湖北省荆州市公安县第三中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

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1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据补集和交集的概念求出答案.
【详解】因为集合，，
所以，则.
故选：D.
2. 图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数在第一象限中图象的性质得到，即可得答案.
【详解】由幂函数在第一象限，在部分图象由下向上，逐渐增大，
且时在第一象限递增，且递增速度以为界点，时在第一象限递减，
所以，故A满足.
故选：A
3. 已知集合，，若是成立的充分条件，则实数的取值范围是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知，，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为集合，，
若是成立的充分条件，则，
所以，，解得.
故选：C
4. 已知a、b、c、d均为实数， 则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若且， 则
【答案】D
【解析】
【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可．
【详解】选项A，当，时，满足，但，A选项错误；
选项B，取，，，，满足且，但，B选项错误；
选项C，当时，有，，，
则，有，C选项错误；
选项D，且，则，，
则，得，D选项正确．
故选：D．
5. 函数为定义在上的偶函数，且对任意都有，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数为定义在上的偶函数可得，然后利用的单调性可得答案.
【详解】因为函数为定义在上的偶函数，
所以
因为对任意都有，即有在上单调递减
所以
故选：B
6. 已知定义域为的奇函数，则的值为（ ）
A. 0B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数定义域关于原点对称求出a的值，再利用求出b的值，进而求得的值．
【详解】是上的奇函数，
定义域关于原点对称，即，
所以，a=2，此时定义域为，
又，则，故，
则
故选：A
7. 已知函数是上的增函数，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用分段函数的单调性可得答案.
【详解】因为是R上的增函数，
则，解得.
所以实数的取值范围为.
故选：D.
8. 已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先证明，然后结合的定义域解不等式即可得到答案.
【详解】在中取得，结合归纳可知.
所以对任意正有理数有，故.
而是增函数，故对任意正实数都有.
这表明原不等式等价于，即.
解得或，所以原不等式的解集为，选项A正确.
故选：A.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 集合，，对应关系：，则：是到的函数
B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 函数的值域为
D. 已知函数满足，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，求出，利用函数定义作出判断；B选项，根据抽象函数定义域法则得到，解得，得到定义域；C选项，令，得到，得到函数值域；D选项，把换成得，，根题目条件联立得到答案.
【详解】A选项，时，，
结合函数定义，：是到的函数，A正确；
B选项，令，解得，故函数的定义域为，B正确；
C选项，令，则，
所以，此时函数在上单调递增，故，
故函数值域为，C错误；
D选项，①，把换成得，②，
得，故，D正确.
故选：ABD
10. 下列与函数有关的命题中，正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若幂函数的图象经过点，则
C. 若奇函数在上有最小值4，则在上有最大值-4
D. 若偶函数在是减函数，则在是增函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用换元法和待定系数法求出函数解析式，分别计算可判断A，B；根据奇偶函数的图象对称性特征可判断C,D.
【详解】对于A，令得，故，故A错误；
对于B，设幂函数，由得，
故，于是，故B正确；
对于C，因奇函数的图象关于原点对称，故C正确；
对于D，因偶函数在对称区间上的单调性相反，故D正确．
故选：BCD.
11. 已知函数对任意实数x，y都满足，且，，则（ ）
A. B. 是奇函数C. 是偶函数D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】令，结合条件可得选项A正确；由得选项B错误；令，可得，选项C正确；令可得，令可判断选项D正确.
【详解】A.令得，，即，解得，选项A正确.
B. ∵，
∴不是奇函数，选项B错误.
C.令，得，
∴，即，
∴是偶函数，选项C正确.
D.令，得，
∴.
令，得，
在中，令，得，选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.14题第一空2分，第二空3分）
12. 函数的定义域为___________.
【答案】且
【解析】
【分析】由定义域的概念列出不等式求解即可.
【详解】由题意可得：，
解得：且，
所以定义域为：且，
故答案为：且
13. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得“，”是真命题，分、两种情况讨论，分别计算可得.
【详解】命题“，”是假命题，
则它的否定命题“，”是真命题，
当时，不等式为，显然成立；
当时，应满足，解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
（1）请写出一个图象关于点成中心对称的函数解析式______；
（2）利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点对称，则______．
【答案】 ①. （答案不唯一） ②.
