专题06 平面向量和复数（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（全国通用）.zip

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1、理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；
2、理解平面向量的几何表示和基本要素；
3、掌握平面向量加、减运算规则，理解其几何意义；
4、了解平面向量的线性运算性质及其几何意义；
5、理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积；
6、了解平面向量投影的概念和意义；
7、会用数量积判断两个向量的垂直关系；
8、理解平面向量基本定理及其意义；
9、掌握平面向量的正交分解及坐标表示；
10、会用坐标表示平面向量加、减运算，数乘运算；
11、能用坐标表示平面向量的数量积，并求两个向量的夹角；
12、能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件；
13、掌握余弦定理、正弦定理，并能解决简单的实际问题；
14、理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义；
15、掌握复数代数表示的四则运算，了解复数加法、减法运算的几何意义。
基础知识梳理
1、向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)
向量表示方法：向量或；模或.
（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.
（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示.
特别的：非零向量的单位向量是.
（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；
特别的：与任一向量平行或共线.
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.
2、向量的线性运算
（1）向量的加法
①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.
②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
（2）向量的减法
①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.
②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）
已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示
如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
（3）向量的数乘
向量数乘的定义:
一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：
①
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.
3、共线向量定理
①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.
②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
4、向量的夹角
已知两个非零向量和，如图所示，作，，则
()叫做向量与的夹角，记作．
(2)范围：夹角的范围是．
当时，两向量，共线且同向；
当时，两向量，相互垂直，记作；
当时，两向量，共线但反向．
5、数量积的定义：
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：.
6、平面向量的基本定理
（1）定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.
（2）基底：
不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即不能作为基底；
（2）基底一旦确定，分解方式唯一；
（3）用基底两种表示，即，则，进而求参数.
7、平面向量的坐标运算
（1）向量加减：若，则；
（2）数乘向量：若，则；
（3）任一向量：设，则.
8、平面向量共线的坐标表示
若，则的充要条件为
9、平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知向量，为向量和的夹角：
（1）数量积
（2）模：
（3）夹角：
（4）非零向量的充要条件：
10、正弦定理
（1）正弦定理的描述
①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有
（2）正弦定理的推广及常用变形公式
在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则
①
②；；；
③
④
⑤，，（可实现边到角的转化）
⑥，，（可实现角到边的转化）
11、余弦定理
（1）余弦定理的描述
①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：
；
（2）余弦定理的推论
；
；
12、三角形常用面积公式
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).
13、复数的概念
我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部.
14、复数相等
在复数集中任取两个数，，（），我们规定.
15、复数的分类
对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:
16、复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
17、复数的模
向量的模叫做复数)的模，记为或
公式：，其中
复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；
特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值).
18、共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则.
19、复数的四则运算
（1）复数的加法法则
设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：
（2）复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作
（3）复数的乘法法则
我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为
，
即
（4）复数的除法法则
（）
点精讲讲练
考点一：平面向量的概念
【典型例题】
例题1．（2023广西）如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】平行向量（共线向量）
【分析】根据平行向量的定义判断即可.
【详解】方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量.
由图可知，与方向相反，因此是平行向量.
故选：C.
例题2．（2023黑龙江）下列量中是向量的为（ ）
A．频率B．拉力C．体积D．距离
【答案】B
【知识点】平面向量的概念与表示
【分析】根据向量与数量的意义直接判断即可.
【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.
故选：B
例题3．（2023北京）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】相等向量
【分析】根据相等向量的定义即可得答案.
【详解】解：因为相等向量是指长度相等且方向相同的向量,O为正六边形ABCDEF的中心，
所以与模相等求且方向相同，所以是相等向量，故A正确；
与只是模相等的向量，故B错误；
与只是模相等的向量，故C错误；
与只是模相等的向量，故D错误.
故选：A.
【即时演练】
1．判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量）、判断命题的真假
【分析】根据零向量的定义及共线向量的定义判断即可得.
