专题06 函数的应用（期末压轴专项训练22题）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

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1．已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【知识点】函数对称性的应用、求函数零点或方程根的个数、求零点的和
【分析】先判断函数的对称中心，再结合图象及交点个数，最后结合对称性得出所有根的和.
【详解】由题知 是奇函数,则有： , fx关于对称，
且 , x>1时， ,
恒过，且 关于对称，
方程的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和，
根据 对称性及解析式画出图象如下：
由图像可知 有5个交点，其中一个交点横坐标为1,
另外四个，两两分别关于对称， 故五个交点横坐标和为, 即所有根之和5.
故选：C.
2．已知数若且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，画出图形，结合图形求出的取值范围．
【详解】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，且，
由，得，则，
根据对勾函数的性质可知在上单调递减，
在上单调递增，且，， ，
所以的取值范围是．
故选：B．
3．已知函数的定义域为R，且．若函数有唯一零点，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、函数对称性的应用
【分析】转化为两函数图象交点问题，函数图象对称轴都为且两函数图象只有唯一交点即可知交点横坐标为1得解.
【详解】因为函数的定义域为R，且，
所以函数的图象关于轴对称，
由有唯一零点知，有唯一根，
即与的图象有唯一交点，
而图象关于对称，
所以.
故选：A
4．若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据函数零点的个数求参数范围、零点存在性定理的应用
【分析】对进行讨论，即可结合二次函数的性质以及零点存在性定理求解.
【详解】若时，，则，满足题意，
若，当，解得且，此时满足题意，
若时，，此时，
此时方程在−1,1只有一根，满足题意，
若时，，此时，
此时方程在−1,1只有一根，满足题意，
当，得时，此时，
此时方差的根为，满足题意，
综上可得或
故选：C
5．设，函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】设，可确定当时，函数的零点个数，继而作出y=fx的大致图像，考虑时的图象情况，分类讨论，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决.
【详解】设，当时，，此时，
由得，即，解得或，
所以在上有2个零点；
时，若，对称轴为，函数y=fx的大致图象如图：
此时，即，则，
所以无解，则无零点，无零点，
综上，此时只有两个零点，不符合题意，
若，此时的大致图象如下：
令，解得（舍去），
显然在上存在唯一负解，
所以要使恰有5个零点，
需，即，解得，
所以．
故选：D
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法: 直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法: 先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;
（3）数形结合法: 先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
6．设，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】作出函数的图象，由题意可得或，的图象与直线共有三个不同的交点，从而可求出实数t的取值范围.
【详解】由得或，作出函数的图象，
易知当时，不符合题意；
当时，，结合函数的图象知，要使方程有三个不同的解，需满足方程有两个解，方程有且只有一个解，
由图象知，所以．
故选：C．
7．2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道.已知火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系为.若已知火箭的质量为，火箭的最大速度为，则火箭需要加注的燃料质量为（ ）（参考数值：，结果精确到）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】利用给定函数模型解决实际问题
【分析】根据已知条件列方程，化简求得正确答案.
【详解】根据题意，，
令，则，
所以，则，
即
所以.
故选：B
8．2023年6月22日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小．如果用声强（单位：）表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级（单位：）与声强的函数关系式为，其中为基准声强级，为常数，当声强时，声强级．下表为不同列车声源在距离处的声强级：
设在离内燃列车､电力列车､高速列车处测得的实际声强分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】对数函数模型的应用（2）
【分析】根据声强、声强级之间的关系确定基准声强级，即可判断A；计算可得大小关系，即可判断B，D；计算可得大小关系，即可判断.
【详解】对于：因为声强时，声强级，
所以，解得，故错误；
对于B：因为，
所以，即，故B正确；
对于C：，
所以，即，故C不正确；
对于D，，
所以，即，故D不正确．
故选：B．
9．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）、燃料的质量（单位：）、火箭的质量m（单位：）满足函数关系式为．已知当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到，当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到，则（ ）
A．1B．3C．－1D．－3
【答案】B
【知识点】指数函数模型的应用（2）
【分析】根据题意可得与的关系，代入式子，立方差公式化简即可得解.
【详解】由题意，，
所以，
所以.
