2024~2025学年山东省烟台南部(五四制)九年级(上)期中数学试卷(解析版)

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1. 函数，的图象如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A. 两函数图象的交点坐标为
B. 直线分别与两函数图象交于，两点，则线段的长为3
C. 当时，
D. 当时，的值随着x值的增大而增大，的值随着x值的增大而减小
【答案】C
【解析】解：A、将点分别代入两个解析式得，，正确，不符合题意；
B、将分别代入两个函数解析式，，，，正确，不符合题意；
C、当时，，原说法错误，符合题意；
D、当时，的值随着值的增大而增大，的值随着值的增大而减小，正确，不符合题意；
故选：C．
2. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点，、都是格点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：连接，
由网格可知：，，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
3. 将一个二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线，则这个二次函数的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵一个二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线，
∴由向右平移个单位，再向上平移个单位得到原二次函数的表达式，
∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是，
故选：．
4. 已知点，，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：把代入得：，
解得：，
∴该反比例函数图象位于二、四象限，再每一象限内，y随x的增大而增大，
∵，
∴点A和点B位于第二象限，第C位于第四象限，
∴，
故选：C．
5. 若二次函数的最小值是非负数，则实数取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：，
∵二次函数的最小值是非负数，
∴．
∴．
故选D．
6. 如图，在中，，，是边上一点（不与端点重合），过点作的垂线，垂足为，交的延长线于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
7. 如图，双曲线与直线相交于，两点，将直线向上平移个单位，所得的直线在第一象限内交双曲线于点，则点的横坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵将直线向上平移个单位，
∴平移后所得直线解析式为，
则联立得，整理得：，
解得：，，
∴点的横坐标是，
故选：．
8. 如图，在中，，点B，C分别在地面和墙面上，且边，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：在，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A
9. 如图，点在反比例函数的图象上，且点的横坐标为．是轴负半轴上一点，且点的纵坐标为．连接并延长至点，使得，且点恰好落在反比例函数（，）的图象上．已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：如图，作轴，作轴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵点的横坐标为，且在反比例函数图象上，
∴点的横坐标为，点的纵坐标为，即
∴，
∴，
∴点的纵坐标为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
故选：．
10. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点．则下列结论：；；；点和在抛物线上，当时，则．其中正确结论的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线交轴于负半轴，
∴，
∵，
∴，
∴，故错误，
∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
∴该抛物线与轴另一个交点为，
∴当时，，故错误；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵该抛物线与轴交于点，
∴，
∴，
∴，故正确，
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，
∴当时，随的增大而减小，
∴当时，则，故正确；
综上可知：正确，共个，
故选：．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11. 已知在中，，，则的值是______________．
【答案】
【解析】解：如图，
设，则，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
12. 已知点，都在反比例函数的图象上．若，则的值为______．
【答案】
【解析】解：点，都在反比例函数的图象上，
，，
，
且，
．
故答案为：．
13. 已知抛物线的顶点在坐标轴上，则________．
【答案】0或2
【解析】解：抛物线化为顶点式为：，
当顶点在x轴上时，，解得，；
当顶点在y轴上时，；
故答案为：0或2．
14. 如图，反比例函数的图象与正方形的边，分别交于点，．若为的中点，则正方形的边长为______．
【答案】
【解析】解：∵四边形是正方形，
∴，，
设，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴正方形的边长为，
故答案为：．
15. 如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值________.