【详解】对①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线，
故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题；
对②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题；
对③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题；
对④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题.
故选：B.
2．如图，在圆中，向量，，是（ ）

A．有相同起点的向量B．相反向量
C．模相等的向量D．相等向量
【答案】C
【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、平面向量的概念与表示、向量的模
【分析】根据向量的几何表示，可判断出选项A和C的正误，再利用相反向量及相等向量的概念，结合图形，即可判断选项B和D的正误.
【详解】对于选项A，因为向量，的起点为，而向量的起点为，所以选项A错误，
对于选项B，因为相反向量是方向相反，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项B错误，
对于选项C，向量，，的模长均为圆的半径，所以选项C正确，
对于选项D，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项D错误，

故选：C.
3．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．零向量是没有方向的向量B．零向量的长度为0
C．相等向量的方向相同D．同向的两个向量可以比较大小
【答案】BC
【知识点】零向量与单位向量、相等向量
【分析】利用零向量的定义及相等向量的定义，可判断出选项A、B和C的正误，再由向量的定义知选项D错误.
【详解】对于选项A，因为零向量的方向是任意的，所以选项A错误，
对于选项B，因为零向量是方向任意，长度为0的向量，所以选项B正确，
对于选项C，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，所以选项C正确，
对于选项D，向量不能比较大小，向量的模长可以比较大小，所以选项D错误，
故选：BC.
考点二：平面向量的运算
【典型例题】
例题1．（2022河北）已知向量，满足，，，则（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】A
【知识点】已知数量积求模、已知模求数量积
【分析】将分别进行平方，借助的值联系起它们的关系，从而求解.
【详解】由题知，，
则，
，
则.
故选：A
例题2．（2024湖北）如图，平行四边形中，是边上的一点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则
【分析】根据向量线性运算化简求解即可.
【详解】，故A错误；，故B正确；
，故C错误；，故D错误.
故选：B
例题3．（2024安徽）已知向量与的夹角为，则向量与上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】求投影向量、用定义求向量的数量积
【分析】应用投影向量公式结合数量积公式计算即可.
【详解】向量与上的投影向量为
.
故选：B.
例题4．（2024北京）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ； .

【答案】 2
【知识点】向量的模、用定义求向量的数量积
【分析】向量的模长即向量起点至终点的距离，由图可知结果；向量的数量积等于向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影，由图可知结果.
【详解】由图可知，
，其中为在上的投影，
由图可知投影长度为1，且方向与相反，
故.
故答案为：2；.
【即时演练】
1．已知向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算
【分析】掌握平面向量的数量积.
【详解】,
,
,
又,
,即,
,
,
.
故选：A.
2． （ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】平面向量的混合运算、空间向量加减运算的几何表示
【分析】根据向量的加减法即可得到答案.
【详解】.
故选：C.
3．在中，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】向量加法的法则
【分析】根据给定条件，利用向量加法的平行四边形法则求解即得.
【详解】在中，，则.
故选：C
4．已知平面向量，满足且向量，的夹角为 则 在方向上的投影数量为 .
【答案】
【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律
【分析】利用数量积来计算投影数量即可.
【详解】因为且向量，的夹角为
所以，
则在方向上的投影数量为：，
故答案为：.
考点三：平面向量基本定理
【典型例题】
例题1．（2020河北）在中，点是边上一点，若，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数
【分析】利用向量共线定理设，，通过线性运算得，结合题目条件得到方程组，解出即可.
【详解】作出如图所示图形：
三点共线，故可设，，
则，
，，解得.
故选：D.
例题2．（2023湖北）如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，且，则实数（ ）

A．B．2C．D．3
【答案】B
【知识点】平面向量基本定理的应用、向量的线性运算的几何应用、向量加法法则的几何应用
【分析】先将分别用表示，再结合题意即可得解.
【详解】，
，
所以，
又因为，
所以.
故选：B.
