CE；
（2）由（1）中的全等可得∠CDE＝∠CED，∠ACD＝∠BEC，可证明∠BFE＝∠BEF，可证明△BEF为等腰三角形．
【解答】（1）证明：如图，
∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ADC和△BCE中
∴△ADC≌△BCE（SAS），
∴CD＝CE；
（2）解：△BEF为等腰三角形，证明如下：
由（1）可知CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
由（1）可知△ADC≌△BEC，
∴∠ACD＝∠BEC，
∴∠CDE+∠ACD＝∠CED+∠BEC，
即∠BFE＝∠BED，
∴BE＝BF，
∴△BEF是等腰三角形．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
21．（8分）育才文具店第一次用4000元购进某款书包，很快卖完，临近开学，又用3600元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个．
（1）求第一次每个书包的进价是多少元？
（2）若第二次进货后按80元/个的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，文具店决定对剩余的书包按同一标准一次性打折销售，但要求第二批书包的利润不少于960元，问最低可打几折？
【分析】（1）设第一次每个书包的进价是x元，则第二次每个书包的进价是1.2x元，根据数量关系：第一次购进书包的数量﹣20个＝第二次购进书包的数量，可得分式方程，然后求解即可；
（2）设商店对剩余的书包按同一标准一次性打y折销售时，可使利润不少于960元．先根据（1）中求得的数得到第二次购进书包的数量和价格，再根据数量关系：第一次销售完一半书包获得的利润+第二次打折销售完另一半书包获得的利润≥960元，列出不等式，然后求解即可得出答案．
【解答】解：（1）设第一次每个书包的进价是x元，根据题意得：
﹣20＝，
解得x＝50．
经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合题意，
答：第一次书包的进价是50元．
（2）设可以打y折，则3600÷（50×1.2）＝60（个）．
由80×30+80××30﹣3600≥960，
解得y≥9，
答：最低可打9折．
【点评】本题考查分式方程及一元一次不等式的应用，关键是理解题意，第一问以数量作为等量关系列方程求解，第二问以利润作为不等量关系列不等式求解．
22．（9分）利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子：
例1．分解因式：
x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4
＝（x+1）2﹣4
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
例2．求代数式x2﹣4x﹣6的最小值：
2x2﹣4x﹣6＝2（x2﹣2x）﹣6
＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6
＝2[（x﹣1）2﹣1]﹣6
＝2（x﹣1）2﹣8
又∵2（x﹣1）2≥0
∴当x＝1时，代数式2x2﹣4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
（1）分解因式：m2﹣6m﹣7；
（2）代数式﹣2x2﹣8x+5有最 大 值（大、小），当x＝ ﹣2 时，最值是 13 ；
（3）当x、y为何值时，多项式2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值．
【分析】（1）先运用配方法，再用因式分解可得；
（2）运用配方法，可得代数式﹣2x2﹣8x+5有最大值还是最小值，当x＝何值时，最值等于多少；
（3）同样运用配方法，对x、y分别进行配方，可得当x、y为何值时，多项式2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值，最小值是多少．
【解答】解：（1）m2﹣6m﹣7＝m2﹣6m+9﹣16
＝（m﹣3）2﹣16
＝（m﹣3+4）（m﹣3﹣4）
＝（m+1）（m﹣7）；
（2）﹣2x2﹣8x+5＝﹣2（x2+4x）+5
＝﹣2（x2+4x+4﹣4）+5
＝﹣2[（x+2）2﹣4]+5
＝﹣2（x+2）2+13
∵﹣2（x+2）2≤0，
∴当x＝﹣2时，﹣2（x+2）2有最大值，最大值是13，
故答案为：大，﹣2，13；
（3）2x2+y2﹣8x+6y+20＝2（x2﹣4x）+（y2+6y）+20
＝2（x2﹣4x+4﹣4）+（y2+6y+9﹣9）+20
＝2[（x﹣2）2﹣4]+[（y+3）2﹣9]+20
＝2（x﹣2）2+（y+3）2+3
∵2（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0，
∴当x＝2，y＝﹣3时，2（x﹣2）2+（y+3）2+3有最小值，最小值是3．
【点评】本题考查了因式分解、求最值，关键是掌握配方法．
23．（10分）在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（m，0），与y轴交于B（0，n），且满足|n﹣6|+（m+n）2＝0．
（1）m＝ ﹣6 ，n＝ 6 ．
（2）D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角三角形BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标．
（3）如图②，点E为y轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段OA上一动点，请直接写出OM+MN的最小值．
【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题；
（2）先判断出△DEM≌△BDO得出EM＝DO，MD＝OB＝OA＝6，进而判断出AM＝EM，即可得出∠OAF＝45°，即可得出点F坐标，最后用待定系数法得出直线EA解析式即可求解；
（3）过点O作OG⊥AE于G，交AF于M，作MN⊥OA于N，连接MN，此时OM+MN的值最小．
【解答】解：（1）∵|n﹣6|+（m+n）2＝0，
又∵（m+n）2≥0，|n﹣6|≥0．
∴m+n＝0，n＝6，
∴m＝﹣6，n＝6．
故答案为：﹣6，6；
（2）如图1，过点E作EM⊥x轴于M，
∴∠MDE+∠DEM＝90°，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE＝DB，∠BDE＝90°，
∴∠MDE+∠BDO＝90°，
∴∠DEM＝∠BDO，
在△DEM和△BDO中，
，
∴△DEM≌△BDO（AAS），
∴EM＝DO，MD＝OB＝OA＝6，
∴AM＝DM+AD＝6+AD，
EM＝OD＝OA+AD＝6+AD，
∴EM＝AM，
∴∠MAE＝45°＝∠OAF，
∴OA＝OF，
∴F（0，﹣6）．
设直线EA的解析式为y＝kx+b，
代入点A和点F的坐标得：，
解得，
∴EA的解析式为y＝﹣x﹣6；
（3）如图2中，过点O作OG⊥AE于G，交AF于M，作MN⊥OA于N，连接MN，此时OM+MN的值最小．
∵∠MAG＝∠MAN，MG⊥AG，MN⊥AN，
∴MG＝MN，
∴OM+MN＝OM+MG＝OG，
在Rt△OAG中，∠OAE＝30°，OA＝6，
∴OG＝3，
∴OM+MN的最小值为3．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了非负数的性质，三角形面积公式，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，解本题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
*
无意义
*
﹣1
*
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
*
无意义
*
﹣1
*
…