2024-2025学年海南省海南市高三上册第三次月考数学检测试题（附答案）

这是一份2024-2025学年海南省海南市高三上册第三次月考数学检测试题（附答案），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z满足，则（ ）
A．B．1C．D．－1
2．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知等比数列的公比不为1，且, , 成等差数列，则数列的公比为（ ）
A．－2B．2C．－1D．
4．在△ABC中，已知AB＝4，点O是△ABC的外心，则（ ）
A．16B．8C．4D．－8
5．已知θ为第一象限角，且，则（ ）
A．9 B． C． D．3
6．在正四棱台中，，若正四棱台的高为，则该四棱台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．函数满足，且对任意的都有，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的。如图所示，作Rt△AOB，OA=1，∠AOB =30°，再依次作相似三角形△BOC，△COD，△DOE，……，直至最后一个三角形的斜边OM与OA第一次重叠为止。则所作的所有三角形的面积和为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知平面向量，，与的夹角为，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A, B, C, D在同一个平面内，若四边形ABCD是边长为2的正方形，则（ ）
A．异面直线AE与DF所成角大小为
B．二面角A-EB-C的平面角的余弦值为
C．此八面体的外接球体积为
D．此八面体的内切球表面积为
11．已知定义在R上的函数满足：对，，且，函数为偶函数，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D． 0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数是偶函数，则a ＝ .
13．如右图，在方格边长为1的方格纸中，向量的起点
和终点均在格点上，则 .
14．若，记，且为单调
递增函数. 若，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知等差数列前项的和为，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）若 （n∈N*），求数列的前项和.
16.（本小题满分15分）
已知△ABC 中内角A, B, C的对边分别为a, b, c，且满足
（1）求角A的大小；
（2）若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值.
17.（本小题满分15分）
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M为线段A1C1上一点．
（1）求证：BM⊥AB1；
（2）若直线AB1与平面BCM所成的角为eq \f(π,4)，
求点A1到平面BCM的距离．
18.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）求的极值；
（2）设（a∈R） .
（i）当 a＞0 时，求函数的单调区间；
（ii）若在上恒成立，求实数a的取值范围.
19.（本小题满分17分）
如图，直线分别与抛物线交于和，与 轴分别交于和，直线与的交点为,.
（1）当为C的焦点F，且直线与轴垂直时，
，求抛物线C的方程；
（2）是否成等比数列? 请给予说明；
（3）在问题（1）的条件下，若OA2⊥OB2 ，
求面积S的最小值.
数学答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
【解析】
1．由题意知，
所以，.
故选：B.
2．由换底公式得，，，
所以.
故选：C.
3．设等比数列an的公比为q，且，
由，，成等差数列，得，整理得，则.
故选：A
4．如图，过点O作于D，可知，
则
故选：
5．因为θ为第一象限角，且 tan(θ+π3)+tanθ=0，所以(θ+π3)+θ=π
解得：θ=π3，所以1−cs2θ1+cs2θ = 1−cs2π31+cs2π3 =3
故选：D
6．设，则，
如图，连接，交于点，连接交于点，连接，
由正四棱台的几何性质可知分别是上､下底面的中心，
所以平面平面，所以为正四棱台的高，
所以由题可知，过点作交于点，
则，即，解得，
所以正四棱台的体积为V=13×(8+32+16)×
故选：A.
7．根据题意可知函数y=f(x)的最小正周期为，所以，
因为，所以，结合，解得，
所以，于是，
对函数y=f(x)求导得，
于是，所以曲线y=f(x)在点处的切线方程为，
整理得，
故选：D．
8．因为，
设第三角形的斜边长为，面积为，
由题意可知：，，，
则，，
可知数列是以首项，公比为的等比数列，
所以所作的所有三角形的面积和为.
故选：D.
9．对于A，若，则，故A错误；
对于B，若，则，故，故B正确；
对于C，若，则，则，故C正确；
对于D，若，则，故D正确.
故选：BCD
连接、交于点，连接、，
因为四边形为正方形，则AC⊥BD，
又因为八面体的每个面都是正三角形，
所以、、三点共线，且EF⊥面，
所以以为原点，分别以、、为轴、
轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
，，，
对于A项，，，
设异面直线与所成角为，
则，
所以，即异面直线与所成角大小为，故A项正确；
对于B项，，，，
设面的一个法向量为，
则 ，取，则，，则，
设面的一个法向量为，
则 ，取，则，，则，
所以，
又因为面与所成的二面角的平面角为钝角，
所以二面角的平面角的余弦值为，故B项错误；
对于C项，因为，
所以为此八面体外接球的球心，且外接球的半径为，
故体积为V球，故C项正确；
对于D项，设内切球的半径为，
则八面体的体积为，
又八面体的体积为，
所以，解得，
所以内切球的表面积为，故D项正确.