例题3．（2022浙江）在中，设，，，其中.若和的重心重合，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【知识点】平面向量基本定理的应用
【分析】设为和的重心，连接延长交与，连接延长交与，分别在、中用向量、表示向量，再根据向量相等可得答案.
【详解】设为和的重心，连接延长交与，连接延长交与，
所以是的中点，是的中点，
所以，
，
，
可得，解得.
故选：D.
例题4．（2022安徽）在中，点D在边BC上，且，若，则 .
【答案】2
【知识点】利用平面向量基本定理求参数
【分析】根据题意，结合向量的加减法用、表示出，求出与即可.
【详解】由，得，
则在中，，
因，故 ，因此.
故答案为：2.
【即时演练】
1．在平行四边形ABCD中，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】用基底表示向量
【分析】由平面向量的基本定理求解即可.
【详解】

如图：.
故选：C
2．已知在中，M是线段BC上异于端点的任意一点．若向量，则的最小值为（ ）
A．6B．12C．18D．24
【答案】C
【知识点】条件等式求最值、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据三点共线的结论可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可得答案.
【详解】由题意M是线段BC上异于端点的任意一点，向量可得，
且，，所以，
当且仅当，结合，即，时，等号成立，
故的最小值为18．
故选：C
3．在中，点是边上一点，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．7
【答案】B
【知识点】平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求得，x>0，.，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】在中，点是边上一点，，则，x>0，.
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
4．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点、，若，，则 .

【答案】43/113
【知识点】用基底表示向量、平面向量共线定理的推论
【分析】根据给定条件，利用中点向量公式，结合共线向量定理的推论列式计算即得.
【详解】在中，点是的中点，则，
又，，则，
而点共线，因此，所以.
故答案为：
考点四：平面向量坐标运算
【典型例题】
例题1．（2024福建）已知，若，则的值为（ ）
A．−2B．C．D．
【答案】D
【知识点】利用向量垂直求参数
【分析】根据向量垂直的坐标表示，列式求解，即得答案.
【详解】由题意知，，
故，
所以，
故选：D
例题2．（2024湖北）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示
【分析】运用向量的坐标运算计算即可.
【详解】已知向量，则.
故选：D.
例题3．（多选）（2024湖北）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【知识点】由坐标判断向量是否共线、垂直关系的向量表示、坐标计算向量的模
【分析】根据向量的坐标可判断A；计算向量的模判断B；根据向量垂直以及平行的坐标表示可判断CD.
【详解】由于，则，A错误；
由于，B正确，
因为，故，C正确；
因为，故不平行，D错误；
故选：BC
例题4．（2024新疆）已知向量.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数、向量垂直的坐标表示
【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示和相等向量的定义得到关于的方程组，解之即可得解；
（2）用向量线性运算的坐标表示求得与，再利用向量垂直的坐标表示即可得解.
【详解】（1）因为，，
所以，
所以，解得，
所以
（2）因为，则，
又，，
所以，解得，
故实数k的值为.
【即时演练】
1．已知向量，，，若与平行，则实数的值为（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】C
【知识点】由向量共线（平行）求参数
【分析】由平面向量共线的坐标表示求解即可.
【详解】因为，，，所以，
由与平行，得，解得.
故选：C.
2．已知向量，．若，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数
【分析】先求出的坐标，再由根据向量平行的坐标性质后可求出的值.
【详解】∵，，∴，
由得，解得，解得.
故答案为：.
3．已知向量，．若，则 ．
【答案】
【知识点】向量垂直的坐标表示
【分析】利用非零向量垂直时数量积为0，计算即可.
【详解】．因为，所以，解得．
故答案为：.
4．已知向量．
(1)求向量的坐标；
(2)求+向量的模．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模
【分析】（1）根据向量的坐标运算求得正确答案.
（2）先求得，然后求得的模.
【详解】（1）依题意，向量，
，
.
（2）由于，
所以.
考点五：平面向量数量积
【典型例题】
例题1．（2022河北）已知向量，则（ ）
A．2B．C．10D．
【答案】A
【知识点】数量积的坐标表示
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示计算即可求解.