【答案】
【解析】如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∵tanB= ，
∴ ，
∴设AD=5x，则AB=3x，
∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，
∴△CDE∽△BDA，
∴= ，
∴CE= ，DE=，
∴AE=，
∴tan∠CAD== ，
故答案为．
16. 已知函数，当时的取值范围是______．
【答案】
【解析】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
当时，
当时，y的最小值为，
当时，y的值为，
当时，y的值为，
∴y的取值范围是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，满分69分）
17. 如图，点P是反比例函数的图象上的一点，过点P作轴于点A，连接，的面积为6．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若，点B是反比例函数上的点，当时，直接写出点B的坐标．
解：（1）设点P的坐标为，
则，，
的面积为6，
，
解得，
反比例函数的解析式为；
（2）设点B的坐标为，
，，
，
解得，
，
点B的坐标为．
18. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．
（参考数据：）．
（1）求点P到地面的高度；
（2）当挖掘机挖到地面上的点Q时，，求．
解：（1）过点作于H，延长交于，
则四边形为矩形，
∴，，
则，
∴点到地面的高度：，
即点到地面的高度为；
（2）由（1）可知，四边形为矩形，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴．
19. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式，并写成一般式．
（1）抛物线经过，，三点；
（2）抛物线经过，和原点；
（3）二次函数的图象经过点，且当时，函数的最小值为．
解：（1）设二次函数表达式为，
∵抛物线经过，0,3，三点，
∴，解得：，
∴二次函数表达式为；
（2）∵抛物线经过，和原点，
∴设二次函数表达式为，
∴，解得：，
∴二次函数表达式为；
（3）由题意得二次函数的顶点坐标为，
∴设二次函数表达式为，
∵二次函数的图象经过点，
∴，解得：，
∴二次函数表达式为．
20. 如图，在直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、．若的面积为．
（1）写出这个反比例函数的表达式；
（2）求的面积．
解：（1）∵的面积为，即，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵四边形是矩形，
∴，，
∵反比例函数的表达式为，，
∴点的纵坐标是，
∴，解得：，
∴，
同理当时，，
∴，
∴，，，，
∴
．
21. 如图为某景区平面示意图，为景区大门，，，分别为三个风景点．经测量，，，在同一直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．
（1）求，两地的距离；
（2）大门在风景点的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，翻修费用为每米元，此次翻修工程的总费用约为多少元？（参考数据：）
解：（1）过点作于点，
由题意知，，
∴ ，，
∴，，
在中，米，
∴（米），
∴（米），
答：两地的距离约为米；
（2）过点作于点，
由（）得米，
∵，，
∴
∴，
∴，
在中，，，
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
总费用约为（元），
答：此次翻修工程的总费用约为元．
22. 如图，在中，，轴于点，反比例函数的图象经过点，交于点．已知，．
（1）若，求的值；
（2）若，求点的坐标．
解：（1）如图，作，垂足为，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴点的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点，
∴；
（2）设点的坐标为，
∵，，
∴，
由（）得：，，
∴，两点的坐标分别为：，，
∵点，都在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
23. 已知抛物线的图象经过点和．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求这条抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围．
解：（1）抛物线的图象经过点，，
，且，
．
这条抛物线的表达式为；
（2），
∴这条抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为1,4；
（3）的对称轴为直线，
分以下两种情况：
①当时，
又∵，
∴当时，随增大而增大，
当时，取最大值为；
当时，取最小值为．
又∵，
．
．
解得．
②当时，
当时，取最大值为；
当到对称轴的距离大于到对称轴的距离时，即，此时，
当时，取最小值为，此时，符合题意．
当到对称轴的距离小于到对称轴的距离时，即，即，
当时，取最小值为．
又∵，
．
．
或，不合题意．
综上，若，则．
24. 小明在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡比为（点、、在同一条直线上）．
（1）求小明从点到点的过程中上升的高度；
（2）大树的高度大约是多少米？（参考数据：，结果精确到米）
解：（1）如图，过点作于点，则，
由题意知米，
∵斜面的坡比为，
∴，
设米，则米，
∵，
∴，
∴，
∴（米），
∴小明从点到点的过程中上升的高度为米；
（2）过点作于点，设米，
由（）得：（米），
∴（米），
∵，
∴四边形为矩形，
∴米，（米），
∵，
∴（米），
∴米，
∵，
在中，，
∴，
∴，
经检验：是原方程的解，
∴（米），
答：大树的高度是米．