江西省抚州市2023-2024学年高一上学期学生学业质量监测数学试题卷

这是一份江西省抚州市2023-2024学年高一上学期学生学业质量监测数学试题卷，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．设则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数的图象为折线，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论错误的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球不都是红球的概率为
6．若函数的定义域是，则函数的定义域是
A．B．
C．D．
7．若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（ ）
A．4或B．4或
C．2或D．2或
8．已知定义在区间上的函数，若存在时，成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下列选项中说法正确的是（ ）
A．若用分层随机抽样的方法抽得两组数据的平均数分别为8，12，若这两组数据的平均数是10，则这两组数据的权重比值为1
B．一组数据的分位数是6，则实数的取值范围是
C．一组数据的平均数为，将这组数据中的每一个数都加2，所得的一组新数据的平均数为
D．一组数据的方差为，将这组数据中的每一个数都乘2，所得的一组新数据的方差为
10．若方程在区间上有实数根，则实数的取值可以是（ ）
A．0B．C．D．
11．下列结论正确的是（ ）
A．函数且的图象过定点
B．是方程有两个实数根的充分不必要条件
C．的反函数是，则
D．定义在上的奇函数，当时，，则
12．若正实数满足，则下列结论中正确的有（ ）
A．的最小值为8．
B．的最小值为
C．的最大值为．
D．的最小值为．
三、填空题
13．幂函数在区间上单调递增，则实数的值为 ．
14．在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ．
15．若，且，则称是“伙伴关系集合”在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为 ．
16．已知函数，函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
17．已知函数为定义域上的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若，试用表示．
18．2023年9月23日，中国农历象征收获的秋分时节，第19届亚洲运动会在浙江杭州隆重开幕．杭州基础设施全面升级、城市面貌焕然一新、民生服务格局大变．为了解杭州老百姓对城市基础设施升级工作满意度，从该地的A，B两地区分别随机调查了40户居民，根据大家对城市基础设施升级工作的满意度评分（单位：分），得到地区的居民满意度评分的频率分布直方图（如图）和地区的居民满意度评分的频数分布表（如表1）．
表2
(1)根据居民满意度评分，将居民的满意度分为三个等级（如表2），估计哪个地区的居民满意度等级为不满意的可能性大，说明理由.
(2)将频率看作概率，从A，B两地区居民中各随机抽查1户居民进行调查，求至少有一户居民评分满意度等级为“非常满意”的概率
19．已知函数
(1)是否存在实数使得关于的不等式的解集为，若存在．求实数的值或取值范围，若不存在，请说明理由；
(2)若关于的不等式的解集是，集合，若，求实数的取值范围.
20．临川菜梗是江西临川的传统民间特产，以“不怕辣”而著称，相传宋神宗熙宁年间王安石出任平章事（宰相），平时爱以家乡菜梗招待同僚进餐，美誉传至宋神宗，于是命（再想）家乡进贡来，尝后大悦御批为“天下一绝”．近日，临川一家食品店的店员对每天的莱梗销售情况盘点后发现：该商品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：
(1)给出以下四种函数模型：①；②；③；④．请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
(2)设该店临川菜梗的日销售收入为（单位：元），求的最小值．
21．已知定义域为的函数满足对任意，都有
(1)求证：是奇函数；
(2)设，且当时，，求不等式的解集．
22．对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数的定义域为时，值域也为，则称区间为函数的“保值”区间．
(1)求函数的所有“保值”区间．
(2)函数的一个“保值”区间为，当变化时，求的最大值．
满意度评分
频数
2
8
14
10
6
满意度评分
低于70分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
10
15
20
25
30
170
175
180
175
170
参考答案：
1．D
2．B
3．A
4．B
5．D
6．B
7．A
8．D
9．AC
10．BCD
11．AC
12．ABC
13．
14．7
15．
16．
17．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据，求得参数值，检验即可；
（2）根据（1）中所求求得，再结合对数运算即可表示.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，；
经检验，满足题意，故.
（2）由（1）可知，
根据，可得
则，故，
又，.
18．(1)A地区居民的满意度等级为不满意的可能性更大，理由见解析
(2)0.1925
【分析】（1）根据频率和为1计算得到，分别计算两个地区的不满意频率，比较得到答案.
（2）确定，，得到，计算得到答案.
【详解】（1），，
地区的居民满意度等级为不满意的频率为，
由表1可知地区的居民满意度等级为不满意的频率为，
故地区居民的满意度等级为不满意的可能性更大．
（2）记事件表示“从地区随机抽取一户居民满意度评级为非常满意”，
则．
记事件表示“从地区随机抽取一户居民满意度评级为非常满意”，
则．
事件和事件相互独立，则事件和事件相互独立，
，
记事件表示“至少有一户居民评分满意度等级为非常满意”，
则.
19．(1)存在
(2)
【分析】（1）设在恒成立，可得时不满足，当时，结合二次函数的开口方向、判别式可得答案；
（2）由题意可设在上恒成立，分、、讨论，结合一元二次不等式恒成立可得答案．
【详解】（1）设在恒成立，
显然当，即时不满足在上恒成立；
当时，
，
综上，存在使得的解集为；
（2）由题意可设在上恒成立，
当，即时，，满足在上恒成立；
当，即时，
在上恒成立；
，；
当，即时，可得，，
综上．
20．(1)选择函数模型②，
(2)1681元
【分析】（1）由表中的数据知，当时间变化时先增后减，所以选择函数模型②，根据表格数据解得，从而求出；
（2）求出，当时，利用基本不等式求出最小值，当时，根据的单调性求出最小值，再比较大小可得答案.
【详解】（1）由表中的数据知，当时间变化时，先增后减，
而函数模型①；③；④都是单调函数，
所以选择函数模型②，
根据表格数据可知，解得，
所以；
（2），
即，
当时，，
当且仅当时等号成立，
当时，单调递减，
最小值为，
，所以的最小值为1681元.
21．(1)证明见解析；
(2)或
【分析】（1）利用赋值法，根据奇函数的定义来证明即可；
（2）变形构造函数，通过赋值来研究新函数的单调性，结合新函数的奇偶性解不等式即可.
【详解】（1）证明：因为的定义域为，关于原点对称，
又对任意，都有，
令，得，
令，得，
令，
得，
是奇函数.
（2），
，
，
设，则，所以，
在上是减函数，
因为的定义域为，
又，
所以是偶函数，
因为，
，则，解得，
不等式的解集为或.
22．(1)；
(2).
【分析】（1）求出函数的单调区间，利用“保值”区间的定义分类讨论求解即得.
（2）分析函数的单调性，利用“保值”区间的定义建立方程，再转化为一元二次方程求解即可.
【详解】（1）函数在上单调递增，在上单调递减，
令区间为函数的“保值”区间，则在上单调，即有或，
当时，在区间上单调递增，则，即，
于是是方程，即的两个不同的非正实根，
显然，方程两根异号，与矛盾，即不符合题意；
当时，在区间上单调递减，则，即，则有，
所以函数的“保值”区间为.
（2）令，显然函数在上单调递增，
由是函数的一个“保值”区间，得或，且在上单调递增，
则，即是方程，即的两个同号的不等根，
于是，解得，且，
因此，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最大值.
【点睛】关键点睛：根据新定义构造满足条件的方程（组），将新定义转化为熟悉的数学模型求解是解题的关键.