【详解】由题意知，.
故选：A.
例题2．（2024浙江）已知的边长均为1，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】数量积的坐标表示
【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，利用坐标法计算数量积，结合的取值范围，即可得解.
【详解】如图以为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，，，
设，则，
所以，，
所以.
故选：B
例题3．（2024湖南）如图，已知点A−2,0，，点C是y轴上的动点，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【知识点】数量积的坐标表示
【分析】根据数量积的坐标表示求解即可.
【详解】设，
则，
所以.
故选：D
例题4．（2020山东）若向量满足与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【知识点】用定义求向量的数量积、向量模的坐标表示
【分析】求出，再根据数量积定义运算.
【详解】，，
.
故选：A.
例题5．（2024天津）已知向量，，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)．
【知识点】由向量共线（平行）求参数、已知向量垂直求参数、数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示
【分析】（1）依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；
（2）首先求出的坐标，根据向量共线的坐标表示求出，即可求出，再计算其模.
【详解】（1）因为，，
由，可得，解得．
（2）依题意，
若，则有，解得，
所以，．
【即时演练】
1．已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】D
【知识点】已知数量积求模、坐标计算向量的模
【分析】把平方转化为数量积运算，结合二次函数知识得最小值．
【详解】设，又，
所以，
所以当时，，
故选：D．
2．已知向量，且，则（ ）
A．1B．2C．D．0
【答案】C
【知识点】数量积的坐标表示、向量模的坐标表示
【分析】先利用向量模的坐标运算求得，进而利用数量积的坐标形式求得.
【详解】，则，
由于，所以，
所以，所以.
故选：C
3．已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为 ．
【答案】
【知识点】求投影向量
【分析】根据向量坐标求，利用投影向量公式求解即可.
【详解】∵,
∴,
∴，
.
所以向量在向量上的投影向量为：.
故答案为：.
4．已知，，，若，则实数 ．
【答案】
【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示
【分析】由向量坐标的运算求出向量的坐标，再根据，利用向量夹角余弦公式列方程，求出实数的值．
【详解】由，，则，
又，则，
则，即，
，解得，
故答案为：
5．已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】数量积的坐标表示、辅助角公式
【分析】建立平面直角坐标系，设的坐标，由平面向量数量积的坐标和三角函数的有界性计算即可求得．
【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
因为等边的边长为6，
所以的内切圆圆心在上，半径，
则，，，，，
所以，，
所以，
所以当时，取得最小值．
故答案为：．
考点六：余弦定理
【典型例题】
例题1．（2024北京）在中，，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【知识点】余弦定理解三角形
【分析】由余弦定理即可求解.
【详解】由，
所以.
故选：A
例题2．（2024云南）在中，内角的对边分别是.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】余弦定理解三角形
【分析】利用余弦定理进行求解.
【详解】由余弦定理得.
故选：A
例题3．（2023吉林）在中，分别为三个内角所对的边，且，，，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】利用余弦定理可得方程，可解出，再利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】由余弦定理可得，
因为且，，
所以，解得，
因此的面积为
故答案为：.
例题4．（2024安徽）已知.
(1)求的最小正周期及单调增区间；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△ABC的外接圆半径为2，求△ABC面积的最大值.
【答案】(1)，
(2)
【知识点】余弦定理解三角形、求sinx型三角函数的单调性、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用
【分析】（1）由正弦函数的最小正周期公式可求出的最小正周期，令，，解不等式即可得出答案.
（2）由可求出，由正弦定理求出，再由余弦定理、三角形的面积公式和基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）的最小正周期为，
由，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为（）.
（2）由，得，
∵，∴，
∴＝，解得.
又△ABC的外接圆半径为2，则，
由余弦定理，得，即，
即，，
当且仅当，等号成立，
所以△ABC面积，
故△ABC面积的最大值为.
例题5．（2024福建）已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）由余弦定理化角为边，化简即可得证；
（2）由余弦定理可求得，可求的面积.
