2023~2024学年广东省茂名市高州市高二(上)期末教学质量监测数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年广东省茂名市高州市高二(上)期末教学质量监测数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了本卷主要考查内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区战内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工签，笔远清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章~第五章5.2.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数，则函数在处的瞬时变化率为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】由，可得.
故选：A.
2. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】抛物线标准方程为，
其焦点坐标为
故选：C.
3. 已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】由直线平面，得，则，所以.
故选：D
4. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有，
又由双曲线的离心率为，有，
可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为.
故选：B.
5. 已知等差数列的前项和为，则数列的公差是（ ）
A. B. 2C. 3D. 5
【答案】B
【解析】，
则，又，则，
所以数列公差为，
故选：B.
6. 已知直线与圆相交于两点，且,则实数（ ）
A. 或B. C. 或D.
【答案】A
【解析】圆，即的半径为，圆心为，
因为，所以点到直线的距离为，
所以，解得或.
故选：A.
7. 在数列中，，则的前2022项和为（ ）
A. 1771B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，
所以，而，
所以数列是以4为周期周期数列，
所以的前2022项和.故选：C.
8. 如图，已知椭圆的左､右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设椭圆的焦距为，
有，
在中，由余弦定理有，有，
可得，有.
在中，由余弦定理有，
可得.
故选：B.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知两条平行直线，直线，直线，直线之间的距离为，则的值可以是（ ）
A. -8B. -6C. 2D. 4
【答案】BC
【解析】根据题意得直线可化为，
直线之间的距离，
所以，即或.
故选：BC.
10. 已知为等差数列，满足为等比数列，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列的首项为4B.
C. D. 数列的公比为
【答案】BCD
【解析】对于A项，设的公差为，由可得不能确定的值，故A项错误；
对于B项，，故B项正确；
对于C，D两项，设的公比为，由可得：则
于是故C项正确；D项也正确.
故选：BCD.
11. 如图，在直三棱柱中，为上一点，为上一点，，则（ ）

A. 直线和为异面直线
B. 异面直线与的夹角为
C.
D.
【答案】BD
【解析】因为，由已知得，所以在内，，
所以，所以四点共面，故A不正确；
因为，所以为异面直线与所成的角.
因为，所以为等腰直角三角形，故B正确；
因为，所以与相似，因为，
所以.
，故C不正确；
因为，故D正确.
故选：BD
12. 已知抛物线，点是抛物线准线上的一点，过点作抛物线的切线，切点分别为，，直线，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过定点B.
C. D. 的面积最小值为
【答案】ACD
【解析】设，，，因为，所以，，
所以在点处的切线方程为，即，
同理可得，在点处的切线方程为，所以，，
故直线的方程为，直线恒过定点，故A选项正确；
由，得，所以，，
所以，，故B选项错误，C选项正确；
，
点到直线的距离，
所以的面积，所以，故D选项正确．
故选：ACD．
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在各项均为正数的等比数列中，，则__________.
【答案】3
【解析】.故答案为：3
14. 曲线在点处的切线的倾斜角为__________.
【答案】
【解析】由，则，
即切线斜率为1，倾斜角为.
故答案为：.
15. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则__________.
【答案】
【解析】如图，因为，所以，
因可得：，
即：，
代入点，
得：，
又.
故答案为：.
16. 正四面体的棱长为6，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，的面积为__________.
【答案】
【解析】由正四面体的棱长为6，
则其高为，
则其体积为，
设正四面体内切球的半径为，
则，解得，
如图，取的中点为，

则，
显然，当的长度最小时，取得最小值，
设正四面体内切球的球心为，可求得，
则球心到点的距离，
所以内切球上的点到点的最小距离为，
是的中点，三点共线，
，
在中，边上的高为.
.
故答案为：
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
17. 已知数列的前项和为.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
解：（1）且，有，
当时，有，
两式相减得，
当时，由，适合，
所以.
（2）由（1）知，，
所以
.
18. 已知椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）倾斜角为45°的直线l过椭圆的左焦点并交椭圆于M，N两点（O为坐标原点），求的面积．
解：（1）根据题意得，∴椭圆C的标准方程为；
（2）直线l的倾斜角为45°，可得斜率，左焦点为，l的方程为，
直线与椭圆联立，
显然，
设，，
，
O到的距离，
的面积为．
19. 已知点在圆上，直线平分圆.
（1）求圆的标准方程；
（2）求过点且与圆相切直线方程.
解：（1）点在圆上，且直线平分圆，
线段的中垂线过圆心，此中垂线与直线的交点即为圆心，
线段的中点坐标为，斜率，
则线段的中垂线方程为：，即，
由，解得，即圆心坐标为，
圆'C的半径，
所以圆的标准方程为.
（2）过点且与圆相切的直线，
①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切，
②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，
整理为，
有，解得，
可得切线方程为，
整理为，
由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.
20. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面平面.

（1）当时，证明：平面；
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.
解：（1）如图，过点作的平行线，与相交于点，连接，
，
，
四边形是平行四边形，，
又平面平面平面；

（2）如图，取的中点的中点，连，
，
平面平面，平面平面面，
所以平面，，
，
由两两垂直，以为坐标原点，向量方向分别为轴方向建立如图所求的空间直角坐标系，
可得，
设平面的法向量为，由，
有，取，可得，
设平面的法向量为，由，
.
有，取，
可得，所以，
由和平面与平面的夹角的余弦值为，
有，平方后整理为，
解得或（舍去），
故若平面与平面的夹角的余弦值为，可得的值为.
21. 治理垃圾是市改善环境的重要举措.去年市产生的垃圾量为100万吨，通过扩大宣传､环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续6年，每年的垃圾排放量比上一年减少10万吨，从第7年开始，每年的垃圾排放量为上一年的.
（1）写出市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数的表达式；
（2）设为从今年开始年内的年平均垃圾排放量.如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由.
解：（1）设治理年后，市的年垃圾排放量构成数列.
当时，是首项为，公差为-10的等差数列，
所以；
，当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
所以，治理年后，市的年垃圾排放量的表达式为；
（2）设为数列的前项和，则.
由于，
，
由（1）知，时，，所以为递减数列，
时，，所以为递减数列，
且，所以为递减数列，
于是，因此.
所以数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的.
22. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过点作垂直轴的直线交双曲线的渐近线分别于两点，且是面积为的等边三角形.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点在直线上，点在双曲线上，且焦点在以线段为直径的圆上，分别记直线的斜率为，求的值.
解：（1）是面积为的等边三角形，
，
，又，
故双曲线的标准方程为；
（2）设点的坐标为，设点的坐标为，
由点在双曲线上，有，
又由点在以线段为直径的圆上，可得，
由，有，
有，可得，
又由，
有，故的值为.