2022~2023学年山东省青岛市市北区八年级(上)期末数学试卷(解析版)

这是一份2022~2023学年山东省青岛市市北区八年级(上)期末数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在数字，3.33，，，0，，，2.121121112…（相邻两个2之间1的个数逐次多1）中，无理数的个数是（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】无理数有：，，2.121121112…（相邻两个2之间1的个数逐次多1），共3个，
故选：B．
2. 下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 2，3，4B. 5，3，4
C. 4，6，9D. 5，11，13
【答案】B
【解析】A、22+32≠42，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误；
B、32+42=52，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故正确；
C、42+62≠92，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误；
D、52+112≠132，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误．
故选B．
3. 点关于轴的对称点坐标为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由点关于轴的对称点坐标为；
故选D．
4. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A. 30°B. 20°C. 15°D. 14°
【答案】C
【解析】如图，∠2=30°，∠1=∠3﹣∠2=45°﹣30°=15°．
故选：C．
5. 有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（ ）
A. 中位数B. 众数
C. 平均数D. 加权平均数
【答案】A
【解析】由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．
故选：A．
6. 点，是一次函数图像上的两点．若，则与的大小关系是（ ）
A. B.
C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】∵，
∴随的增大而减小，
∵，
∴．
故选：A．
7. 某校有两种类型的学生宿舍30间，大宿舍每间可住8人，小宿舍每间可住5人．该校198个住宿生恰好住满30间宿舍．设大宿舍有x间，小宿舍有y间，得方程组：（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设大宿舍有x间，小宿舍有y间，
由题意可得，，故选：B．
8. 设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系中，则有组a，b的取值，使得下列四个备选答案中有一个是正确的，则这个正确的答案是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、假设y=ax+b正确，则a＜0，b＞0，则函数y=bx+a的图象过一、三、四象限，故本选项错误．
B、假设y=ax+b正确，则a＞0，b＞0，则函数y=bx+a的图象应经过一、二、三象限，故本选项错误；
C、假设y=ax+b正确，则a＜0，b＞0，则函数y=bx+a的图象过一、三、四象限，因为函数y=ax+b与y=bx+a的交点坐标为（1，a+b），由图象可知a≠-b和b＞a，两结论矛盾，故本选项错误；
D、假设y=ax+b正确，则a＞0，b＞0，因为b＞a，所以函数y=bx+a与y轴的交点在y=ax+b与y轴交点的下方，故本选项正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 9的平方根是_________．
【答案】±3
【解析】∵（±3）2=9，∴9平方根是±3．
10. 如图，直线，则的度数是_____．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
11. 如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在直角坐标系中摆成如图图案，已知点，则点A的坐标是__________．
【答案】（-3，9）
【解析】设长方形纸片长为x，宽为y，
依题意，得：，解得：，
∴x-y=3，x+2y=9，
∴点A的坐标为（-3，9）．
12. 已知：如图在，中，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中结论正确的是_________．
【答案】①②③④
【解析】∵，
∴，即．
∵在和中，，
∴．
∴．故结论①正确；
∵，
∴．
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴，
∴，故结论②正确．
∵为等腰直角三角形，
∴．
∴．
∵，
∴，故结论③正确．
∵，
∴在中，利用勾股定理得：．
∵为等腰直角三角形，
∴，即．
∴，
∵，
∴在中，利用勾股定理得：．
∵为等腰直角三角形，
∴，即，
∴，
∴，故结论④正确．
综上所述，正确的结论为①②③④．
13. 如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是____．

【答案】
【解析】∵的图象经过，
∴，解得，
一次函数与的图象相交于点，
方程组的解是．
14. 正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，和点，，，分别在直线和轴上，已知点，，则的坐标是_____．
【答案】
【解析】∵的坐标为，点的坐标为，
∴正方形边长为，正方形边长为，
∴的坐标是，A2的坐标是，
代入得，解得，
则直线解析式是：，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴，
∴点的坐标为，
∵的横坐标是：，的纵坐标是：，
的横坐标是：，的纵坐标是：，
的横坐标是：，的纵坐标是：，
…
∴横坐标是：，的纵坐标是：，
∴．
三、作图题（本大题共1小题，共6.0分）
15. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0，1)，B(2，0)，C(4，4)均在正方形网格的格点上．

（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出顶点A1，B1，C1的坐标；
（2）已知P为y轴上一点，若△ABP与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
解：（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示．

△A1B1C1顶点坐标为：A1（0，－1），B1（2，0），C1（4，－4）.
（2），
设点P的坐标为，
则，
解得或6，
∴点P的坐标为（0，6）或（0，－4）．
四、解答题（本大题共9小题，共72.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 计算题：
（1）；
（2）.
解：（1）
==；
（2）=
==．
17. 解方程组：
（1）；（2）．
解：（1），
得：，
得：，解得，
把代入①得：，解得，
故原方程组的解是：；
（2），
得：，
得：，
解得，
把代入①得：，
解得，
故原方程组的解是：．
18. 某社区从不同住宅楼中随机选取了200名居民，调查社区居民双休日的学习状况，并将得到的数据制成扇形统计图（如图①）和频数分布直方图（如图②）．
（1）在这个调查中，200名居民双休日在家学习的有 人；
（2）在这个调查中，在图书馆等场所学习的居民学习时间的平均数和众数分别是多少？
（3）估计该社区2000名居民双休日学习时间不少于4小时的人数．
解：（1）在家学习的所占的比例是，
因而在家学习的人数是：（人），
故答案为：120；
（2）在图书馆学习的人数占，
在图书馆学习的人数为：（人），
在图书馆学习4小时的有（人），
在图书馆等场所学习的居民学习时间的平均数为：
，
平均数为小时，众数为4小时．
（3）在家学习时间不少于4小时的比例是：，
（人），
估计该社区2000名居民双休日学习时间不少于4小时的人数为1420人．
19. 已知：如图，点D、E、F、G都在的边上，，，