【详解】（1）因为，所以，
化简得，即，所以是等腰三角形.
（2）由余弦定理可得，得，
解得，由，所以，
所以的面积为.
【即时演练】
1．在△ABC中，若，，，则边上的高为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】先利用余弦定理求得的长，再利用三角形等面积法即可求得边上的高.
【详解】由余弦定理，得，
设边上的高为，则，解得.
故选：C.
2．在中，角的对边分别为.已知，则（ ）
A．1B．2C．1或2D．或
【答案】C
【知识点】余弦定理解三角形
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由余弦定理可得,即，
解得或，
故选：C
3．在中，，，，则边（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】余弦定理解三角形
【分析】根据余弦定理可求的值.
【详解】由余弦定理可得，故
故选：C.
4．已知的三个角的对边分别为，
(1)已知，求边上中线长.
(2)请用表示边的中线长，并写出推导过程.
【答案】(1)
(2)，过程见解析
【知识点】余弦定理解三角形
【分析】（1）设边上的中线记为，根据余弦定理得和
，解得.
（2）利用余弦定理求出边上的中线即可．
【详解】（1）设边上的中线记为，根据余弦定理得,
所以，
所以.
（2）边的中线长为,
证明：设边 BC 上的中线记为 ma ，
根据余弦定理得，
所以
，
所以.
5．锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形
【分析】（1）根据三角恒等变换即可求解，
（2）根据余弦定理，结合面积公式即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以.
由为锐角三角形，得.
（2）由（1）及余弦定理知.
因为，，所以，
所以的面积.
考点七：正弦定理
【典型例题】
例题1．（2022河北）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理解三角形
【分析】根据正弦定理可求，从而可求.
【详解】由正弦定理可得，故，
因为，故，故为锐角，故，
故选：A.
例题2．（2021新疆）在中，已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】正弦定理解三角形
【分析】利用正弦定理代值计算即得.
【详解】由正弦定理，可得，
故选：D.
例题3．（2024江苏）在中，且均为整数，D为AC中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【知识点】求正切型三角函数的单调性、用和、差角的正切公式化简、求值、正弦定理解三角形、数量积的运算律
【分析】根据给定条件，确定角的大小，再利用和角的正切及整数条件求出，然后利用同角公式、正弦定理及向量数量积的运算律求解即得.
【详解】在中，由，得，即，
则，由为整数，得，，
，整理得，
而，且均为整数，则，
由，解得，
由，解得，
由正弦定理得，则，
由D为AC中点，得，则
，
所以.
故选：D
【点睛】关键点点睛：解决本问题的关键是求出的值，再转化为解三角形问题.
例题4．（2024云南）在中，内角的对边分别是，若，则（ ）
A．6B．4C．3D．2
【答案】D
【知识点】正弦定理解三角形
【分析】由正弦定理求解即可．
【详解】由正弦定理得，，
得，得，
故选：D
【即时演练】
1．在中，已知，，，则角的值为（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】B
【知识点】正弦定理解三角形
【分析】利用正弦定理得到值，再根据得到，即可求解．
【详解】，，，
又，且，
，则角的值为．
故选：B.
2．中，，，，则 ．
【答案】
【知识点】正弦定理解三角形
【分析】由三角形三个角的和为得出的值，利用正弦定理解出边.
【详解】，
∵，
∴，
∴
故答案为：
3．在中内角所对的边分别为，且，，，则 ．
【答案】或
【知识点】正弦定理解三角形
【分析】根据已知条件和正弦定理可得角，从而得到的值．
【详解】在中由正弦定理可知，所以，
解得，因为为的内角，
所以或，
所以或，
故答案为：或．
4．在中，角的对边分别为，已知．
(1)求角C的大小；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用余弦定理计算即可；
（2）利用正弦定理结合（1）的结论计算即可.