【解析】
【分析】（1）由定义知，将奇函数向左平移2个单位即可得到的解析式；
（2）根据定义，得出恒成立，即可解出.
【详解】（1）由定义知，因为关于点成中心对称，则有为奇函数.则函数可以看作由向左平移两个单位得到.
可令，则；
（2）函数的图象关于点对称，根据定义可得，
函数应为奇函数，
，
有奇函数定义知，，
则有，恒成立，
所以， 解得
所以，.
故答案为：（答案不唯一）；-4.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 化简求值：
（1）
（2）
（3）已知，求的值;
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则，即可得到答案；
（2）根据幂的运算法则，即可得到答案；
（3）由完全平方和公式，即可得到答案.
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式；
【小问3详解】
因为，所以.
16. 已知关于的不等式的解集为或.
（1）求a，b的值；
（2）当且满足时，有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先由不等式解的结构特征可得且和是方程的两个根即可由根与系数的关系求解.
（2）先由（1）结合基本不等式“1”的妙用方法求出，再由恒成立得不等式，解该不等式即可得解.
小问1详解】
由题可知，且和是方程的两个根，
所以，此时原不等式为即，
该不等式解集或，符合，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，
所以，
当且仅当即时等号成立，所以有最小值为8.
因为恒成立，所以即，
解方程得或，
所以不等式的解集为.
所以满足题意的实数的取值范围为.
17. 已知幂函数在单调增，.
（1）求函数的解析式；
（2）如果函数在区间上是增函数，求的取值范围；
（3）求关于的不等式解集(其中).
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）依题意可得，解得即可；
（2）由（1）知，再结合二次函数的性质计算可得；
（3）因式分解可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【小问1详解】
由题意可得，或，
又因为在单调增，，，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，函数在区间上是增函数，
，，即的取值范围为.
【小问3详解】
不等式转化为，则.
当时，解得或，即不等式的解集为或，
当时，解得或，即不等式的解集为或，
当时，解得，即不等式的解集为.
综上可得当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为.
18. 已知函数是定义在上的奇函数且.
（1）求的表达式；
（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
（3）解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）答案及解析 （3）
【解析】
【分析】（1）对于奇函数，有，再结合，可以求出函数中的参数和，从而得到函数表达式.（2）要判断函数单调性，可通过设出区间内的两个自变量，，然后作差，根据差的正负来判断单调性.（3）根据函数的奇偶性和单调性来解不等式即可.
【小问1详解】
因为是奇函数，定义域为，所以，
即，所以.又因为，，
把代入得，解得.
所以，经验证此时为奇函数.
【小问2详解】
在上单调递减.理由如下：
设.
因为，所以，，，，.
所以，即，所以在上单调递减.
【小问3详解】
解关于的不等式，因为是奇函数，
所以可化为.
又因为在上单调递减，所以，
解得.解得.
解得.
综上，取交集得.
19. 设，其中，记．
（1）若，求的值域；
（2）若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）作出函数的图象，即可根据图象求解，
（2）求解在上的值域，进而根据与的子集关系，求解的范围即可，
（3）作出的图象，对分类讨论，求解的最值，即可根据分类讨论得解.
【小问1详解】
当时，在直角坐标系中，分别作出的图象（左图），进而可得的图象（右图），
令，解得，故
由图可知：的值域为
【小问2详解】
函数，
由于，，所以，故，
当时，，
在单调递减，在单调递增，
且，故取最大值，在取最小值
故，
当时，，在单调递增，
若对任意，总存在，使得成立，则在上的值域为的子集即可，故是的子集，
故，解得，或者，解得
综上，所求的范围为.
【小问3详解】
令，解得或，
故的图象如下：
，即
当时，此时在单调递减，故只需要即可，即，解得，不符合题意，舍去，
当时，，此时在上的最大值为，最小为
只需要，，解得，
当时，，此时在上的最大值为，
只需要，且且，无解，
综上可得：
【点睛】方法点睛：函数求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数图象，然后数形结合求解．