（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
平分，
，
，
，
．
20. 如图，小亮将升旗的绳子拉到杆底端，绳子末刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面．请你求出杆的高度（滑轮上方的高度忽略不计，解题时请在图中标注字母）

解：如图，过点P作于D，
设旗杆高度为x米，
由题意知，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
在中，，
即，
解得：；
答：旗杆高度为．

21. 抗疫期间，社会各界众志成城，某乳品公司向疫区捐献牛奶，若由铁路运输每千克需运费0.58元；若由公路运输每千克需运费0.28元，并且还需其他费用600元．
（1）若该公司运输第一批牛奶共计8000千克，分别由铁路和公路运输，费用共计4340元，请问铁路和公路各运输了多少千克牛奶？
（2）设该公司运输第二批牛奶x（千克），选择铁路运输时，所需费用为（元），选择公路运输时，所需费用（元），请分别写出（元），（元）与x（千克）之间的关系式；
（3）运输第二批牛奶时公司决定只选择一种运输方式，请问随着x（千克）的变化，怎样选择运输方式所需费用较少？
解：（1）设铁路和公路分别运输牛奶x、y千克
由题意可得： ，解得：
答：铁路和公路分别运输牛奶5000千克和3000千克．
（2）由题意可得：y1=0.58x，y2=0.28x+600．
（3）当y1=y2,时，0.58x=0.28x+600，解得x=2000
故当运输2000千克时，两种方式均可
当y1＜y2,时，0.58x＜0.28x+600，解得x＜2000
故当运输少于2000千克时，铁路划算
当y1＞y2,时，0.58x=0.28x+600，解得x＞2000
故当运输超过2000千克时，公路划算．
22. 快车和慢车分别从A市和B市两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，慢车到达A市后停止行驶，快车到达B市后，立即按原路原速度返回A市（调头时间忽略不计），结果与慢车同时到达A市．快、慢两车距B市的路程y1、y2（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数图像如图所示．
（1）A市和B市之间的路程是 km；
（2）求a的值，并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；
（3）快车与慢车迎面相遇以后，再经过多长时间两车相距20 km？

解：（1）由题意得：A市和B市之间的路程是360 km；
（2）根据题意得快车速度是慢车速度的2倍，设慢车速度为x km/h，则快车速度为2x km/h．
根据题意，得 2(x＋2x)＝360，解得x＝60．
2×60＝120，所以a＝120．
点M的横坐标、纵坐标的实际意义是两车出发2小时时，在距B市120km处相遇．
（3）快车速度为120 km/h，到B市后又回到A市的时间为（h）．
慢车速度为60 km/h，到达A市的时间为360÷60＝6（h）．
如图：

当0≤x≤3时，
设AB的解析式为：
由图象得：，；，；代入得：
，解得：
∴AB的解析式为：y＝－120x＋360(0x≤3)．
当3＜x≤6时，
设BC的解析式为：
由图象得：，；，；代入得：
，解得：，
∴函数的解析式为：y1＝120x－360(3＜x≤6) ．
设OC的解析式为：
由图象得：，；代入得：，
解得：，
∴OC的解析式为：y2＝60x(0x≤6)．
当0≤x≤3时，
根据题意，得y2－y＝20，即60x－(－120x＋360)＝20，
解得x＝，．
当3＜x≤6时，
根据题意，得y2－y1＝20，即60x－(120x－360)＝20，
解得x＝，－2＝．
所以，快车与慢车迎面相遇以后，再经过或h两车相距20km．
23. Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为： ；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由.

（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为： .
解：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，
∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，
∵∠C＝90°，∠α＝50°，
∴∠1＋∠2＝140°，
故答案为140；
（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，
∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.
故答案为∠1＋∠2＝90°＋∠α.
（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如图③，
设DP与BE的交点为M，
∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，
∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.
（4）如图④，
设PE与AC的交点为F，
∵∠PFD＝∠EFC，
∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，
∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，
∴∠2＝90°＋∠1－∠α.
故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α.
24. 一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，以为边在第一象限内作等边.
（1）求的面积和点的坐标；
（2）如果在第二象限内有一点，试用含的代数式表示四边形的面积．
（3）在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）与轴、轴交于、两点，
，．
为直角三角形，
．
．
，．
，，
，，
，，；
（2）如图1，
．
在第二象限，
，
.
（3）如图2，
设点，
，．
，，，
为等腰三角形，
①，
，，
，.
②，，，，
或.
③，，，
（舍）或．．
满足条件的坐标为、、、．