故选：ACD.
11．定义在上的函数满足：对，，
对于A，令，则，，A正确；
对于C，令，则，
于是，
则，因此不是偶函数，C错误；
对于B，由函数为偶函数，得，
即，
于是，即，，
因此函数的周期为，，B正确；
对于D，由，得，
因此，D错误.
故选：AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．1 13．－8 14．
【解析】
12．由f(x)=f(-x)，可得a=1
13．将向量放入坐标系中考虑, 则，，，则, 所以 .
14．因为 1xf'x>0 ,易化简得 gx=fxf'x≤xlnx,x∈0,+∞
令 ℎx=xlnx，则 ℎ'x=lnx+1 ,令 ℎ'x=0，解得 x=e−1
易看出，则
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．解：
（1）因为，S8=−16，
所以 ，解得a1=−9d=2，
所以 an=a1+n−1d=2n−11 ……6分
（2）由（1）可得 = ，
所以T2n=−9−5−1+3+7+⋯+4n−13+22+24+26+⋯+22n
……9分
=n−9+4n−132+221−22n1−22 ……12分
=2n2−11n+4n+1−43. ……13分
16．解：
（1）由题意知 △ABC 中, 3c+bsinA=3acsB ,
由正弦定理得： 3sinC+sinBsinA=3sinAcsB
因为A+B+C=π ∴ 3sinA+B+sinBsinA=3sinAcsB , ……3分
即 3sinAcsB+csAsinB+sinBsinA=3sinAcsB ,
所以 3csAsinB+sinBsinA=0 , ……4分
而 B∈0,π , 故 sinB≠0 ,
故 3csA+sinA=0 , 即 tanA=−3 , ……6分
又 A∈0,π , 故 A=2π3 ; ……7分
（2）由余弦定理: BC=b2+c2−2bccsA=b2+c2+bc , ……9分
又 S△ABD+S△ACD=S△ABC ,
所以 12c⋅ADsin60∘+12∘b⋅ADsin60∘=12bcsin120∘, 所以 AD=bcb+c ……12分
所以 BCAD=b2+c2+bcbcb+c≥2bc+bcbcb+c=3⋅b+cbc≥3⋅2bcbc=23 , ……14分
当且仅当 b=c 时, 取等号, 则 BCAD 的最小值为 23 . ……15分
17．解：
（1）∵AA1⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，
∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，而AB⊥AC，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
设A1M＝a，a∈[0,1]，
则A(0,0,0)，A1(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，
B1(1,0,1)，M(0，a,1)，
＝(－1，a,1)，＝(1,0,1)，
∵·＝0，∴⊥，∴BM⊥AB1. ……6分
（2）设平面BCM的法向量n＝(x，y，z)，
由(1)知＝(－1，a,1)，＝(－1,1,0)，＝(1,0,1)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(BM,\s\up6(→))＝－x＋ay＋z＝0，,n·\(BC,\s\up6(→))＝－x＋y＝0，))
取x＝1，得n＝(1,1,1－a)， ……8分
∵直线AB1与平面BCM所成的角为eq \f(π,4)，
∴sin eq \f(π,4)＝eq \f(|\(AB1,\s\up6(—→))·n|,|\(AB1,\s\up6(—→))||n|)＝eq \f(|2－a|,\r(2)·\r(2＋(1－a)2))＝eq \f(\r(2),2)，
解得a＝eq \f(1,2)，∴n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))， ……11分
∵＝(1,0,－1),
∴点A1到平面BCM的距离d＝eq \f(|\(A1B,\s\up6(—→))·n|,|n|)＝eq \f(\f(1,2),\r(\f(9,4)))＝eq \f(1,3). ……14分
即点A1到平面BCM的距离为eq \f(1,3) ……15分
18．解：
（1）fx=−1x−lnx+1 的定义域为 0,+∞ , ……1分
所以 f′x=1x2−1x=1−xx2 ，令 f′x=0，解得 x=1 , ……2分
当 01 时, f′x0. ……5分
当 0