故选：B
二、多选题
10．声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：），相应不同声的声强级如下表所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【知识点】利用给定函数模型解决实际问题
【分析】根据表格的数据求出函数的解析式，利用解析式判断选项的正误.
【详解】由表格得，所以，
又因为，得，
所以，A错误；
，则，B正确；
当时，，C正确；
当时，，D正确.
故选：BCD.
11．某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费．抽奖结果共分5个等级，等级工与购物卡的面值y（元）的关系式为，3等奖比4等奖的面值多100元，比5等奖的面值多120元，且4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，则（ ）
A．B．
C．1等奖的面值为3130元D．3等奖的面值为130元
【答案】ACD
【知识点】指数幂的运算、对数的运算、指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题
【分析】根据题意得到4等奖比5等奖的面值多20元，结合3等奖比4等奖的面值多100元，列出方程，求出，A正确；
再代入中，求出，根据4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，求出，3等奖的面值，B错误，D正确；
根据及，求出1等奖的面值，C正确.
【详解】由题意可知，4等奖比5等奖的面值多20元，
因为，
所以，
则，A正确；
由，可知．
因为4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，所以，解得，B错误；
则3等奖的面值为元，D正确；
由，故1等奖的面值为3130元，C正确.
故选：ACD
12．已知函数其中，且，则（ ）
A．B．函数有2个零点
C．D．
【答案】ACD
【知识点】求函数零点或方程根的个数、求分段函数解析式或求函数的值
【分析】先作出函数图象，结合图象逐一判定即可.
【详解】解：，故A正确；
作出函数的图象如图所示，
观察可知，，而，
故y=fx，有3个交点，
即函数有3个零点，故B错误；
由对称性，，而，
故，故C正确；
b，c是方程的根，故，
令，则，
故，而，均为正数且在0,4上单调递增，
故，故D正确，
故选：ACD.
三、填空题
13．已知函数.若，则的零点为 ；若恰有两个零点，则的最小值为 .
【答案】 100 20
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据指对幂函数零点的分布求参数范围、基本不等式求和的最小值
【分析】解方程即可求解空1，利用函数图象可得，可得，即可结合基本不等式求解空2.
【详解】当时，由，解得，得的零点为100.
由题意得关于x的方程有两个解.作出的图象，
则，且，则，即，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：100，20

14．已知偶函数满足，当时，，方程有10个根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数奇偶性的应用、函数与方程的综合应用
【分析】先给出，故2为函数的周期，因为函数为偶函数，所以方程在上有5个根，结合图象求解．
【详解】解：由题意知偶函数满足，
即，故2为函数的周期；
因为函数为偶函数，所以方程在上有5个根，
作出函数y=fx在上的图象，如图：
结合图象可知需满足，即实数a的取值范围是
故答案为：
15．已知偶函数满足，当时，，若在区间内，函数有四个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】由对数函数的单调性解不等式、根据函数零点的个数求参数范围、函数的周期性的定义与求解、函数奇偶性的应用
【分析】判断函数的周期，作出其图象，继而将原问题转化为函数，在内的图象有四个交点问题，列出需满足的不等式，求得答案.
【详解】由题意知偶函数满足，即，
故2为函数的周期；
结合当时，，
可作出时的的图象如图：
在区间内，函数有四个零点，
可转化为函数，在内的图象有四个交点问题，
结合图象可知需满足，
即实数的取值范围是，
故答案为：
16．设，已知函数的两个不同的零点、，满足，若将该函数图象向右平移个单位后得到一个偶函数的图象，则 ．
【答案】
【知识点】求图象变化前（后）的解析式、根据二次函数零点的分布求参数的范围
【分析】根据可求，再求出平移后图象对应的解析式，根据其为偶函数可求参数的值.
【详解】令，故即，
故，由题设有，故.
故，
将图象向右平移个单位后所得图象对应的解析式为：
，
整理得到：，
因为为偶函数，故，
所以，
故对无穷多个恒成立，故，
故.
故答案为:
17．已知函数，则函数的零点个数为 .
【答案】
【知识点】求函数零点或方程根的个数
【分析】画出函数y=fx的图象，令，可得，求得的值，结合图象，根据交点的个数，即可求解.
