山东省济南市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（学生版）

这是一份山东省济南市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（学生版），共7页。
本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在复平面内，复数对应点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 《2023年五一出游数据报告》显示，济南凭借超强周边吸引力，荣登“五一”最强周边游“吸金力”前十名榜单．其中，济南天下第一泉风景区接待游客100万人次，济南动物园接待游客30万人次，千佛山景区接待游客20万人次．现采用按比例分层抽样的方法对三个景区的游客共抽取1500人进行济南旅游满意度的调研，则济南天下第一泉风景区抽取游客( )
A. 1000人B. 300人C. 200人D. 100人
3. 设为两个平面，则的充要条件是( )
A. 过的一条垂线B. 垂直于同一平面
C. 内有一条直线垂直于与的交线D. 内有两条相交直线分别与内两条直线垂直
4. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球，2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则第二次摸到红球的概率为( )
A. B. C. D.
5. 已知的内角所对的边分别为，则角的值为( )
A. B. C. 或D. 无解
6. 如果三棱锥底面不是等边三角形，侧棱与底面所成的角都相等，平面，垂足为，则是的( )
A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心
7. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，，，则的周长的取值范围为( )
A. B.
C D.
8. 在四棱锥中，底面，底面为正方形，．点分别为平面，平面和平面内的动点，点为棱上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D. 1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知复数，则下列说法中正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 先后抛掷质地均匀的硬币两次，则下列说法正确的是( )
A. 事件“恰有一次正面向上”与事件“恰有一次反面向上”相等
B. 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”互斥
C. 事件“两次正面向上”与事件“两次反面向上”互为对立事件
D. 事件“第一次正面向上”与事件“第二次反面向上”相互独立
11. 某学校为了调查高一年级学生每天体育活动时间情况，随机选取了100名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则下列说法正确的是( )

A. 平均数的估计值为30
B. 众数的估计值为35
C. 第60百分位数估计值32
D 随机选取这100名学生中有25名学生体育活动时间不低于40分钟
12. 如图，已知三棱锥可绕在空间中任意旋转，为等边三角形，在平面内，，，，，则下列说法正确的是( )
A. 二面角为
B. 三棱锥的外接球表面积为
C. 点与点到平面的距离之和的最大值为
D. 点在平面内的射影为点，线段长的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 一组数据1，2，4，5，8的第75百分位数为_________．
14. 在正方体中，直线与直线夹角的余弦值为_________．
15. 在圆中，已知弦，则的值为_________．
16. 已知的重心为，面积为1，且，则的最小值为_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知是两个单位向量，夹角为，设．
(1)求；
(2)若，求的值．
18. 已知正三棱柱的棱长均为，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
19. 独立事件是一个非常基础但又十分重要的概念，对于理解和应用概率论和统计学至关重要．它的概念最早可以追湖到17世纪的布莱兹·帕斯卡和皮埃尔·德·费马，当时被定义为彼此不相关的事件．19世纪初期，皮埃尔·西蒙·拉普拉斯在他的《概率的分析理论》中给出了相互独立事件的概率乘法公式．对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立．
(1)若事件与事件相互独立，证明：与相互独立；
(2)甲、乙两人参加数学节的答题活动，每轮活动由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为．在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲乙两人在两轮活动中答对3道题的概率．
20. 某社区工作人员采用分层抽样的方法分别在甲乙两个小区各抽取了8户家庭，统计了每户家庭近7天用于垃圾分类的总时间(单位：分钟)，其中甲小区的统计表如下，
设分别为甲，乙小区抽取的第户家庭近7天用于垃圾分类的总时间，分别为甲，乙小区所抽取样本的方差，已知，其中．
(1)若，求和的值；
(2)甲小区物业为提高垃圾分类效率，优先试行新措施，每天由部分物业员工协助垃圾分类工作，经统计，甲小区住户每户每天用于垃圾分类的时间减少了5分钟．利用样本估计总体，计算甲小区试行新措施之后，甲乙两个小区的所有住户近7天用于垃圾分类的总时间的平均值和方差．
参考公式：若总体划为2层，通过分层随机抽样，各层抽取样本量、样本平均数和样本方差分别为：；，总的样本平均数为，样本方差为，则．
21. 如图1，在等腰中，分别为的中点，过作于．如图2，沿将翻折，连接得到四棱锥为中点．

(1)证明：平面；
(2)当时，求直线与平面所成的角的正弦值．
22. 射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．

(1)证明：；
(2)已知，点为线段的中点，，求．
住户序号
1
2
3
4
5
6
7
8
所需时间
200
220
200
180
200
220