湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷（解析版）

这是一份湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于抛物线，的准线方程是.
故选：B.
2. 已知数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，
所以.
故选：C.
3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，
解得.
故选：D.
4. 九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，将圆环套装在横板或各式框架上，并贯以环柄．玩时，按照一定的程序反复操作，可使9个圆环分别解开，或合二为一．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下5个圆环所需的最少移动次数为（ ）
A. 31B. 16C. 14D. 7
【答案】A
【解析】由可得，
，
，
.
最少移动次数为.
故选：A.
5. 已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，，则下列结论中错误的是（ ）
A. 的标准方程为
B. 的离心率等于
C. 与双曲线的渐近线不相同
D. 直线与有且仅有一个公共点
【答案】C
【解析】对于A，由题意不妨设的方程为，
所以有，解得，即的标准方程为，故A不符合题意；
对于B，因为，所以，离心率为，故B不符合题意；
对于C，令，都可以得到，即与双曲线的渐近线相同，故C符合题意；
对于D，联立，消去化简并整理得，，解得，，
即直线与有且仅有一个公共点，故D不符合题意.
故选：C.
6. 已知数列前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由得，
两式相减得，即，
又，得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
若数列递增数列
则恒成立，
即恒成立，
即恒成立，又，所以.
故选：B.
7. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别于抛物线交于点，．设直线，的斜率分别为，，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】抛物线的焦点为，
由题意可知：可知直线与抛物线必相交，
设，，，，
则，
设的方程为，联立方程，
消去并整理得，
根据韦达定理得，即，同理可得，
则，
可得，
设直线为，
联立方程，消去并整理得，
根据韦达定理得，所以.
故选：B.
8. 设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为双曲线的渐近线为，

联立方程组，，解得，，
故，
联立方程组，，解得，，
故，
设为的中点，由中点坐标公式得，
由题意得，
故，
则，可得，
化简得，即，
故渐近线方程为.
故选：A
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的不得分）
9. 椭圆的离心率为，若直线与椭圆的一个交点的横坐标，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】由，消得到，
由题有，解得，又，，
得到，所以，
故选：AD.
10. 已知等比数列的公比为，前项积为，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】由已知，
又，，
所以，，A正确，B错误；
，
，
，
所以，C正确，D错误.
故选：AC.
11. 已知抛物线（如图），过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线和圆于，，，四点，则（ ）
A. B.
C. 当直线的斜率为时，D.
【答案】ABD
【解析】由题意可得，
设直线方程为，Ax1,y1,Bx2,y2，
则，，
所以，
对于A，，故A正确，
对于B，
，
B正确，
对于C，当直线斜率为时，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得，
解得，所以，
所以，故C错误，
对于D，
，
将代入可得，
所以
,
等号成立当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：ABD.
12. 已知数列，满足，，，，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 为递增数列D.
【答案】ABC
【解析】因为，，，
所以，，，
，，，
所以，A正确；
又因为，
，
所以，
所以，
所以数列为常数数列，
所以，
又明显有，
所以，
所以，B正确；
又因为，
所以为递增数列，C正确；
因为，D错误.
故选：ABC.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知等差数列前项的和为，则_________．
【答案】
【解析】依题意，
又，
所以，则，所以.
故答案为：
14. 已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为_________．
【答案】7
【解析】如图所示：

由题意，
设为双曲线右焦点，线段与双曲线右支交于点，
所以，等号成立当且仅当重合，所以的最小值为7.故答案为：7.
15. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则_________．
【答案】56
【解析】由递推公式，可得，
，……，；
而
.故答案为：56.
16. 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，点在第二象限，且（如图），则椭圆的离心率为_________．

【答案】
【解析】设，,则，设椭圆的焦距为，则F-c,0，
所以
，，
因为，所以，
化简得，
所以即，所以或（舍），
，又因为，所以，解得，
所以椭圆的离心率.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第题每题12分，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知等差数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且，若，求正整数的最小值．
解：（1）设等差数列的公差为，
则，解得，，
故．
（2）由（1）可得，
则，
所以，则数列是等差数列，
故．
因为，所以，所以，
所以或．
因为，所以的最小值是11．
18. 已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积．
解：（1）由题意得：，令，
则，
又焦点到渐近线的距离为，
所以，
所以，所以，
所以双曲线的标准方程为；
（2）设，，
联立方程组，消去整理得，
则，，，
所以，
又原点到直线的距离，
所以．
19. 为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．

（1）如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程；
（2）海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围．
解：（1）根据已知条件设Px,y且，O0,0，
由，有，
，
，
，
整理有，它是以为圆心，8为半径的圆．
所以曲线的方程为：．
（2），过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直，
所以直线截距式方程为，
化为一般式方程为，
根据题意，且，
解得，
所以综上可知的取值范围为．
20. 已知等比数列前四项和为30，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；；在和之间插入个数、、、，使、、、、、成等差数列．
①若，求；
②若，求．
解：（1）设的公比为，则：，
则，所以．
（2）①在和之间插入个数、、、，
使、、、、、成等差数列，设其公差为，
此数列首项为，末项为，
则，，
则，
②，
则，，
则
，故：．
21. 如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为．

（1）求证：直线的斜率为定值；
（2）设焦点到直线的距离为，求的取值范围．
解：（1）将点代入抛物线方程得，所以抛物线,
设，，
由，
消得，
由韦达定理得，
又，得到，
又因为直线，的倾斜角互补，用代可得：，
因此，
又，所以为定值．
（2）由（1）可知，，，，
因此，
整理得，
所以到直线的距离，
因为，得，所以，
故．
22. 已知椭圆的离心率为．直线经过点和椭圆的上顶点，其斜率为．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．求证：当变化时，直线过定点．
解：（1）由题意得：，解得，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设Mx1,y1，Nx2,y2，直线与椭圆联立：
化简整理：，
因为，
从而：，，
同理：，，
设所在的直线方程为：，
则：
，
故：，过定点．