湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（学生版）

这是一份湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（学生版），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 设，是两个不共线向量，若向量与向量共线，则( )
A. B. C. D.
2. 定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 与向量垂直的单位向量为( )
A. B. 或
C. D. 或
4. 若一个球的外切正方体的表面积等于6 cm2，则此球的体积为( )
A. cm3B. cm3C. cm3D. cm3
5. 在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球半径为( )
A 3B. C. D. 6
6. 下列命题正确的为( )
①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P、Q，R，则P，Q，R三点共线；
②若三条直线a，b、c互相平行且分别交直线于A、B、C三点，则这四条直线共面；
③已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面；
④已知a，b，c为三条直线，若，，则.
A. ①③B. ②③C. ②④D. ①②
7. 如图，在中，已知，，，、边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为( )
A. B. C. D.
8. 如图，某人用长的绳索，施力，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为，则此人对该物体所做的功为( )
A. B. C. D.
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. 已知为复数，是的共轭复数，则下列命题一定正确的是( )
A. 若为纯虚数，则B. 若，则
C. 若，则的最大值为2D.
10. 关于直线，与平面，，以下四个命题中真命题是
A. 若，且，则B. 若，且，则
C. 若，且，则D. 若，且，则
11. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是( )
A. B. 与所成的角为60°
C. 与是异面直线D. 平面
12. 已知两个不相等的非零向量,，两组向量,,,,和,,,,均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题中真命题为( )
A. 可能有5个不同的值
B. 若，则与无关
C. 若，则
D. 若，，则与的夹角为
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 如图，将一个长方体沿着相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则此棱锥的体积与剩下的几何体体积的比是______.

14. 已知向量 , ，则向量的模的最大值是________.
15. 在复平面内，为原点，向量，对应复数为，将绕点沿逆时针方向旋转，且将向量的模变为原来的倍，得向量，此时向量对应的复数为.现有一平行四边形，如图，，，，，则点直角坐标为______.
16. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______.
四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 已知复数，，其中是实数．
(1)若，求实数的值；
(2)若是纯虚数，是正实数，求．
18. 某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得距离为，，，在处测得大楼楼顶的仰角为75°.
(1)求两点间的距离；
(2)求大楼的高度.
19. 已知在直角三角形中，，(如图所示)
(1)若以为轴，直角三角形旋转一周，求所得几何体的表面积.
(2)一只蚂蚁在问题(1)形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离.
20. 在锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知边，且.
(1)若，求的面积；
(2)记边中点为，求的最大值，并说明理由.
21. 如图所示，点是所在平面上一点，并且满足，已知，，.

(1)若是的外心，求、的值；
(2)如果是的平分线上某点，则当达到最小值时，求的值.
22. 如图,在四棱锥中,底面是菱形,,,,底面,,点在棱上,且
(1)证明：面面;
(2)求二面角的余弦值.