【详解】（1），
，
．
（2），
，
，
．
考点八：余弦定理、正弦定理综合应用
【典型例题】
例题1．（2024安徽）在中，下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．若≥，则
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式五、六、正弦定理边角互化的应用
【分析】AB选项，可举出反例；C选项，利用诱导公式推出；D选项，由正弦定理和大边对大角得到D正确.
【详解】A选项，当时，，故，A错误；
B选项，时，无意义，B错误；
C选项，，C错误；
D选项，由正弦定理得，
因为，所以，
由大边对大角得，D正确.
故选：D
例题2．（2024湖北）的内角的对边分别为，面积为.已知，再从①②两个条件中选取一个作为已知条件，求的周长.
①；②.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】若选择①，根据面积公式求，再根据余弦定理求，即可求解周长；
若选项②，根据面积公式求角以及角，再结合，即可求解周长.
【详解】若选择①，
，得，
，
得，所以；
若选择②，
，得，因为，所以，
那么，，
，得，，，
所以，
所以的周长为.
例题3．（2024浙江）已知为锐角三角形，角对应的边分别为，且
(1)求A的值；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】辅助角公式、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、正余弦定理与三角函数性质的结合应用
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到，得到，即可求解；
（2）由（1）得到外接圆的直径，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，得化简得到，根据锐角三角形，求得，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理得，
又因为，可得，可得，即
因为，可得，所以，所以.
（2）解：由（1）知，且，可得外接圆的直径，
又由正弦定理得
，
因为为锐角三角形，可得，解得，
可得，所以，则，
所以的取值范围为．
【即时演练】
1．在中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用
【分析】（1）将余弦定理代入已知式化简即可；
（2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长.
【详解】（1），
由余弦定理得，，
所以，，
.
又，.
（2）因为的面积为，即，
.
由余弦定理得.
解得.
所以周长为.
2．在△ABC中，角C为锐角且满足．
(1)求；
(2)若，且的周长为，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【知识点】二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、已知三角函数值求角
【分析】（1）由倍角公式和同角三角函数的商数关系，化简得，角C为锐角， 有，可求角C；
（2） ，得，余弦定理得，求出，由公式求的面积．
【详解】（1）由可得，
则，得，
因为角C为锐角， 有，可得.
（2）因为周长 ， ，所以 ①，
又因为，所以 ②，
由①②得，所以.
3．在中，，.
(1)求A的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：AC边上的高；条件②：；条件③：.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求解.
（2）选①，由直角三角形边角关系求出，再由余弦定理求出并求出三角形面积；选②，利用正弦定理求出，再利用大角大边确定三角形无解；选③，由余弦定理建立方程无解.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
而，则，
又，所以.
（2）若选①，边上的高，在中，，
即，
在中，由余弦定理，得，
整理得，而，解得，
的三边已知，由三角形全等的判定知，存在且唯一，
所以的面积为；
若选②，，则，
在中，，
由正弦定理，得，
根据三角形中大角对大边可知，不存在；
若选③，，由余弦定理，得，
则，显然，即方程无解，
因此不存在，③不可选.
考点九：复数的概念及四则运算
【典型例题】
1．（2024北京）在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】复数的坐标表示
【分析】复数对应的点为即可求解.
【详解】因为，所以对应的点的坐标为，
故选：D
2．（2024湖北）欧拉恒等式（其中为虚数单位，为欧拉常数）被誉为数学中最奇妙的公式之一，它是欧拉公式的特例，即当时，，得.根据欧拉公式，表示的复数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【分析】复数，进而得出共轭复数为z.
【详解】由题意，复数.
故选：A
3．（2024浙江）（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘法运算
【分析】根据复数的乘法运算求解即可.
【详解】由题意可得：.
故选：D.
4．（2024福建）已知是实数，且，则x+y=
【答案】7
【知识点】复数的相等
【分析】根据给定条件，利用复数相等求出即可得解.
【详解】由是实数，且，得，
所以.
故答案为：7
5．（2022安徽） ．
【答案】
【知识点】求复数的模、复数的除法运算
【分析】根据复数的除法运算即复数的模的求法计算即可.
