黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

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（时间：120分钟 分值：150分）
一、单项选择题：（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 ）
1．函数的定义域是( )
A.B.
C.D.
答案：D 解析：函数有意义,则,解得且,
所以所求定义域为.
故选：D.
2.已知是第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵为第二象限角，，
∴．故选：B．
3.已知扇形的周长为15cm，圆心角为3rad，则此扇形的弧长为（ ）
A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm
【解析】设扇形弧长为l cm，半径为r cm，则，即且，解得：（cm），故此扇形的弧长为9cm.
故选：C
4. 函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题得函数定义域为，
函数或）的增区间为，
函数在定义域内是增函数，由复合函数的单调性得的单调递增区间为.
故选：A
5.若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，
所以
.
故选：A
6.若则（ ）
A．B．C．D．
【解析】B
【分析】利用诱导公式计算可得；
【详解】解：因为，
所以，
故选：B.
7.已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，若不等式恒成立，
恒成立
，
当且仅当时取等号．
，即的最大值为．故选：B．
8.已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，则满的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由题意是偶函数，且在上单调递增，
∴不等式可变为，
∴，解得．故选：B．
二、多项选择题：（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 是第三象限角
B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
C. 角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴，若角的终边上有一点，则
D. 若是第一象限角，则是第一或第三象限角
【答案】BCD
【解析】
【分析】由象限角的定义判断选项A；扇形面积公式计算数据判断选项B；由三角函数的定义判断选项C；由第一象限角的范围，列不等式求所在象限判断选项D.
【详解】，是第二象限角，A选项错误；
若扇形的圆心角为，弧长为，则扇形半径，该扇形的面积为，B选项正确；
角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴，若角的终边上有一点，
则点到原点距离为5，， C选项正确；
若是第一象限角，即，则有，
当为偶数时，第一象限角；当为奇数时，是第三象限角，D选项正确.
故选：BCD
10．（多选）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】AC
【分析】依题意，可得，再结合，利用同角三角函数间的关系及诱导公式，对四个选项逐一判断可得答案．
【详解】解：，
又，
，故A正确；
，故B错误；
又，故C正确；
，故D错误，
故选：AC．
11.（多选）设，若有三个不同的实数根，则实数的取值可以是（ ）
A．B．1C．D．2
【解析】作出函数图像如下：
又有三个不同的实数根，
所以函数与直线有三个交点，
由图像可得：.
故选：AB
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12．已知扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则该扇形所在圆的半径为___________.
【解析】扇形的圆心角为，为，设半径为r，
由弧长公式可得：，解得：.
故答案为：4
13.已知是第四象限角，且，则___________.
【答案】
【解析】由题设，，
.
故答案为：
14.若函数的最大值为0，则实数a的值为___________.
【答案】
【解析】因为的最大值为0，所以应有最小值1，
因此应有解得.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本题13分）（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）1．
【分析】（1）利用指数幂运算，结合根式与指数分数幂的互化即可得解；
（2）利用指数与对数的运算法则，结合换底公式即可得解.
【详解】（1）
.-------------6分
（2）
-----------------7分.
16. （本题15分）已知，是关于x的一元二次方程的两根．
（1）求的值； （2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，是关于x的一元二次方程的两根，
所以，，且，
所以，
所以，得，满足，
所以，即----------------------------7分
（2）因为，
又因为，所以，所以
所以---------8分
17．（本题15分）已知函数是上的偶函数，当，，
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义求时，函数的解析式，即可得结果；
（2）根据函数解析式以及奇偶性分析函数的单调性，结合单调性和对称性可得，运算求解即可.
【详解】（1）当时，则，
由题意可得：，
所以函数的解析式为.--------------6
（2）因为的开口向下，对称轴为，
可知函数在内单调递增，
且函数是R上的偶函数，可知函数在内单调递减，
若，则，
整理可得，解得或，
所以实数的取值范围为.------------------------9分
18. （本题17分）已知函数且.
(1)若函数的图象过点，求的值；
(2)当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)由已知得，
∴，解得，结合，且，∴；-------------5分
(2)由已知得，当，时恒成立，
令，，且，，，
∵在，上单调递增，故，
∵是单调递增函数，故，
故即为所求，即的范围为．--------------------------------12分
19. （本题17分）已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)设函数，若对任意的，总存在使得成立，求实数m的取值范围.
【解析】(1)为偶函数
证明：，
故，解得
的定义域为，关于原点对称
，
为偶函数---------------------------5分
(2)若对任意的，总存在，使得成立
则
又，当且仅当，即取等号
所以
所求实数m的取值范围为----------------------------12分