2024-2025学年北京市海淀区八一学校高二上学期12月月考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市海淀区八一学校高二上学期12月月考数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线 3x−y+1=0的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.已知圆的一条直径的端点分别是A−1,0,B3,−4，则该圆的方程为( )
A. (x+1)2+(y−2)2=8B. (x−1)2+(y+2)2=32
C. (x+1)2+(y−2)2=32D. (x−1)2+(y+2)2=8
3.两条平行线l1:3x−4y−1=0与l2：6x−8y−7=0间的距离为( )
A. 12B. 35C. 65D. 1
4.在四面体OABC中，AM=MB,ON=2NC,OA=a,OB=b,OC=c，则NM=( )
A. 12a+23b+12cB. −23a+12b+12cC. 23a+23b+12cD. 12a+12b−23c
5.已知向量a,b是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“c⋅a=0，且c⋅b=0”是“l⊥α”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.两圆x2+y2−4x+2y+1=0与x2+y2+4x−4y−1=0的公切线有( )
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
7.已知点A−1,0，且点B是圆x2+y2=1上的动点，AB= 3，则直线AB的方程为( )
A. y= 3x+ 3或y=− 3x− 3B. y= 33x+ 33或y=− 33x− 33
C. y=x+1或y=−x−1D. y= 2x+ 2或y=− 2x− 2
8.在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，现有一个羡除如图所示，DA⊥平面ABFE，四边形ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB//CD//EF，AB=AD=8，EF=16，EF到面ABCD的距离为3，则这个羡除的体积是( )
A. 128B. 120C. 112D. 104
9.设直线l:3x−4y+m=0，圆C:(x−2)2+y2=8，若在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP,MQ(P,Q为切点)满足∠PMQ=90∘，则m的取值范围是( )
A. −18,6B. −16,4C. −26,14D. −6,14
10.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N分别为BD1,B1C1的中点，P为正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的动点.下列叙述正确的是( )
A. 当点P在侧面AA1D1D上运动时，直线CN与平面BMP所成角的最大值为π2
B. 当点P为棱A1B1的中点时，CN//平面BMP
C. 当点P∉NC时，满足MP⊥平面NCP的点P共有2个
D. 当点P在棱BB1上时，点P到平面CNM的距离的最小值为 66
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若直线3a−1x+2y+3=0与直线ax+y+1=0平行，则a= ．
12.以点1,1为圆心，且与直线x+y=4相切的圆的方程是 ．
13.若方程x2+y2+2ax+1=0a∈R表示圆，则a的取值范围为 ．
14.在三棱锥A−BCD中，AB、AC、AD两两垂直且长度均为6，定长为ll0的点的轨迹称为双纽线C.已知点Px0,y0是双纽线C上一点，下列说法中正确的是 .(填上你认为所有正确的序号)

①双纽线C关于原点O中心对称；
②双纽线C上满足PF1=PF2的点P只有1个；
③−a≤y0≤a；
④PO的最大值为 2a．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知直线l1过点2,4，直线l2:y=2x．
(1)若l1⊥l2，求直线l1的一般式方程；
(2)若直线l1与x轴和直线l2围成的三角形的面积为4，求直线l1的一般式方程．
17.(本小题12分)
已知点P2,0及圆C:x2+y2−6x+4y+4=0．
(1)设过点P的直线l1与圆C交于M,N两点，当CP⊥l1时，求以MN为直径的圆的方程；
(2)设直线ax−y+1=0与圆C交于A,B两点，是否存在实数a，使得过点P2,0的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
18.(本小题12分)
在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2,M是AB的中点．
(1)求证：CM⊥EM；
(2)求平面EMC与平面BCD所成角的余弦值；
(3)若点N为DC的中点，求直线MN与平面EMC所成的角的大小．
19.(本小题12分)
已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2.且被直线l:4x−3y−3=0截得的弦长为2 3．
(1)圆C的方程；
(2)设P是直线x+y+4=0上动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求所有定点坐标．
参考答案
1.B
2.D
3.A
4.D
5.B
6.C
7.B
8.A
9.C
10.D
11.3
12.(x−1)2+(y−1)2=2
13.a>1或a0，即−2a>0，解得a0)，则圆心到直线l的距离d=|4a−3|5．
由题意可得，d2+( 3)2=r2，即(4a−3)225+3=4，解得a=2或a=−12(舍)．
∴圆C的方程为(x−2)2+y2=4；
(2)证明：∵P是直线x+y+4=0上的点，∴P(m,−m−4)．
∵PA为圆的切线，∴PA⊥AC，即过A，P，C三点的圆是以PC为直径的圆．
设圆上任意一点Q(x,y)，则PQ⋅CQ=0．
∵PQ=(x−m,y+m+4)，CQ=(x−2,y)，
∴PQ⋅CQ=(x−m)(x−2)+y(y+m+4)=0，
即x2+y2−2x+4y+m(−x+y+2)=0．
故x2+y2−2x+4y=0−x+y+2=0，解得x=−1y=−3或x=2y=0．
因此经过A，P，C三点的圆必过定点(−1,−3)和(2,0)．