【详解】画出函数y=fx的图象，如图所示，
令，即，令，可得，
若，令，解得或；
若，令，解得，
当时，即，此时函数y=fx和的图象有4个交点，即4个零点；
当时，即，此时函数y=fx和的图象有1个交点，即1个零点；
当时，即，此时函数y=fx和的图象有1个交点，即1个零点；
当时，即，此时函数y=fx和的图象有1个交点，即1个零点.
综上可得，函数的零点个数为7个.
故答案为：.
18．已知函数，且时，，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、函数与方程的综合应用
【分析】由题意画出图形，得出各自的范围以及关系，进一步即可求解.
【详解】
，
结合图形可得，，，
∵，∴，∴，
∴，∴.
故答案为：.
四、解答题
19．已知函数．
(1)若在上的最小值为，求的值；
(2)若函数恰有3个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】指数函数图像应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】（1）对a分类讨论及利用基本不等式求解；
（2）令，则方程化为，结合函数的图象进行求解．
【详解】（1）当时，在上单调递增，所以不存在最小值；
当时，，
所以，解得（舍去）或，故；
（2）令，
即，．
令，则方程化为，
画出的图象如图所示，
因为恰有3个零点，所以有两个根，，且，
记，
则，解得，
综上，的取值范围是．
20．对于函数.
(1)若，求在上的值域；
(2)若与图象恰有一个交点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或或
【知识点】求对数型复合函数的值域、简单的对数方程、根据指对幂函数零点的分布求参数范围
【分析】（1）利用对数函数的单调性求解值域即可；
（2）把函数图象恰有一个交点问题转化为方程只有一个交点，分类讨论，根据二次方程根的分布列式求解即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，则，
故当时，函数在上的值域为；
（2）方程，
所以，
由①可得，，即，
当时，方程有唯一解，满足②，所以符合条件；
当时，方程有两相等解，满足②，所以符合条件；
当且时，方程有两不等解，，
若满足②，则，
若满足②，则，所以当时方程恰有一个实根；
综上，实数a的取值范围为或或.
21．已知函数
(1)当时，若，求x的值:
(2)若是偶函数，求出m的值:
(3)时，讨论方程根的个数.并说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【知识点】对数型复合函数的单调性、由奇偶性求参数、求函数零点或方程根的个数
【分析】（1）利用指数与对数的运算法则计算即可；
（2）利用偶函数的定义待定系数计算即可；
（3）先利用单调性定义判定函数单调性，再分类讨论结合零点存在性定理、函数奇偶性、单调性判定根的情况即可.
【详解】（1）当时, 若;
（2）若是偶函数, 所以，
即: ，
所以；
（3）当时，由（2）可知，
令，设，
则，
因为，则，
所以，
即 在0,+∞上单调递增，
由复合函数的单调性可知在0,+∞上单调递减，
又是偶函数，所以在上单调递增，
易知，所以为偶函数，，
则，
当时，方程没有实数根，
当时，方程，有且仅有1个实数根，
当 时，取，则，
所以在上，且在0,+∞上单调递减，
由零点存在性定理可知在上，有1个实数根，
所以时，方程，有2个实数根.
综上所述：当时，方程没有实数根；
当时，方程有且仅有1个实数根；
当 时，方程有2个实数根.
22．已知函数且过点．
(1)判断是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，请说明理由；
(2)若方程有两不等实数根，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)是定值，定值为
(2)
【知识点】函数与方程的综合应用、指数函数的判定与求值
【分析】（1）代入点可计算出函数解析式，结合指数运算可计算出；
（2）由题意可转化为有两不等实数根，结合绝对值进行分类讨论可得，结合题意计算即可得的取值范围.
【详解】（1）由题意可知，所以，解得，
故，
则
，
所以是定值，定值为．
（2）由，即，
即有，即，
令，
因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，
方程有两不等实数根，所以 且 ，
于是：，，
所以，，
由得，
又，解得，
所以实数的取值范围是．
声源
与声源的距离（单位：）
声强级范围
内燃列车
20
电力列车
20
高速列车
20
（）
正常人能忍受最高声强1
正常人能忍受最低声强
正常人平时谈话声强
某人谈话声强
（dB）
120
0
80