【详解】因为，
所以.
故答案为：2.
【即时演练】
1．若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】利用复数的四则运算求，根据共轭复数的定义求即可.
【详解】由题设，则.
故选：A
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求复数的模、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算
【分析】根据复数的四则运算可得，进而可得模长.
【详解】由已知，
则，
则，
故选：C.
3．若为虚数单位，则 .
【答案】
【知识点】复数的除法运算
【分析】利用复数的除法运算求得正确答案.
【详解】.
故答案为：
4．若复数（为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数的值为
【答案】
【知识点】求复数的实部与虚部
【分析】根据复数的概念计算即可.
【详解】根据题意可知的实部和虚部分别为，所以.
故答案为：
5．在复平面内，复数对应的点位于第 象限.
【答案】三
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】经计算结合复数的坐标形式可得所在象限.
【详解】，其在复平面对应坐标为，故该点在第三象限.
故答案为：三
实战能力训练
一、单选题
1．已知复数z满足，则 （ ）
A．B．C．0D．2
【答案】B
【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】设，代入已知条件，求得，进而求得.
【详解】设，则，
，
所以，解得，
所以.
故选：B
2．若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】先确定复数，再求复数的模.
【详解】，
所以，所以.
故选：C
3．在中，，，分别为内角，，的对边，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用
【分析】利用正弦定理将边化角，整理即可求得.
【详解】，
由正弦定理可得，
又在中，
，
，
，
在中，，
，且为的内角，
，
故选：C．
4．已知向量，，若，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【知识点】向量垂直的坐标表示
【分析】根据平面向量垂直可得数量积为0，求解即可.
【详解】因为，所以，可得，解得.
故选：A.
5．已知，，，若A，B，C三点共线，则m=（ ）
A．11B．9C．7D．6
【答案】A
【知识点】由向量共线（平行）求参数
【分析】由三点共线转换为向量共线，由向量共线的充要条件即可求解.
【详解】由题意与共线，所以，解得．
故选：A.
6．克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家．托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立．已知在凸四边形中，，，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】余弦定理解三角形
【分析】记，利用余弦定理表示出，然后根据题中结论可得.
【详解】设，则，
在中，由余弦定理得，
由题知，，即，
所以，当且仅当四点共圆时取等号，
所以的最大值为.
故选：D

二、多选题
7．已知平面内两个单位向量的夹角为，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的取值范围为
C．若，则
D．在上的投影向量为
【答案】AB
【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、求投影向量
【分析】根据向量垂直、模、夹角、投影向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，由于，
所以，所以A选项正确.
B选项，，
，所以B选项正确.
C选项，，
解得，所以，所以C选项错误.
D选项，在上的投影向量为，所以D选项错误.
故选：AB
8．下列命题中，正确的是（ ）
A．在中，若，则必是等腰直角三角形
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若，则
D．在中，若，则必是等边三角形
【答案】BCD
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状
【分析】A由正弦定理边角关系，结合三角形内角的性质判断内角A、B的数量关系；B由，则，结合正弦函数的单调性可得证；C由正弦定理的边角关系判断；D利用余弦定理，结合已知得，进而判断△的形状.
【详解】A：由题设，可得，
又，则或，故为等腰或直角三角形，错误；
B：在锐角中，，则，
又在单调递增，所以，正确；
C：若，由大角对大边知，又，可知，正确；
D：由题设，，故，即，又，
可知，故必是等边三角形，正确.
故选：BCD
三、填空题
9．若，则复数的虚部是 ．
【答案】/0.5
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】因为，所以,
所以复数的虚部是.
故答案为：.
10．记内角，，的对边分别为，，．已知，则 ．
【答案】
【知识点】诱导公式二、三、四、余弦定理解三角形
【分析】结合三角形内角和、诱导公式与余弦定理计算即可得解.
【详解】由，故，
则，故.
故答案为：.
四、解答题
11．已知复数．
(1)若复数为纯虚数，求实数的值；
(2)若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【知识点】已知复数的类型求参数、根据复数对应坐标的特点求参数
【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解，
（2）根据复数的几何意义，结合第二象限点的特征即可求解.
【详解】（1）因为复数为纯虚数，所以，
解的
解得，；
（2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以
解之得
得．
所以实数的取值范围为．
12．在中，
(1)求角A的大小；
(2)若，求证：为直角三角形.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形
【分析】（1）由三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果；
（2）由余弦定理代入计算，即可得到关系，再由勾股定理，即可判断.
【详解】（1）在中，，
可得，即有，
，.
（2）证明：由（1）知，又，
由余弦定理得，
，即，
为直角三角形．
13．在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角A的大小；
(2)若，的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）先根据两角和的正弦公式化简题干条件可得，进而得到，进而求解；
（2）根据三角形的面积公式及余弦定理求解即可.
【详解】（1）因为，
在中，，即.
（2）由（1）知，，
所以，
即，所以，
又，即，
所以的周长为.
14．的内角的对边分别为，已知．
(1)求角；
(2)若，的面积为，求．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）由正弦定理边化角，即可求得答案；
（2）由三角形面积求出c，再利用余弦定理即可求得答案.
【详解】（1）由题意知，即，
由于，
故，即，结合，则；
（2），，的面积为，则，则，
故，
故.
15．已知中，角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换等知识求得.
（2）利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，进而求得三角形面积的最大值.
【详解】（1）由正弦定理及倍角公式得
，得，
即，故.
（2）由余弦定理可得，
解得，
当且仅当时取等号，
的面积．
故面积的最大值为．
16．已知的内角的对应边分别为，且．
(1)求角A；
(2)若的面积为，周长为15，求．
【答案】(1)
(2)
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用正弦定理结合正弦的和角公式化简计算即可；
（2）利用三角形面积公式结合余弦定理建立方程计算即可.
【详解】（1）因为，．
由正弦定理得，
则，
即．
在中，，故．
因为，所以．
（2）因为的面积为，
所以，得．
由余弦定理得，则．
又，所以，
解得．
17．已知向量，.
(1)若与的夹角为，求实数的值；
(2)若，求向量在向量上的投影向量坐标.
【答案】(1)或；
(2).
【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的坐标表示、利用向量垂直求参数、求投影向量
【分析】（1）根据数量积的定义和坐标运算即可求得；
（2）根据求得，再根据投影向量的定义即可求得.
【详解】（1）因为，则，，，
若与的夹角为，则由，
可得：，解的：或，
则实数的取值为或.
（2），因为，则，
则，可得：，，，
则在方向上的投影向量为：.
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc8906" 明晰学考要求 PAGEREF _Tc8906 \h 1
\l "_Tc11053" 基础知识梳理 PAGEREF _Tc11053 \h 2
\l "_Tc20096" 点精讲讲练 PAGEREF _Tc20096 \h 7
\l "_Tc27333" 考点一：平面向量的概念 PAGEREF _Tc27333 \h 7
\l "_Tc4138" 考点二：平面向量的运算 PAGEREF _Tc4138 \h 10
\l "_Tc19084" 考点三：平面向量基本定理 PAGEREF _Tc19084 \h 14
\l "_Tc4127" 考点四：平面向量坐标运算 PAGEREF _Tc4127 \h 18
\l "_Tc17389" 考点五：平面向量数量积 PAGEREF _Tc17389 \h 21
\l "_Tc13028" 考点六：余弦定理 PAGEREF _Tc13028 \h 26
\l "_Tc16141" 考点七：正弦定理 PAGEREF _Tc16141 \h 31
\l "_Tc26325" 考点八：余弦定理、正弦定理综合应用 PAGEREF _Tc26325 \h 35
\l "_Tc17509" 考点九：复数的概念及四则运算 PAGEREF _Tc17509 \h 39
\l "_Tc16363" 实战能力训练 PAGEREF _Tc16363 \h 42